減衰⾃由振動⽅程式の解
d 2y
dy
2
2  2h dt   y  0
dt
y   2hy    2 y  0

y=
bbept

pt
p
解として y  e と仮定し、これを振
解として、
仮定しこれを振
動⽅程式に代⼊すると、特性⽅程式
p 2e pt  2hpe pt   2e pt  0
2
2
p  2hp    0
が得られる。
（3）ｈ<１の場合
減衰⾃由振動⽅程式の
特性⽅程式の解
p 2  2h p   2  0
p  h   h 2  1
ｐの値は、
の値はｈの⼤きさによって３つの
の値は、ｈ
の⼤きさによて３つの
ケースが存在する。
(1) h>1の場合
(2) h=1の場合
(3)) h<1の場合
(3
（3）ｈ<１の場合
（i
2
p  h   h  1
ｈ＜１であり
2
= -1)
p  h  i 1  h 2  h  i 
e
 Be
(Ae
y  e ht (Ae
it
)
 Be
it
y  e  ht ( A cos t  iA sin t  B cos t  iB sin t )
 e ht ( A  B ) cos t  i ( A  B ) sin t
e



(     1  h 2 )



y  Ae p1t  Be p 2t  Ae (h i )t  Be (h i )t
ht
it
it
e
(Ae
 Be
)
初期条件：ｔ＝０
初期条件：ｔ＝０
dy/dt＝ｖ
＝ｖ０
ｙ＝ｙ０ , dy/dt
)


= -1)
y  e  ht ( A  cos   t  B  sin   t )
i
オイラーの公式 e  cos   i sin 
 i
e
 cos   i sin 
 ht
2
p  h  i 1  h 2  h  i 
(     1  h 2 )



y  Ae p1t  Be p 2t  Ae (h i )t  Be (h i )t
ht
it
it
（i
2
p  h   h  1
ｈ＜１であり


( A cos  t  B sin  t )
ところで、B * は複素数？


A  y0

v
 h y
 
B  0  0



B * は実数
v  hy
y  e ht (y 0 cost  0  0 sin t )

それでは、B
*
を実数として⾏うと
変位


y  e ht (Ae i t  Be i t )
速度
i
オイラーの公式 e  cos   i sin 
 i
e
 cos   i sin 
y  e  ht ( A cos   t  iB  sin   t )
dy
 he ht ( A cos   t  iB  sin   t )  e  ht (   A sin   t  i  B  cos   t )
dt
t  o；
初期条件
y  e  ht ( A cos  t  iA sin  t  B cos  t  iB sin  t )

dy / dt  v 0
y  yo

A  y0

  v0  hy0
B 
i 
y 0  A
v 0   hA   i  B 


 e  ht ( A  B ) cos  t  i ( A  B ) sin  t
左辺の変位ｙは実数であるため、A とＢは共役複素数
[A = c +id 、 B = c -id ] の関係でなければならない
B*  i ( A  B )  i(c  id )  (c  id )  2d
A*  A  B  (c  id )  (c  id )  2c
e
 ht
( A cos  t  B sin  t )



no good !!!!


y  e  ht (Ae i t  Be  i t )
i
オイラーの公式 e  cos   i sin 
 i
e
 cos   i sin 
y  e ht ( y 0 cos  t 

ye
 ht
 ht

( A cos  t  iA sin  t  B cos  t  iB sin  t )





e
( A  B ) cos  t  i ( A  B ) sin  t
左辺の変位ｙは実数であるため、A とＢは共役複素数
[A = c +id 、 B = c -id ] の関係でなければならない
A*  A  B  (c  id )  (c  id )  2c
e
 ht
B*  i ( A  B )  i(c  id )  (c  id )  2d
( A cos  t  B sin  t )
y1  e





sin  t )
ω = 10 rad/s
d/
y0 = 5 cm
h = 0.1
v0 = 100 cm/s
h  t
y 2  y 0 cos  t
v 0  h y 0
解
説
減衰⾃由振動は、振動が徐々に⼩さくなる現象であること
は述べるまでもない。
y3 
v 0  h y 0

sin
i  t


v  h y 0

y  e  h  t y 0 cos   t  0
sin  t 



そのように考えれば、減衰⾃由振動⽅程式の解は、周期解
を基本として表されるはずである。解を y=ept と仮定して
得られた特性⽅程式において、e のべき乗項 pt が虚数であ
れば、（オイラーの公式が適⽤できて、sin関数とcos関数で
表現できる解となり）、周期解となる。
ｐ：実数
⾮減衰⾃由振動と
減衰⾃由振動の解の⽐較
⾮周期関数
pt
y e
y  e pt
ｐ：虚数
周期関数

