傾斜支持節点の処理

2014/06/11
技術者のための構造力学
資料① 傾斜支持節点の取り扱い
傾斜支持節点の取り扱い
三好崇夫
加藤久人
１．はじめに
本資料では，実務設計で広く使用されている，マトリックス変位法による骨組構造解析における，傾
斜支持節点の処理方法について，実務設計者に分かり易く説明したものである．
傾斜支持節点は，例えば，図－1.1 に示すように，2 主桁を有する 2 径間連続曲線桁橋の主桁と横桁を
2 次元平面骨組としてモデル化し，地震力や風荷重などの水平荷重が作用する場合の支承反力の計算に
用いられる．同図に示すように，両端の可動支承は橋軸方向に平行な面上，即ち構造全体に共通な全体
座標系 X-Y に対して傾斜した斜面上で支持されることになる．
本資料では，簡単化のため，2 次元骨組ないしはトラス要素を対象として，傾斜支持節点の処理方法
について説明するが，3 次元問題に関しても基本的な考え方は同じである．まず，本資料では，2 次元
骨組要素とトラス要素の剛性方程式について示した後に，傾斜支持節点の処理方法の一般的な取り扱い
方法について説明する．さらに，本資料で説明する手法の妥当性を示すために，簡単な例題を設定して
構造力学に基づいてその理論解を導いた後に，計算例を通して具体的な傾斜支持節点の取り扱い方法に
ついて説明する．
２．2
２．次元骨組とトラス要素の剛性方程式
本章では，2 次元骨組要素とトラス要素の剛性方程式について簡単に述べる．その誘導過程などの詳
細は，例えば，文献 1)や 2)等の専門書を参考にされたい．
図－1.2 に示すように，要素の両端に節点 i，j を有する 2 次元骨組要素については，要素座標系（x-y）
における要素剛性方程式は，次式で表される．
0
 f xi   EA L
f  
12 EI L3
 yi   0
m   0
6 EI L2
{ f } =  i  = 
0
 f xj  − EA L
 f yj   0
− 12 EI L3
  
6 EI L2
m j   0
0
6 EI L2
4 EI L
0
− 6 EI L2
2 EI L
− EA L
0
0
− 12 EI L3
0
− 6 EI L2
EA L
0
0
12 EI L3
0
− 6 EI L2
0
 u i 

2 
6 EI L   v i 
2 EI L  θ i 
   = [k ]{u}(1.1)
0
 u j 
− 6 EI L2  v j 
 
4 EI L  θ j 
ここに，fxi，fxj：それぞれ節点 i，j の x 軸方向の節点力，fyi，fyj：それぞれ節点 i，j の y 軸方向の節点
Y
固定支承
uj
中間横桁
y，v
X
主桁
可動支承
fxi
z
水平荷重
vi
i
ui i
θi
θj
vj
j fxj
mi
fyi
j
変形後
変形前
L
fyj
x，u
mj
端横桁
図－1.2
図－1.1 曲線桁橋の平面骨組モデル
1
2 次元骨組要素の変位，節点力の正方向
2014/06/11
技術者のための構造力学
y
Mi，mi，Θi，θi
FYj，Vj
Y
fyj，vj
Mj，mj，Θj，θj
x
fxj，uj
j
FXj，Uj
i
α
FXi，Ui
X
fyi，vi
fxi，ui
FYi，Vi
図－1.3 全体座標系と要素座標系の関係
力，mi，mj：それぞれ節点 i，j の節点力モーメント，E：弾性係数，A：断面積，L：部材（要素）長，I：
断面二次モーメント，ui，uj：それぞれ節点 i，j の x 軸方向変位，vi，vj：それぞれ節点 i，j の y 軸方向
変位，および θi，θj：それぞれ節点 i，j の回転角である．
（図－1.2 参照）ただし，要素座標系は，図－
1.2 に示すように，節点 i から j の向きに x 軸を定義し，右手直交座標系によって y 軸を定義する．
一般的に，平面骨組構造物を構成する個々の部材（要素）は，様々な方向を向いており，要素座標系
は要素ごとに異なるため，すべての要素に共通な全体座標系で各要素の剛性方程式を記述する必要があ
る．そこで，式(1.1)の要素座標系表示の要素剛性方程式を，要素座標系から全体座標系（X-Y）に変換
する．図－1.3 に示すように，全体座標系の X 軸から反時計回りに α だけ回転した軸が，要素座標系の x
軸である場合，変位と節点力について，全体座標系から要素座標系への変換を表す式は，それぞれ次式
で表される．
u i   cos α
v  
 i  − sin α
θ   0
{u} =  i  = 
u j   0
v j   0
  
θ j   0
 f xi   cos α
f  
 yi  − sin α
m   0
{ f } =  i  = 
 f xj   0
 f yj   0
  
m j   0
sin α
cos α
0
0
0
0
sin α
cos α
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0 cos α
0 − sin α
0
0
0
0
0
0
1
0
0 cos α
0 − sin α
0
0
0
0
0
sin α
cos α
0
0
0
0
sin α
cos α
0
0 U i 
 
0  Vi 
0  Θ i 
   = [T ]{U }
0 U j 
0  V j 
 
1  Θ j 
0  FXi 
 
0  FYi 
0  M i 
   = [T ]{F }
0  FXj 
0  FYj 
 
1 M j 
(1.2)
(1.3)
ここに，ここに，FXi，FXj：それぞれ節点 i，j の X 軸方向の節点力，FYi，FYj：それぞれ節点 i，j の Y
軸方向の節点力，Mi，Mj：それぞれ節点 i，j の節点力モーメント，Ui，Uj：それぞれ節点 i，j の X 軸方
向変位，Vi，Vj：それぞれ節点 i，j の Y 軸方向変位，および Θi，Θj：それぞれ節点 i，j の回転角である．
（図－1.3 参照）
式(1.2)および(1.3)のマトリックス[T]は，座標変換マトリックスと呼ばれ，正規直交マトリックスであ
る．正規直交マトリックスは，以下のような性質を有する．
2
2014/06/11
技術者のための構造力学
FYj，Vj
fyj，vj
j
Y
y
E，A
FXi，Ui
α
i
x
fxj，uj
FXj，Uj
L
X
fyi，vi
fxi，ui
FYi，Vi
図－1.4
2 次元トラス要素の全体座標系と要素座標系の関係
[T ]
−1
= [T ]
T
(1.4)
したがって，変位と節点力について，要素座標系から全体座標系への変換を表す式は，それぞれ次の
ように表される．
{U } = [T ] {u}
{F } = [T ] { f }
T
(1.5)
T
(1.6)
式(1.1)で表される，要素座標系の要素剛性方程式を全体座標系へ変換するため，式(1.1)左辺の{f}には
式(1.3)の関係を代入して{F}として表示し，右辺の{u}には式(1.2)を代入して{U}として表示すれば次の
ようなる．
[T ]{F } = [k ][T ]{U }
(1.7)
T
式(1.7)の両辺に，左から[T] を乗じると，次のようになる．
[T ] [T ]{F } = [T ] [k ][T ]{U }
T
T
(1.8)
式(1.8)の左辺において，式(1.4)より，次の関係が成立する．
[T ] [T ] = [T ] [T ] = [I ]
−1
T
(1.9)
式(1.9)において，[I]は単位マトリックスである．
式(1.9)を式(1.8)の左辺に代入すると，次式を得ることができる．この式は，全体座標系における，両
端 2 節点 2 次元骨組要素の要素剛性方程式を表している．
{F } = [T ] [k ][T ]{U }
T
(1.10)
次に，図－1.4 に示すように，両端 2 節点を有する，2 次元トラス要素の要素剛性方程式は，以上で述
べた 2 次元骨組要素と同様に，要素座標系（x-y）から座標変換によって全体座標系（X-Y）の式を導く
ことができる．全体座標系における要素剛性方程式は，次式で表される．
2
 FXi 
 cos α
F 

