章末問題6.4 解答合成関数の微分公式 112ページ公式を使って，u, v

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章末問題 6.4
合成関数の微分公式
{
zu = zxxu + zy yu
zv = zxxv + zy yv
解答
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112 ページ公式 6.2
を使って，u, v についての偏導関数を x, y につ
いての偏導関数で表す．
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章末問題 6.4
解答
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x = u cos α − v sin α, y = u sin α + v cos α より
xu = cos α,
yu = sin α,
xv = − sin α
yv = cos α
これを合成関数の微分公式に代入して，
zu = zx cos α + zy sin α
zv = −zx sin α + zy cos α
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章末問題 6.4
解答
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zx, zy も合成関数として u, v の 2 変数関数とみ
なすことができるので，
(zx)u = (zx)xxu + (zx)y yu
(zx)v = (zx)xxv + (zx)y yv
(zy )u = (zy )xxu + (zy )y yu
(zy )v = (zy )xxv + (zy )y yv
= zxx cos α + zxy sin α
= −zxx sin α + zxy cos α
= zyx cos α + zyy sin α
= −zyx sin α + zyy cos α
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章末問題 6.4
解答
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これを使うと，
zuu = (zx)u cos α + (zy )u sin α
zvv
= zxx cos2 α + 2zxy cos α sin α + zyy sin2 α
= −(zx)v sin α + (zy )v cos α
= zxx sin2 α − 2zxy cos α sin α + zyy cos2 α
zxy = zyx であることを使って整理
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章末問題 6.4
解答
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以上より，
zuu + zvv = zxx(cos2 α + sin2 α)
+2zxy (cos α sin α − cos α sin α)
+zyy (sin2 α + cos2 α)
= zxx + zyy
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章末問題 6.4
解答
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参考.
関数 f (x, y) に対して，この問題のように
∂ 2f ∂ 2f
+ 2
2
∂x
∂y
で表される 2 変数関数を f のラプラシアンとよ
び，記号 ∆f で表す．

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