⾮減衰⾃由振動
d y
2
2  y  0
dt
v
y  y 0 cos t  0 sin t
y e
(y 0 cos  t
v  hy
 0  0 sin t )


ei  cos i sin
 i
e  cos i sin
T
2
⾮減衰⾃由振動

y e
(y 0 cos  t
v 0  hy 0

sin t )



T 



2
2
 1 h
v 0  hy 0


2

sin  t )
変位＝減衰関数×
変位＝減衰関数
×(⾮減衰
⾮減衰の周期
の周期関数
関数))
2
2
2



   1 h 2
⾮減衰⾃由振動⽅程式
減衰⾃由振動⽅程式
y  2 h  y   2 y  0
y  2 y  0
y  A cos t  B sin  t

⼀般解：

初期条件： t = 0
0；
；y= y0 , dy
dy/
/dt = v0
y  C cos t   
1
2
2
C  A  B ,   tan B A
A  y0 , B  v 0 
 k m

d y
dy
  2y  0
2  2h
dt
dt
h t

d y
2
2  y  0
dt
v
y  y 0 cos t  0 sin t
2
y  e ht ( y 0 cos  t 
2
2
T
減衰⾃由振動

2

T 
⾮減衰⾃由振動と
減衰⾃由振動の解の⽐較

減衰⾃由振動

d 2y
dy
  2y  0
2  2h
dt
dt
h t

2
, T  2 m k

⼀般解： h < 1.0
1.0；
；y  e
h t
A  cos t  B  sin t
初期条件： t = 0
0；
；y = y0 , dy/
dy/dt = v0
y  Ce  h  t cos(  t   )
C A

2
B
2 ,

A  y0 , B 

   1 h
2


  tan 1 B  A
v 0  h y 0


, T 
2
 1 h2
The Golden Gate Bridge, Dedicated May 27, 1937
減衰⾃由振動の性質
y e
h t



Chief Engineer Joseph B. Strauss

( A cos  t  B sin  t )

A  C cos 
 
B  C sin 
2
(
    1 h )
とおくと、
とおく
と、
y  e h t (C cos  cos t  C sin  sin t )
 Ce h t cos(  t  )
2
2
B
(C  A   B  ,tan    )
A

実構造物の減衰測定
e  h t
ω = 10 rad/s
y0 = 5 cm
h = 0.1
v0 = 100 cm/s
T* =
2π/ω*
t=tm ; y m  Ce ht m cos( t m  )
h(tm T )
t=tm+1 ; ym1  Ce
 Ce
h (tm T  )



cos  (t m T )  


cos  t m  



t=tm+n ; ymn Ceh(tm nT ) cos (tm nT) 



 Ce h (tm nT ) cos t m  
減衰⽐、対数減衰率

減衰⽐（Damping
減衰⽐（
Damping Ratio )
T 
 1 h2
h t m

e
ym

 e ht m h (t m T )
y m 1 e h
h (t m T  )

2
 e h  T  e 2 h / 1h  e 2 h
ym
y m n
e ht m
 e h nT
h (t m nT  )
e


減衰⽐、対数減衰率
2
2
 e 2 nh / 1h  e 2 nh
例題：１質点ばね系のモデルが減衰⾃由振動した際
例題：１質点ばね系のモデルが減衰⾃由振動した際
の変位波形が、下図のように与えられた。この系の減
の変位波形が、下図のように与えられた。この系の
減
衰定数ｈ
衰定数
ｈ、減衰係数
減衰係数ｃ、
ｃ、ばね定数ｋは、
ばね定数ｋは、いくらになるか
いくらになるか。
。
なお、質点の重量98
なお、質点の重量
98Ｎ（質量ｍ：
Ｎ（質量ｍ：10kg
10kg）である。
）である。
 対数減衰率（Logarithmic Decrement ）
1  loge
n  loge
ym
2 h

 2 h
y m 1
1  h2
ym
2 nh

 2 nh
y m n
1  h2
解答：
ym
y
2 h 3.20
e

 1.561 2h  log e m  log e (1.561)  0.445
y m1
2.05
y m 1
h  0.445 / (2  )  0.071
c
 2  2h
m
  2  f  2   2  4  (rad / s )
c  2hm   2  0.071  10  4   17.8N  s / m
k  m  2  10  (4  )2  1579 .1.N / m  1.58kN / m
解答：
ym
y
2 h 3.20
e

 1.561 2h  log e m  log e (1.561)  0.445
y m1
2.05
y m 1
h  0.445 / (2  )  0.071
c
 2  2h
m
  2  f  2   2  4  (rad / s )
c  2hm   2  0.071  10  4   17.8N  s / m
2
2
k  m   10  (4  )  1579 .1.N / m  1.58kN / m

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