 Yi  EA  sin α cos α
{F } =   =
2
 FXj  L  − cos α

 FYj 
− sin α cos α
= [K ]{U }
sin α cos α
sin 2 α
− sin α cos α
− sin 2 α
− cos 2 α
− sin α cos α
cos 2 α
sin α cos α
− sin α cos α  U i 
 
− sin 2 α   Vi 
 
sin α cos α  U j 

sin 2 α  V j 
(1.11)
ここに，FXi，FXj：それぞれ節点 i，j の X 軸方向の節点力，FYi，FYj：それぞれ節点 i，j の Y 軸方向の
節点力，E：弾性係数，A：断面積，L：部材長，α：全体座標系 X 軸から反時計回りに測った，X 軸と要
素座標系 x 軸のなす角度，Ui，Uj：それぞれ節点 i，j の X 軸方向変位，Vi，Vj：それぞれ節点 i，j の Y
軸方向変位である．
（図－1.4 参照）ただし，要素座標系は，図－1.4 に示すように，節点 i から j の向き
に x 軸を定義し，右手直交座標系によって y 軸を定義する．また，図－1.4 において，fxi，fxj：それぞれ
3
2014/06/11
技術者のための構造力学
V=?
V’=0
R
Y=?
U=?
X
RX=?
RX’=0
U’=?
RY=0 V=?
RY’=?
Y
RX=?
U=0
V=0
U=?
RX=0
RY=?
Y
Y
fsi，dsi
FYi，Vi
fri，dri r
rcosφ
ssinφ
scosφ
s
U：X 方向変位
V：Y 方向変位
RX：X 方向反力
RY：Y 方向反力
i
s
FXi，Ui
φ
r
φ
rsinφ
X
φ
mti，θti，Mi，Θi
X
図－1.6 傾斜座標系の定義
図－1.7 全体座標系と傾斜座標系
図－1.5 支点反力と支点変位
節点 i，j の x 軸方向の節点力，fyi，fyj：それぞれ節点 i，j の y 軸方向の節点力，ui，uj：それぞれ節点 i，
j の x 軸方向変位，および vi，vj：それぞれ節点 i，j の y 軸方向変位を表す．
３．傾斜支持節点の処理方法
構造物全体の剛性方程式は，構造物を構成するすべての部材（要素）に共通な全体座標系で表現され
るため，式(1.10)に示すように，節点力や変位についても，全体座標系で表されることになる．よって，
図－1.5 に示すように，支持面が全体座標系（X-Y）と平行な可動支承（ローラー支点）については，支
持面に直角な変位の拘束方向も全体座標系と平行であるため，全体座標系にて U=0，V=0 など，境界条
件を課すことは容易であり，拘束方向の支点反力 RX，RY を未知節点力として求めることも容易である．
一方，傾斜支持された可動支承については，支持面に垂直な方向の支点変位 V’=0 で，支点反力 RY’が未
知数，支持面に沿った方向の支点変位 U’が未知数で，支点反力 RX’=0 は明らかであるが，支持面が全体
座標系と平行でないため，全体座標系の支点変位 U，V や支点反力 RX，RY はいずれも未知数である．そ
こで，傾斜支持された節点自由度については，斜面に沿った直交座標系を定義し，全体座標系からこの
座標系に変換することによって，傾斜支持面直角方向の拘束条件を課す必要がある．本資料では，傾斜
支持面に沿ったこの座標系を傾斜座標系と呼ぶことにする．
まず，本章では，傾斜座標系と全体座標系の関係を表す，座標変換マトリックスを誘導し，次に，簡
単な例題によって，傾斜支持節点の処理方法について説明する．
３．１傾斜座標系と全体座標系の関係
図－1.6 は，傾斜座標系（r-s）の定義について示したものである．即ち，可動支承（ローラー支点）
が支持された面と平行に r 軸を，それに直角な方向に s 軸をとる．ただし，r 軸（傾斜支持面）は，全
体座標系の X 軸から反時計回りに φ だけ回転した方向であるとする．
図－1.7 は，全体座標系（X-Y）と傾斜座標系（r-s）の関係を表したものである．同図から，傾斜座標
系から全体座標系への変換を表す式として，幾何学的な関係によって次式が成立する．
 X = r cos ϕ − s sin ϕ

 Y = r sin ϕ + s cos ϕ
(1.12)1,2
式(1.12)をマトリックス－ベクトル表示すれば，次のようになる．
 X  cos ϕ
 =
 Y   sin ϕ
− sin ϕ  r 
r 
′
=
[
T
]


 
rs
cos ϕ  s 
s 
(1.13)
式(1.13)において，[Trs]は傾斜座標系から全体座標系への変換を表すマトリックスであり，正規直交マ
4
2014/06/11
技術者のための構造力学
トリックスである．よって，逆に，全体座標系から傾斜座標系への変換は，次式で表される．
r   cos ϕ sin ϕ   X 
T X 
 =
  = [Trs′ ]  

s  − sin ϕ cos ϕ   Y 
Y 
(1.14)
図－1.6 には，傾斜支持された節点 i の傾斜座標系 r 軸方向の節点力 fri と変位 dri，s 軸方向の節点力 fsi
と変位 dsi，節点力モーメント mti と回転変位 θti，全体座標系 X 軸方向の節点力 FXi と変位 Ui，Y 軸方向
の節点力 FYi と変位 Vi，および節点力モーメント Mi と回転変位 Θi が示されている．このうち，節点力モ
ーメントと回転変位については，座標系によってその値が変化しない，即ち，座標変換の影響を受けな
いから，次式が成立する．
m ti = M i

 θ ti = Θ i
(1.15)1,2
節点力と並進変位は，座標系によって値が変化する，即ち，座標変換の影響を受けるため，全体座標
系から傾斜座標系への変換関係は，式(1.14)にしたがって，それぞれ次式で表される．
 f ri   cos ϕ
 =
 f si  − sin ϕ
sin ϕ   Fxi 
T  Fxi 
  = [Trs′ ]  

cos ϕ   FYi 
 FYi 
(1.16)
d ri   cos ϕ
 =
d si  − sin ϕ
sin ϕ  U i 
T U i 
  = [Trs′ ]  

cos ϕ  Vi 
Vi 
(1.17)
一方，式(1.15)に示すように，節点力モーメントと回転変位は，座標変換の影響を受けないため，式(1.16)
に節点力モーメント，式(1.17)には回転変位の項を追加して拡張すると，傾斜支持節点 i における全体座
標系から傾斜座標系への変換を表す式として，それぞれ次式を得る．
 f ri   cos ϕ
{ f rsi } =  f si  = − sin ϕ
m   0
 ti  
sin ϕ
0  FXi 
 
T
cos ϕ 0  FYi  = [Trs ] {Fi }
0
1 M i 
d ri   cos ϕ
{d rsi } = d si  = − sin ϕ
θ   0
 ti  
sin ϕ
0 U i 
 
T
cos ϕ 0  Vi  = [Trs ] {Di }
0
1 Θ i 
(1.18)
(1.19)
式(1.18)，(1.19)において，[Trs]は傾斜座標系と全体座標系間の座標変換マトリックスであり，正規直
交マトリックスである．よって，次の関係が成立する．
[T ]
−1
rs
= [Trs ]
T
(1.20)
式(1.20)を式(1.18)，(1.19)に代入すると，節点力と変位の傾斜座標系から全体座標系への変換関係は，
それぞれ次のように表される．
 FXi 
cos ϕ
 
