線形混合モデルにおける予測情報量規準東京大・経済・院川久保友超東京大・経済久保川達也本報告では，ベイズ予測分布にもとづいた予測情報量規準（predictive information criterion, PIC）を，線形混合モデルの変数選択の枠組みで導出し提案する．以下のような線形混合モデル y = Xβ + Zb + ϵ における説明変数 X の変数選択問題を考える．b は確率ベクトルで，Xβ は固定効果，Zb は変量効果と呼ばれ，ϵ は誤差項である．このモデルにおける未知パラメータを集めたベクトルを ω とする．線形混合モデルの変数選択に対しては，Vaida and Blanchard (2005) で提案された条件付赤池情報量規準（conditional AIC, cAIC）が広く用いられている．この規準は，変量効果を所与 ˆ ω b ) の Kullback-Leibler divergence にもとづいたリスクとした条件付プラグイン予測分布 f (˜ y |b, { } ∫∫∫ f (˜ y |b, ω) log f (˜ y |b, ω)f (y|b, ω)π(b|ω)d˜ y dydb, ˆ ω b) f (˜ y |b, ˆ は b の何らかの予測量，ω b は ω の推定量，y ˜は（の一部）の推定量とみることができる．ここで b b を所与としたうえでの y の独立な複製とする．しかし，ベイズ予測の観点に立つと，ω が既知のもとではプラグイン予測分布よりもベイズ予測分布（事後予測分布） ∫ ∫ f (˜ y |b, ω)f (y|b, ω)π(b|ω)db ˆ ∫ fπ (˜ y |y, ω) = f (˜ y |b, ω)π(b|y, ω)db = , f (y|b, ω)π(b|ω)db の方が小さいリスクを達成する，すなわち， { } ∫∫∫ f (˜ y |b, ω) log f (˜ y |b, ω)f (y|b, ω)π(b|ω)d˜ y dydb fˆπ (˜ y |y, ω) } { ∫∫∫ f (˜ y |b, ω) ≤ log f (˜ y |b, ω)f (y|b, ω)π(b|ω)d˜ y dydb, ˆ ω) f (˜ y |b, が成り立つ．そこでベイズ予測分布にもとづいたリスク関数として， ∫∫∫ b )}f (˜ P I = −2 log{fˆπ (˜ y |y, ω y |b, ω)f (y, b|ω)d˜ y dydb, を定義し，これの（漸近）不偏推定量として予測情報量規準（predictive information criterion, PIC）を導出する．こうしたベイズ予測分布にもとづいた情報量規準の発想は，Akaike (1980) で最初に提案された．本研究ではこれを上記の線形混合モデルの枠組みで議論する．参考文献 [1] Akaike, H. (1980). On the use of the predictive likelihood of a Gaussian model. Ann. Inst. Statist. Math., 32, 311-324. [2] Vaida, F. and Blanchard, S. (2005). Conditional Akaike information for mixed-eﬀects models. Biometrika, 92, 351-370.