T −1
− 1 −1
{Fi } =  FYi  = ([Trs ] ) { f rsi } = ([Trs ] ) { f rsi } = [Trs ]{ f rsi } =  sin ϕ
M 
 0
 i
5
− sin ϕ
cos ϕ
0
0  f ri 
 
0  f si 
1 m ti 
(1.21)
2014/06/11
技術者のための構造力学
要素 m
節点 i
変形後
k
m
U i=U i=Ui
Θki=Θmi=Θi
要素 k
Vki=Vmi=Vi
Y
変形前
X
要素 k
節点 i 要素 m
図－1.8 節点 i における変位の適合条件
U i 
cos ϕ
 
T −1
−1 − 1
{Di } =  Vi  = ([Trs ] ) {d rsi } = ([Trs ] ) {d rsi } = [Trs ]{d rsi } =  sin ϕ
Θ 
 0
 i
− sin ϕ
cos ϕ
0
0 d ri 
 
0 d si 
1 θ ti 
(1.22)
３．２傾斜支持節点の処理方法
傾斜支持節点の処理方法について示すため，傾斜支持節点を有する 2 次元骨組構造物を考えることに
する．そこで，まず，構造物を構成する個々の骨組要素の剛性方程式を略記することにする．2 次元骨
組構造物中の一つの骨組要素 m に対する，全体座標系表示の要素剛性方程式は，要素両端の節点番号を
i，j とすれば，式(1.10)より，次のように表される．
m
 FXi 
 K 11
Fm 

 Yi 

m



M
{F m } =  mi  = [T m ]T [k m ][T m ]{U m } = [K m ]{U m } = 

 FXj 

 FYjm 

 m
M j 

m
K 12m
K 22m
K 13m
K 23m
K 33m
K 14m
K 24m
K 34m
K 44m
sym.
K 15m
K 25m
K 35m
K 45m
K 55m
K 16m  U im 
 
K 26m  Vi m 
K 36m  Θ im 
   (1.23)
K 46m  U jm 
K 56m  V jm 
 
K 66m  Θ mj 
式(1.23)において，要素番号を明確に記述するため，要素番号 m を右肩符号で付している．変位{Um}
については，節点 i，j に接続される，要素 m 以外の要素の変位との適合条件が成立しなければならない．
即ち，図－1.8 に示すように，例えば，節点 i に要素 m と k が接続される場合には，節点 i の変位には，
次の関係が成立する．
{U
m
i
Vi m
Θ im } = {U ik
Vi k
Θ ik }
(1.24)
式(1.24)は，節点変位については，要素番号によって区別する必要のないことを意味している．よっ
て，式(1.23)は，次のように表される．
m
 FXi 
 K 11
Fm 

 Yi 

m



M
{F m } =  mi  = [T m ]T [k m ][T m ]{U } = [K m ]{U } = 

 FXj 

 FYjm 

 m
M j 

m
6
K 12m
K 22m
sym.
K 13m
K 23m
K 33m
K 14m
K 24m
K 34m
K 44m
K 15m
K 25m
K 35m
K 45m
K 55m
K 16m  U i 
 
K 26m   Vi 
K 36m   Θ i 
 
K 46m  U j 
K 56m   V j 
 
K 66m  Θ j 
(1.25)
2014/06/11
技術者のための構造力学
さらに，以降の説明では，記述の煩雑さを避けるため，式(1.25)の
{F }
{F } = 
m
[K ] [K ] {D }
m
m
[K jj ] {D j } = [K
= m
{F j } [K ji ]
i
ii
ij
m
i
m
m
3
Y
要素剛性方程式を次のように表すことにする．
m
(2)
2
(1)
X
]{U }
1
(1.26)
図－1.9
(3)
4
1 層ラーメン構造物
式(1.26)において，小ベクトル，小マトリックスは，それぞれ以下
のように表される．
{F } = {F
m
i
m
M im } ， {F jm } = {FXjm
T
FYim
Xi
m
m
 K 11 K 12
[K iim ] = 
K 22m
 sym.
 K 14
=  K 15m
 K 16m
m
[K ] = [K ]
m
m
ji
ij
T
{D } = {U
i
m
K 13m 
 K 14
K 23m  ， [K ijm ] =  K 24m
 K 34m
K 33m 
K 25m
K 26m
Vi
(1.27)1,2
K 16m 
K 26m 
K 36m 
(1.27)3,4
K 15m
K 25m
K 35m
m
m
K 34m 
 K 44 K 45
K 35m  ， [K jjm ] = 
K 55m
 sym.
K 36m 
K 24m
i
M jm }
T
FYjm
Θ i } ， {D j } = {U j
T
K 46m 
K 56m 
K 66m 
Θj}
T
Vj
(1.27)5,6
(1.27)7,8
傾斜支持節点の処理方法について示すため，図－1.9 に示すように，節点 1 が固定支持，節点 4 が傾
斜支持された，1 層ラーメン構造物を考える．同図中において，●印は節点を，
（）内の数字は要素番号
を表し，節点位置には節点番号を付している．
式(1.27)の記述に従えば，図－1.9 の 1 層ラーメン構造物を構成する要素 1～3 の全体座標系における
要素剛性方程式は，それぞれ次のように表される．
1
1
{F1 } [K 11 ]
=
 1   1
{F2 } [K 21 ]
[K
[K
{F } [K ] [K

=
{F } [K ] [K
3
3
3
4
1
12
1
22
3
3
33
34
2
2
43
44
] {D } {F } [K ] [K ] {D }
,
=
,
] {D } {F } [K ] [K ] {D }
] {D }
] {D }
2
1
2
2
2
3
2
2
22
23
2
2
23
33
2
3
(1.28)1～3
3
4
構造物全体の全体剛性方程式は，式(1.28)に示すような各要素の剛性方程式，各要素の断面力（曲げ
モーメント，せん断力など）と節点変位の関係式，節点位置における断面力と節点力とのつり合い式の
3 つを連立させて導くことができる．しかし，その結果は，単に，各節点自由度に対応する節点力と剛
性マトリックス成分を機械的に足し合わせたものとなる 1)．そこで，ここでは，簡単のため，後者の手
法によって，全体剛性方程式を導く．まず，式(1.28)の第 1～3 式について，それぞれ構造物の総節点数
分の自由度を持つ剛性マトリックスに拡張すると，次のようになる．
{F1 } [K 11 ]
{F 1 } [K 1 ]
 2   21

=
 {0}   [0]
 {0}   [0]
1
1
[K ]
[K ]
[0]
[0]
1
12
1
22
7
[0]
[0]
[0]
[0]
[0] {D }
[0] {D }
[0] {D }
[0] {D }
1
2
3
4
(1.29)1
2014/06/11
技術者のための構造力学
 {0}  [0]
{F 2 } [0]
 2  
 2 =
{F3 } [0]
 {0}  [0]
[0]
[0] [0] {D }
[K ] [K ] [0] {D }
[K ] [K ] [0] {D }
[0] [0] [0] {D }
(1.29)2
 {0}  [0]
 {0}  [0]


 3 =
{F3 } [0]
{F43 } [0]
[0]
[0]
[0]
[0]
(1.29)3
1
2
2
22
23
2
2
32
33
2
3
4
[0]
[0]
[0]  {D }
[0]  {D }
[K ] [K ] {D }
[K ] [K ] {D }
1
2
3
3
33
34
3
3
43
44
3
4
ここに，[0]：3×3 のゼロマトリックスである．
式(1.29)を参照して，各節点自由度に対応する節点力と剛性マトリックス成分を足し合わせると，図
－1.9 の 1 層ラーメン構造物に関する全体剛性方程式は，次のように得られる．
1
1
 {F1 }  [K 11 ]
{F 1 } + {F 2 } [K 1 ]
 2
  21
2
=
 2
3 
{F3 } + {F3 }  [0]
 {F43 }   [0]
[K ]
[0]
[0]  {D }
[K ] + [K ]
[K ]
[0]  {D }
[K ]
[K ] + [K ] [K ] {D }
[0]
[K ]
[K ] {D }
1
12
1
1
2
22
2
22
23
2
2
2
3
3
32
33
33
34
3
3
43
44
(1.30)
3
4
式(1.30)において，各要素に作用する外力は，節点ごとに合力として合計できるため，節点力ベクト
ルは，次のように表すことにする．
{F } = {F }, {F }+ {F } = {F }, {F }+ {F } = {F }, {F } = {F }
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
4
4
(1.31)1~4
式(1.31)を式(1.30)に代入すると，次のように表される．
{F1 } [K 11 ]
{F } [K 1 ]
 2   21

=
{
F
}
3

  [0]
{F4 }  [0]
1
[K ]
[0]
[0]  {D }
[K ] + [K ]
[K ]
[0]  {D }
[K ]
[K ] + [K ] [K ] {D }
[0]
[K ]
[K ] {D }
1
12
1
1
2
22
2
22
23
2
2
2
3
3
32
33
33
34
3
3
43
44
(1.32)
3
4
図－1.9 の骨組構造物は，節点 4 が傾斜支持されているため，節点 4 では傾斜座標系で境界条件を課
す必要がある．しかし，式(1.32)は，全体座標系の剛性方程式であるため，節点 4 に関する自由度につ
いては，全体座標系から傾斜座標系に変換する必要がある．そこで，式(1.32)に式(1.21)，(1.22)を代入し
て，全体座標系の節点力ベクトル{F4}を傾斜座標系の{frs4}で，全体座標系の変位ベクトル{D4}を傾斜座
標系の{drs4}で表すと，式(1.32)は次のように表される．
 {F1 }  [K 11 ]
 {F }  [K 1 ]

  21
2

=
{
F
}
3

  [0]
[Trs ]{ f rs 4 }  [0]
1
[K ]
[0]
[0]   {D } 
[K ] + [K ]
[K ]
[0]   {D } 
[K ]
[K ] + [K ] [K ]  {D } 
[0]
[K ]
[K ] [T ]{d }
1
12
1
1
2
22
2
22
23
2
2
2
3
3
32
33
33
34
3
3
43
44
式(1.33)を連立一次方程式として展開すると，次のようになる．
8
3
rs
rs 4
(1.33)
2014/06/11
技術者のための構造力学
1
1
{F1 } = [K 11 ]{D1 } + [K 12 ]{D 2 }
{F } = [K 1 ]{D }+ ([K 1 ] + [K 2 ]){D }+ [K 2 ]{D }
 2
21
1
22
22
2
23
3

2
2
3
3
 {F3 } = [K 32 ]{D 2 } + ([K 33 ] + [K 33 ]){D3 } + [K 34 ][Trs ]{d rs 4 }
[Trs ]{ f rs 4 } = [K 433 ]{D3 }+ [K 443 ][Trs ]{d rs 4 }
(1.34)1～4
式(1.34)の第 4 式において，左から[Trs]T を乗じると，次のようになる．
[T ] [T ]{ f } = { f } = [T ] [K ]{D }+ [T ] [K ][T ]{d }
T
rs
T
rs
rs 4
rs 4
T
4
rs
43
3
3
rs
44
rs
(1.35)
rs 3
式(1.34)の第 1～3 式，および式(1.35)をベクトル－マトリックス表示すれば，節点 4 の自由度が全体座
標系から傾斜座標系に変換された全体剛性方程式として，次式を得る．
 {F1 }  [K 11 ]
 {F }  [K 1 ]
 2   21

=
{
F
}
3

  [0]
{ f rs 4 }  [0]
1
[K ]
[0]
[0]
  {D }
  {D }
[K ] + [K ]
[K ]
[0]

 

[K ]
[K ] + [K ] [K ][T ]  {D }
[0]
[T ] [K ] [T ] [K ][T ] {d }
1
12
1
1
2
22
2
22
23
2
2
2
3
3
32
33
33
34
T
T
3
rs
43
rs
(1.36)
3
3
rs
44
rs
rs 4
したがって，式(1.36)を一般化すれば，n 個の節点からなる構造物中の節点 i が傾斜支持される場合に
は，次式のように，節点 i 行に関する要素剛性マトリックス成分[kij]には前から[Trs]T を乗じ，節点 i 列に
対応する要素剛性マトリックス成分[kji]には後から[Trs]を乗じてから，対応する全体剛性マトリックス成
分にアセンブリすればよい．これにより，節点 i の節点力と変位が傾斜座標系に変換された全体剛性方
程式は，機械的に次のように得られる．
 {F1 }  [K 11 ]
 {F }  [K ]
21
 2  
 M  
M

=
T
{ f rsi } [Trs ] [K i1 ]
 M  
M

 
 {Fn }  [K n1 ]
[K ]
[K ]
12
22
M
[T ] [K ]
T
rs
M
[K n 2 ]
i2
L
L
O
L
[K ][T ]
[K ][T ]
1i
rs
2i
rs
M
[Trs ] [K ii ][Trs ]
M
L
[K ni ][Trs ]
T
[K ]
[K ]
 {D1 }
 {D }
2n
 2 
  M 
M

 (1.37)
T
L [Trs ] [K in ] {d rsi }
 M 
O
M


L
[K nn ]  {Dn }
L
L
1n
式(1.37)に境界条件を代入して解けば，傾斜支持節点については傾斜座標系の変位が求められる．傾
斜支持節点の全体座標系の変位は，式(1.22)を用いて求められる．
４．計算例
本章では，３章で説明した傾斜支持節点の処理方法について例題を通して説明するとともに，その妥
当性についても示す．
４．１ 2 次元トラス構造物
s
Y
傾斜支持節点を有する 2 次元トラス構造物として，図－1.10 を考
1
える．この構造物は，節点 1 が全体座標系 X 軸から時計まわりに
30°の斜面上にてローラー支持，節点 2 がピン支持された構造物で
あり，節点 1 には Y 軸方向の集中荷重 P が作用する．まず，この
R1
P
L
X
φ=-30°
r
R2V
2
R2H
EA=一定
図－1.10 2 次元トラス構造物
9
2014/06/11
技術者のための構造力学
構造物に対する構造力学による理論解を示す．
図－1.10 に示す向きを正とすると，支点反力 R1，R2H，R2V は，それぞれ次のように求められる．
R1 =
2 3
3
P, R 2 H =
P, R 2V = 0
3
3
(1.38)1~3
また，節点 1 の X 軸方向変位 δ1X，Y 軸方向変位 δ1Y は，それぞれ次式で表される．
δ
1X
3PL
PL
, δ 1Y = −
3EA
3EA
=
(1.39)1,2
このトラス構造物の全体剛性方程式は，α=0 より，cosα=1，sinα=0，i=1，j=2 を式(1.11)に代入すると，
次式で表される．
0 −1
0 0
0 1
0 0
 FX 1 
1
F 

 Y 1  EA  0
 =
 F X 2  L − 1

 FY 2 
0
0 U 1 
0  V1 
 
0 U 2 

0 V 2 
(1.40)
式(1.40)を小マトリックス，小ベクトルを用いて，次のように表すことにする．
{F1 } [K 11 ]

=
{F2 } [K 21 ]
[K ] {D }
[K ] {D }
12
1
22
2
(1.41)
式(1.41)において，小マトリックス，小ベクトルは，それぞれ次のように表される．
{F } = {F
1
1X
[K ] = EA 
11
F1Y } ,
T
1 0
,
L 0 0
{F } = {F
2
2X
F2 Y } ,
T
− 1 0
,
L  0 0
[K ] = EA 
12
{D } = {U
1
V1 } ,
T
1
{D } = {U
2
− 1 0
,
L  0 0
[K ] = EA 
21
V12 } ,
T
2
[K ] = EA 
22
1 0
L 0 0
(1.42)1~8
節点 1 が傾斜支持されているから，式(1.37)に従って，節点 1 に関する行，列に対して座標変換を施
す．このとき，式(1.37)の傾斜座標系と全体座標系の間の変換関係を表すマトリックス[Trs]は，トラス構
造では回転の自由度がなく，φ=-30°であることを考慮すれば，次のように 2×2 のマトリックスとして
表される．
[T ] = 
rs
cos ϕ
 sin ϕ
− sin ϕ   3 2
=
cos ϕ   − 1 2
12 

3 2
(1.43)
式(1.43)を用いて，式(1.41)の節点 1 に関する自由度を座標変換すると，次のように表される．
{ f rs1 } [Trs ] [K 11 ][Trs ]

=
 {F2 }  [K 21 ][Trs ]
T
[T ] [K ] {d }
[K ]  {D }
T
rs 1
12
rs
(1.44)
2
22
式(1.44)において，{frs1}，{drs1}は，それぞれ節点 1 における傾斜座標系の節点力ベクトル，変位ベク
トルであって，次のように表される．
{f } = {f
rs 1
f s1 } ,
T
r1
{d } = {d
rs 1
d s1 }
T
r1
式(1.44)の右辺の小マトリックスを展開すると，次のようになる．
10
(1.45)1,2
2014/06/11
技術者のための構造力学
 3 2
[T ] [K ][T ] = EA 
T
rs
11
rs
L 12
=
EA  3 0  3 2


2 L  1 0  − 1 2
[T ] [K ] = ([K ][T ])
T
rs
T
12
21
=
− 1 2  1 0   3 2


3 2  0 0   − 1 2
rs
12 

3 2
1 2  EA  3
=

3 2 4 L  3
3

1
− 1 2  − 1 0 EA − 3 0



=
3 2   0 0  2 L  − 1 0
EA  3 2
=

L 12
(1.46)1,2
EA − 2 3 0


4L  − 2
0
式(1.42)の第 2，4，8 式，式(1.45)および(1.46)を式(1.44)に代入すると，
 3
 f r1 
3 −2 3

f 
1
−2
 s1  EA  3
 =

4
 F2 X  4 L − 2 3 − 2
 F2 Y 
0
0
 0
0  d r 1 
 
0  d s 1 
 
0 U 2 

0 V2 
(1.47)
図－1.10 に示すように，節点 1 には，全体座標系-Y 軸方向の集中荷重 P が作用する．しかし，式(1.47)
では，節点 1 の節点力ベクトルが傾斜座標系で表示されているため，集中荷重 P は傾斜座標系に変換す
る必要がある．式(1.16)と(1.43)より，この変換は次式で表される．
 f r1  1  3
 = 
 f s1  2  1
− 1  0  1  P 

  = 
3  − P  2 − 3 P 
(1.48)
式(1.48)は，節点 1 に作用する-Y 軸方向の集中荷重 P の傾斜座標系への分解を意味するが，s 軸方向は
拘束されているため節点力（支点反力）は未知数となり，既知荷重は r 軸方向の fr1=P/2 となる．これと
境界条件 ds1=U2=V2=0 を式(1.47)に代入すると，
 3
 P 2
3 −2 3

 f 
1
−2
 s1  EA  3

=

4
 F2 X  4 L − 2 3 − 2
 F2Y 
0
0
 0
0  d r 1 
 
0  0 
 
0  0 

0  0 
(1.49)
式(1.49)より，既知荷重に関する式のみを抜き出すと，次のようになる．
{P 2} = EA [3
4L
]
3 − 2 3 0 {d r 1
0 0 0}
T
(1.50)
式(1.50)のベクトル，マトリックスを展開すると，次のようになる．
P 3EA
=
d r1
2
4L
(1.51)
式(1.51)より，節点 1 の傾斜支持面に沿った r 軸方向の変位 dr1 は，
d r1 =
2 PL
3EA
(1.52)
トラス構造では，回転変位が 0 であることに注意して，節点 1 の全体座標系 X，Y 軸方向変位 U1，V1
11
2014/06/11
技術者のための構造力学
は，式(1.52)および ds1=0 を式(1.22)に代入すると，
U 1  1  3
 = 
V1  2  − 1
1  2 PL (3EA)  3PL (3EA)
=


0
3
  − PL (3EA) 
(1.53)
式(1.53)より，節点 1 の X 軸方向変位 U1，Y 軸方向変位 V1 は，それぞれ式(1.39)で与えられる理論解
δ 1 X = 3 PL (3EA) ，δ1Y=-PL/(3EA)と一致していることがわかる．
次に，支点反力を求めるため，式(1.49)の未知節点力に関する行のみを抜き出した式に，変位を代入
すると，
2 PL (3EA)
 3
1 − 2 0 
 f s1 
  3P 6 
0


  EA 
 
 F2 X  =
 = − 3P 3
− 2 3 − 2 4 0 
0
 F  4L  0
  0 

0
0
0
 2Y 



 
0

(1.54)
マトリックス変位法では，支点の拘束方向に作用する外力が取り扱えない（例えば，式(1.48)で求め
た f s1 = − 3P 2 は，式(1.49)の剛性方程式では考慮されていない）ため，剛性方程式と変位から求めた
拘束方向の節点力には，外力の影響が含まれていない．このため，拘束方向に外力の作用する自由度の
支点反力は，節点力に逆向きの外力を重ね合わせて求める必要がある．本トラス構造物では，拘束方向
の逆向き外力 f’s1 は，式(1.48)で求めた f s1 = − 3P 2 より， f s′1 =
3P 2 となる．したがって，節点 1
における傾斜面垂直（s）方向の支点反力 Rs1 は，
3
3
2 3
P+
P=
P
6
2
3
R s1 = f s1 + f s′1 =
(1.55)
式(1.54)，(1.55)より，支点反力の正の向きに注意すれば，Rs1，FX2，FY2 は，それぞれ式(1.38)で与えら
れる反力 R1，R2H，R2V と一致することがわかる．
４．２
４．２ 2 次元骨組
次元骨組構造物
骨組構造物
傾斜支持節点を有する構造物として，図－1.11 に示す，2 次元ラーメン構造物を考える．この構造物
は，節点 1 がピン支持，節点 3 が X 軸方向から反時計回りに 45°回転した斜面上でローラー支持されて
おり，節点 2 には X 軸方向の集中荷重 P が作用しているものとする．なお，同図中の（）内は，要素番
号を表している．
L s
(2)
EA，EI
Y
2
P
L
3
r
表－1.1 ラーメン構造物の理論解
φ=45°
項目
節点番号
1
R3
支点反力
3
(1)
EA，EI
1
2
1
R1H
R1V
弾性係数：E=200000 N/mm
断面積：A=1000 mm2
4
X 断面二次モーメント：I=100000000 mm
部材長：L=10 m
集中荷重の大きさ：P=100 kN
図－1.11 2 次元ラーメン構造物
12
変位
2
3
成分
R 1H (kN)
理論解
-5.000E+01
R 1V (kN)
R 3 (kN)
δ 1X (mm)
δ 1Y (mm)
θ 1 (rad.)
δ 2X (mm)
δ 2Y (mm)
θ 2 (rad.)
δ 3X (mm)
δ 3Y (mm)
θ 3 (rad.)
-5.000E+01
7.071E+01
0.000E+00
0.000E+00
-1.253E-01
8.358E+02
2.500E+00
-2.500E-04
8.333E+02
8.333E+02
1.248E-01
2014/06/11
技術者のための構造力学
本構造物に対して，まず，構造力学による支点反力と各節点の変位の理論解を示す．さらに，それら
をマトリックス変位法によっても数値計算し，理論解との比較によって，傾斜支持節点の処理方法の妥
当性を示す．
図－1.11 に示すように，支点反力 R1H，R1V および R3 を定義すると，これらは力のつり合い条件によ
り，それぞれ次のように求められる．
R1V = −
2
P
P
, R1 H = − , R 3 =
P
2
2
2
(1.56)1~3
節点 1 における X，Y 軸方向変位 δ1X，δ1Y，および反時計回りを正とする回転変位 θ1 は，それぞれ次
のように求められる．
δ
1X
= 0, δ 1Y = 0, θ 1 = −
PL2
P
−
4 EI 2 EA
(1.57)1~3
また，節点 2 における X，Y 軸方向変位 δ2X，δ2Y，および反時計回りを正とする回転変位 θ2 は，それ
ぞれ次のように求められる．
δ
2X
=
PL3
PL
PL
P
+
, δ 1Y =
, θ2 = −
6 EI 2 EA
2 EA
2 EA
(1.58)1~3
さらに，節点 3 における X，Y 軸方向変位 δ3X，δ3Y，および反時計回りを正とする回転変位 θ3 は，そ
れぞれ次のように求められる．
δ
3X
=
PL3
PL3
PL2
P
, δ 3Y =
, θ3 =
−
6 EI
6 EI
4 EI 2 EA
(1.59)1~3
図－1.11 に示す諸元を以上の支点反力，節点変位の代数式に代入すると，理論解は表－1.1 のように
表される．
次に，マトリックス変位法によって変位と支点反力を求める．なお，数値計算には，Microsoft 社の
Excel を用いることにする．以下に計算過程を示す．
(1) 全体座標系表示の要素剛性マトリックスの計算
要素座標系表示の要素剛性マトリックス[k]は，式(1.1)で与えられる．要素 1 については，式(1.1)に図
－1.11 に与えられている諸元を代入することにより，次のように表される．ただし，要素 1 の要素座標
系の x 軸は，式(1.1)における i=1，j=2 として，節点 1 から 2 の向きに定義する．
u1
1
[k ]=
f x1
f y1
m1
f x2
f y2
m2
θ1
v1
u2
v2
θ2
2.000E+04 0.000E+00 0.000E+00 -2.000E+04 0.000E+00 0.000E+00
0.000E+00 2.400E+02 1.200E+06
0.000E+00 1.200E+06 8.000E+09
-2.000E+04 0.000E+00 0.000E+00
0.000E+00 -2.400E+02 -1.200E+06
0.000E+00 1.200E+06 4.000E+09
13
0.000E+00
0.000E+00
2.000E+04
0.000E+00
0.000E+00
-2.400E+02 1.200E+06
-1.200E+06 4.000E+09
0.000E+00 0.000E+00
2.400E+02 -1.200E+06
-1.200E+06 8.000E+09
2014/06/11
技術者のための構造力学
要素 1 では，要素座標系から全体座標系への座標変換マトリックス[T]は，α=90°であるから，式(1.2)，
(1.3)より，次のように表される．
F X 1 (U 1)
f x 1 (u 1)
f y 1 (v 1)
m
1 (θ 1)
1
[T ]=
f x 2 (u 2)
f y 2 (v 2)
m 2 (θ 2)
F Y 1 (V 1)
M 1 (Θ 1)
F X 2 (U 2)
F Y 2 (V 2)
M 2 (Θ 2)
6.126E-17 1.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
-1.000E+00 6.126E-17 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
1.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
6.126E-17 1.000E+00 0.000E+00
-1.000E+00 6.126E-17 0.000E+00
0.000E+00 0.000E+00 1.000E+00
式(1.10)にしたがって，要素 1 の要素剛性マトリックス[k1]を全体座標系の要素剛性マトリックスに変
換すると，次のように表される．マトリックス積の計算には，Excel の MMULT 関数を使用した．
U1
1
1 T
1
1
[K ]=[T ] [k ][T ]=
Θ1
V1
U2
V2
Θ2
2.400E+02 1.210E-12 -1.200E+06 -2.400E+02 -1.210E-12 -1.200E+06
FX1
FY 1
M1
FX2
FY 2
M2
1.210E-12 2.000E+04 7.351E-11 -1.210E-12 -2.000E+04 7.351E-11
-1.200E+06 7.351E-11 8.000E+09 1.200E+06 -7.351E-11 4.000E+09
-2.400E+02 -1.210E-12 1.200E+06 2.400E+02 1.210E-12 1.200E+06
-1.210E-12 -2.000E+04 -7.351E-11 1.210E-12 2.000E+04 -7.351E-11
-1.200E+06 7.351E-11 4.000E+09 1.200E+06 -7.351E-11 8.000E+09
要素 2 の部材座標系は，式(1.1)における i=2，j=3 として，節点 2 から 3 の向きに要素座標系の x 軸を
定義する．要素 1 と同様に，要素座標系表示の要素剛性マトリックスを求めると，次のようになる．
u2
2
[k ]=
θ2
v2
u3
v3
θ3
2.000E+04 0.000E+00 0.000E+00 -2.000E+04 0.000E+00 0.000E+00
f x2
f y2
m2
f x3
f y3
m3
0.000E+00 2.400E+02 1.200E+06
0.000E+00 1.200E+06 8.000E+09
-2.000E+04 0.000E+00 0.000E+00
0.000E+00 -2.400E+02 -1.200E+06
0.000E+00 1.200E+06 4.000E+09
0.000E+00
0.000E+00
2.000E+04
0.000E+00
0.000E+00
-2.400E+02 1.200E+06
-1.200E+06 4.000E+09
0.000E+00 0.000E+00
2.400E+02 -1.200E+06
-1.200E+06 8.000E+09
要素 2 では，要素座標系から全体座標系への座標変換マトリックス[T]は，α=0°であるから，式(1.2)，
(1.3)より，次のように表される．
f x 2 (u 2)
f y 2 (v 2)
m 2 (θ 2)
2
[T ]=
f x 3 (u 3)
f y 3 (v 3)
m 3 (θ 3)
F X 2 (U 2)
F Y 2 (V 2)
M 2 (Θ 2)
F X 3 (U 3)
F Y 3 (V 3)
M 3 (Θ 3)
1.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
1.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
1.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
1.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
1.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
1.000E+00
式(1.10)にしたがって，要素 2 の要素剛性マトリックス[k2]を全体座標系に変換すると，
U2
2
2 T
2
2
[K ]=[T ] [k ][T ]=
FX2
FY 2
M2
FX3
FY 3
M3
Θ2
V2
U3
2.000E+04 0.000E+00 0.000E+00 -2.000E+04
0.000E+00 2.400E+02 1.200E+06 0.000E+00
0.000E+00 1.200E+06 8.000E+09 0.000E+00
-2.000E+04 0.000E+00 0.000E+00 2.000E+04
0.000E+00 -2.400E+02 -1.200E+06 0.000E+00
0.000E+00 1.200E+06 4.000E+09 0.000E+00
14
V3
Θ3
0.000E+00 0.000E+00
-2.400E+02 1.200E+06
-1.200E+06 4.000E+09
0.000E+00 0.000E+00
2.400E+02 -1.200E+06
-1.200E+06 8.000E+09
2014/06/11
技術者のための構造力学
(2) 全体剛性マトリックスの計算
要素 1 と 2 の要素剛性マトリックス成分を重ね合わせること（アセンブリ）により，全体剛性マトリ
ックスは，次のように表される．
U1
i
[K ]=Σ[K ]=
FX1
FY 1
M1
FX2
FY 2
M2
FX3
FY 3
M3
Θ1
V1
U2
Θ2
V2
U3
V3
Θ3
2.400E+02 1.210E-12 -1.200E+06 -2.400E+02 -1.210E-12 -1.200E+06 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
1.210E-12 2.000E+04 7.351E-11 -1.210E-12 -2.000E+04 7.351E-11 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
-1.200E+06 7.351E-11 8.000E+09 1.200E+06 -7.351E-11 4.000E+09 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
-2.400E+02 -1.210E-12 1.200E+06 2.024E+04 1.210E-12 1.200E+06 -2.000E+04 0.000E+00 0.000E+00
-1.210E-12 -2.000E+04 -7.351E-11 1.210E-12 2.024E+04 1.200E+06 0.000E+00 -2.400E+02 1.200E+06
-1.200E+06 7.351E-11 4.000E+09 1.200E+06 1.200E+06 1.600E+10 0.000E+00 -1.200E+06 4.000E+09
0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 -2.000E+04 0.000E+00 0.000E+00 2.000E+04 0.000E+00 0.000E+00
0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 -2.400E+02 -1.200E+06 0.000E+00 2.400E+02 -1.200E+06
0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 1.200E+06 4.000E+09 0.000E+00 -1.200E+06 8.000E+09
(3) 傾斜座標系から全体座標系への座標変換マトリックスの計算
傾斜座標系から全体座標系への座標変換マトリックスの計算
図－1.11 に示すように，本構造物は節点 3 が傾斜支持されているため，傾斜座標系から全体座標系へ
の変換マトリックス[Trs]を求めておく必要がある．傾斜支持面は全体座標系の X 軸から反時計回りに
45°回転しているから，式(1.21)，(1.22)より，[Trs]は次のように求められる．
f r 3 (d r 3)
f s 3 (d s 3)
m t 3 (θ t 3)
F X 3 (U 3) 7.071E-01 -7.071E-01 0.000E+00
[T rs ]= F Y 3 (V 3) 7.071E-01 7.071E-01 0.000E+00
M 3 (Θ 3) 0.000E+00 0.000E+00 1.000E+00
(4) 傾斜支持節点に関する処理
図－1.11 に示す構造物の剛性方程式は，式(1.26)，(1.27)と同様に，節点ごとに小ベクトル，小マトリ
ックスを用いると，(2)で求めた全体剛性マトリックスに基づいて，次のように表される．
{F1 } [K11 ]

 
{F2 } = [K 21 ]
{F }  [0]
 3  
[K ] [0]  {D }
[K ] [K ] {D }
[K ] [K ] {D }
12
1
22
23
2
32
33
3
(1.60)
同構造物では，節点 3 が傾斜支持されているから，式(1.37)にしたがって，節点 3 に関する自由度が
傾斜座標系に変換された全体剛性方程式は，次のように表される．
 {F1 }  [K11 ]

 
 {F2 }  = [K 21 ]
{ f }  [0]
 rs 3  
[K ]
[0]   {D } 
[K ]
[K ][T ]   {D }
[T ] [K ] [T ] [K ][T ] {d }
12
1
22
23
T
rs
rs
2
(1.61)
T
32
rs
33
rs
rs 3
式(1.61)において，剛性マトリックスのうち，座標変換の影響を受ける小マトリックスについて，そ
の成分を書き出せば，それぞれ以下のようになる．
dr3
[K 23][T rs ]=
FX2
FY 2
M2
[T rs ] [K 32]=
θt3
-1.414E+04 1.414E+04 0.000E+00
-1.697E+02 -1.697E+02 1.200E+06
-8.485E+05 -8.485E+05 4.000E+09
U2
T
ds3
V2
Θ2
f r3
-1.414E+04 -1.697E+02 -8.485E+05
f s3
1.414E+04 -1.697E+02 -8.485E+05
mt 3
0.000E+00 1.200E+06 4.000E+09
15
2014/06/11
技術者のための構造力学
fr3
dr3
d s3
θt3
1.012E+04 -9.880E+03 -8.485E+05
fs3
-9.880E+03 1.012E+04 -8.485E+05
mt 3
-8.485E+05 -8.485E+05 8.000E+09
T
[T rs ] [K 33][T rs ]=
以上の座標変換が施された全体剛性マトリックスは，以下のようになる．
U1
FX1
FY 1
M1
FX2
FY 2
M2
fr3
fs3
mt 3
[K ]=
Θ1
V1
U2
2.400E+02 1.210E-12 -1.200E+06
1.210E-12 2.000E+04 7.351E-11
-1.200E+06 7.351E-11 8.000E+09
-2.400E+02 -1.210E-12 1.200E+06
-1.210E-12 -2.000E+04 -7.351E-11
-1.200E+06 7.351E-11 4.000E+09
0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Θ2
V2
dr3
-2.400E+02 -1.210E-12 -1.200E+06
-1.210E-12
1.200E+06
2.024E+04
1.210E-12
1.200E+06
-2.000E+04 7.351E-11
-7.351E-11
1.210E-12
2.024E+04
1.200E+06
4.000E+09
1.200E+06
1.200E+06
1.600E+10
-1.414E+04 -1.697E+02 -8.485E+05
1.414E+04 -1.697E+02 -8.485E+05
0.000E+00 1.200E+06 4.000E+09
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
-1.414E+04
-1.697E+02
-8.485E+05
1.012E+04
-9.880E+03
-8.485E+05
ds3
θt 3
0.000E+00 0.000E+00
0.000E+00 0.000E+00
0.000E+00 0.000E+00
1.414E+04 0.000E+00
-1.697E+02 1.200E+06
-8.485E+05 4.000E+09
-9.880E+03 -8.485E+05
1.012E+04 -8.485E+05
-8.485E+05 8.000E+09
(5) 荷重条件と境界条件の導入
(4)にて座標変換された剛性方程式に，
荷重条件 M1=FY2=M2=fr3=mt3=0，FX2=P，および境界条件 U1=V1=0，
ds3=0 を代入すると，次のようになる．以下の剛性マトリックスにおいて，薄桃色のシェーディングは，
荷重が既知，変位が未知の成分を意味している．
U 1=0
[K ]=
FX1
FY1
M 1=0
F X 2=P
F Y 2=0
M 2=0
f r 3=0
f s3
m t 3=0
Θ1
V 1=0
U2
Θ2
V2
dr3
d s 3=0
θt3
2.400E+02 1.210E-12 -1.200E+06 -2.400E+02 -1.210E-12 -1.200E+06
1.210E-12 2.000E+04
-1.200E+06 7.351E-11
-2.400E+02 -1.210E-12
-1.210E-12 -2.000E+04
-1.200E+06 7.351E-11
0.000E+00 0.000E+00
0.000E+00 0.000E+00
0.000E+00 0.000E+00
7.351E-11
8.000E+09
1.200E+06
-7.351E-11
4.000E+09
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
7.351E-11 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
4.000E+09 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
1.200E+06 -1.414E+04 1.414E+04 0.000E+00
1.200E+06 -1.697E+02 -1.697E+02 1.200E+06
1.600E+10 -8.485E+05 -8.485E+05 4.000E+09
-1.414E+04 -1.697E+02 -8.485E+05 1.012E+04 -9.880E+03 -8.485E+05
1.414E+04 -1.697E+02 -8.485E+05 -9.880E+03 1.012E+04 -8.485E+05
0.000E+00 1.200E+06 4.000E+09 -8.485E+05 -8.485E+05 8.000E+09
-1.210E-12 -2.000E+04
1.200E+06 -7.351E-11
2.024E+04 1.210E-12
1.210E-12 2.024E+04
1.200E+06 1.200E+06
以上の剛性マトリックスにおいて，薄桃色のシェーディングが施された成分のみを抜き出して，剛性
マトリックスのサイズを縮小するとともに，荷重の値を具体的に記入すると，次のようになる．
荷重 (N) or (Nmm )
[K ]=
M1
FX2
FY 2
M2
fr3
mt 3
0.000E+00
1.000E+05
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
Θ1
U2
V2
8.000E+09
1.200E+06
-7.351E-11
4.000E+09
0.000E+00
0.000E+00
1.200E+06
2.024E+04
1.210E-12
1.200E+06
-7.351E-11
1.210E-12
2.024E+04
1.200E+06
Θ2
dr3
θt3
4.000E+09 0.000E+00 0.000E+00
1.200E+06 -1.414E+04 0.000E+00
1.200E+06 -1.697E+02 1.200E+06
1.600E+10 -8.485E+05 4.000E+09
-1.414E+04 -1.697E+02 -8.485E+05 1.012E+04 -8.485E+05
0.000E+00 1.200E+06 4.000E+09 -8.485E+05 8.000E+09
16
2014/06/11
技術者のための構造力学
(6) 剛性マトリックスの逆マトリックスの計算
Excel の minverse 関数を用いて，(5)にて縮小された剛性マトリックスの逆マトリックス[K]-1 を求めれ
ば，以下のようになる．
Θ1
U2
V2
Θ2
dr3
θt 3
-1
[K ] =
M1
FX2
FY 2
M2
f r3
mt 3
3.336E-10
-1.253E-06
-2.500E-09
-4.142E-11
-1.768E-06
-1.664E-10
-1.253E-06
8.358E-03
2.500E-05
-2.500E-09
1.179E-02
1.248E-06
-2.500E-09
2.500E-05
5.000E-05
-2.500E-09
3.536E-05
-2.500E-09
-4.142E-11
-2.500E-09
-2.500E-09
8.358E-11
4.866E-20
-4.142E-11
-1.768E-06
1.179E-02
3.536E-05
-8.516E-23
1.672E-02
1.768E-06
-1.664E-10
1.248E-06
-2.500E-09
-4.142E-11
1.768E-06
3.336E-10
(7) 未知変位の計算
(6)にて計算された剛性マトリックスの逆マトリックスと，既知荷重ベクトルとの積を計算することに
より，未知変位は次のように求められる．
変位 (mm ) or (rad.)
Θ1
U2
V2
Θ2
dr3
θt 3
-1
{U }=[K ] {F }=
-1.253E-01
8.358E+02
2.500E+00
-2.500E-04
1.179E+03
1.248E-01
なお，節点 3 の全体座標系の変位は，傾斜座標系の変位が求められているため，式(1.22)により，座
標変換によって次のように求められる．
変位 (mm) or (rad.)
U3
V3
Θ3
{D 3}=[T rs ]{d rs 3}=
8.333E+02
8.333E+02
1.248E-01
(8) 支点反力の計算
支点反力は，(4)にて求めた全体剛性マトリックスのうち，未知節点力に関する成分と，(7)にて求めた
未知変位との掛け算によって求めることができる．(4)にて求めた全体剛性マトリックスのうち，未知節
点力に関する成分を薄桃色のシェーディングで以下に示す．あわせて，以下には，(7)にて計算した変位
の値も示してある．
U1
[K ]=
FX1
FY 1
M 1=0
F X 2=P
F Y 2=0
M 2=0
f r 3=0
f s3
m t 3=0
V1
Θ1
2.400E+02 1.210E-12 -1.200E+06
1.210E-12 2.000E+04 7.351E-11
-1.200E+06 7.351E-11 8.000E+09
-2.400E+02 -1.210E-12 1.200E+06
-1.210E-12 -2.000E+04 -7.351E-11
-1.200E+06 7.351E-11 4.000E+09
0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
U2
Θ2
V2
-2.400E+02 -1.210E-12 -1.200E+06
-1.210E-12
1.200E+06
2.024E+04
1.210E-12
1.200E+06
-2.000E+04 7.351E-11
-7.351E-11
1.210E-12
2.024E+04
1.200E+06
4.000E+09
1.200E+06
1.200E+06
1.600E+10
-1.414E+04 -1.697E+02 -8.485E+05
1.414E+04 -1.697E+02 -8.485E+05
0.000E+00 1.200E+06 4.000E+09
17
dr3
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
-1.414E+04
-1.697E+02
-8.485E+05
1.012E+04
-9.880E+03
-8.485E+05
ds3
θt 3
0.000E+00 0.000E+00
0.000E+00 0.000E+00
0.000E+00 0.000E+00
1.414E+04 0.000E+00
-1.697E+02 1.200E+06
-8.485E+05 4.000E+09
-9.880E+03 -8.485E+05
1.012E+04 -8.485E+05
-8.485E+05 8.000E+09
変位 (mm) or (rad.)
U1
V1
Θ1
U2
V2
Θ2
dr3
ds3
θt3
0.000E+00
0.000E+00
-1.253E-01
8.358E+02
2.500E+00
-2.500E-04
1.179E+03
0.000E+00
1.248E-01
2014/06/11
技術者のための構造力学
以上の剛性マトリックスのうち，薄桃色シェーディング部のみを書き出すと次のようになる．
[K ]=
FX1
FY 1
f s3
U1
V1
Θ1
U2
V2
Θ2
dr3
2.400E+02 1.210E-12 -1.200E+06 -2.400E+02 -1.210E-12 -1.200E+06 0.000E+00
1.210E-12 2.000E+04 7.351E-11 -1.210E-12 -2.000E+04 7.351E-11 0.000E+00
0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 1.414E+04 -1.697E+02 -8.485E+05 -9.880E+03
d s3
θt 3
0.000E+00 0.000E+00
0.000E+00 0.000E+00
1.012E+04 -8.485E+05
以上の剛性マトリックスと変位ベクトルとの掛け算によって，節点力はそれぞれ次のように求められ
る．
節点力 (N) or (Nmm)
{F }=[K ]{U }=
FX1
FY 1
f s3
-5.000E+04
-5.000E+04
7.071E+04
節点力は X，Y，r，s 方向を正として求められるため，図－1.11 に示す支点反力 R1H，R1V，R3 との対
応関係は，両者の正の向きに注意すると，FX1=R1H，FY1=R1V，fs3=R3 となる．
以上の手続きで求められた，図－1.11 に示す 2 次元ラーメン構造物の支点反力と節点変位の数値解析
結果について，理論解と比較して表－1.2 に示す．
【参考文献】
1) 崎元達郎：基礎土木工学シリーズ 2 構造力学[下]，森北出版，1993.
2) H.C. Martin（吉敷雅夫監訳）：マトリックス法による構造力学の解法，培風館，1967.
表－1.2 ラーメン構造物の理論解と数値解析結果
項目
節点番号
1
支点反力
3
1
変位
2
3
成分
R 1H (kN)
理論解
数値解析結果
-5.000E+01
-5.000E+01
R 1V (kN)
R 3 (kN)
δ 1X (mm)
δ 1Y (mm)
θ 1 (rad.)
δ 2X (mm)
δ 2Y (mm)
θ 2 (rad.)
δ 3X (mm)
δ 3Y (mm)
θ 3 (rad.)
-5.000E+01
7.071E+01
0.000E+00
0.000E+00
-1.253E-01
8.358E+02
2.500E+00
-2.500E-04
8.333E+02
8.333E+02
1.248E-01
18
-5.000E+01
7.071E+01
0.000E+00
0.000E+00
-1.253E-01
8.358E+02
2.500E+00
-2.500E-04
8.333E+02
8.333E+02
1.248E-01

Download Report