数学ⅡB スタンダードコース第3回三角関数

数学ⅡB スタンダードコース第３回
三角関数
１
sin a = 3 、 cos b = 12 のとき、 sin(a + b ) 、 cos(a - b ) の値を求めよ。
5
13
ただし、 p ＜ a ＜ p 、 0 ＜ b ＜ p とする。
2
2
２
2 直線 y = 2x 、 y = 3x のなす鋭角を q とするとき、 tan q の値を求めよ。
３
次の値を半角の公式を用いて求めよ。
(１) sin15°
(２) cos22.5°
(３)
tan 67.5°
４
0 ≦ x ＜ 2p のとき、次の方程式・不等式を解け。
(１)
(２)
sin x + cos x = 1
3 sin x - cos x ≦ 2
５
y = sin x + cos x + sin 2x について、次の問いに答えよ。
(１)
(２)
sin x + cos x = t とおいて y を t の式で表せ。
y の値の範囲を求めよ。
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【解答】
１
sin 2a + cos2a = 1 より
()
2
cos2a = 1 - sin2a = 1 - 3 = 16
5
25
p ＜ a ＜ p より
2
cos a ＜ 0
\ cos a = - 16 = - 4
25
5
また、 sin 2 b + cos2 b = 1 より
( )
2
sin 2 b = 1 - cos2 b = 1 - 12 = 25
13
169
0 ＜ b ＜ p より
2
\ sin b =
sin b ＞ 0
25 = 5
169 13
加法定理から
sin(a + b ) = sin a cos b + cos a sin b
( )
= 3 × 12 + - 4 × 5 = 16
5 13
5 13 65
cos(a - b ) = cos a cos b + sin a sin b
( )
= - 4 × 12 + 3 × 5 = - 33
5 13 5 13
65
２
2 直線 y = 2x 、 y = 3x の x 軸の正の方向となす角を、それぞれ a 、 b とす
ると
tan a = 2 、 tan b = 3 、 q = b - a ( 0 ＜ q ＜ p )
2
\ tan q = tan( b - a ) =
tan b - tan a
=1
1 + tan b tan a 7
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３
(１)
sin 15° = sin 30° = 1 - cos30° =
2
2
2
2
1-
3
2 = 2- 3
2
4
sin15° ＞ 0 より
sin15° =
(２)
4 - 2 3 = 3 -1 =
8
2 2
2- 3 =
4
cos 22.5° = cos 45° = 1 + cos 45° =
2
2
2
2
1+
6- 2
4
2
2 = 2+ 2
2
4
cos 22.5° ＞ 0 より
2+ 2 =
4
cos 22.5° =
(３)
2+ 2
2
tan 267.5° = tan 2135° = 1 - cos135°
2
1 + cos135°
2
2
=
= 2+ 2 =3+2 2
1- 2 2- 2
2
tan 67.5° ＞ 0 より
1+
tan 67.5° =
3+2 2 =
2 +1
４
(１)
sin x + cos x =
(
(
)
2 sin x + p = 1
4
)
\ sin x + p = 1
4
2
0 ≦ x ＜ 2p より
p ≦x + p ＜ 9p
4
4 4
\ x + p = p 、 3p
4 4
4
\ x = 0 、 p (これらは 0 ≦ x ＜ 2p をみたす)
2
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(２)
3 sin x - cos x ≦ 2 より
)
(
2sin x - p ≦ 2
6
)
(
\ sin x - p ≦ 2
6
2
0 ≦ x ＜ 2p より
- p ≦ x - p ＜ 11 p
6
6
6
\ - p ≦ x - p ≦ p 、 3 p ≦ x - p ＜ 11 p
4
6
6
6
6 4
\ 0 ≦ x ≦ 5 p 、 11 p ≦ x ＜ 2p
12
12
５
(１)
sin x + cos x = t とすると
(sin x + cos x )2 = 1 + 2sin x cos x = t 2
sin 2x = 2sin x cos x = t 2 - 1
\ y = sin x + cos x + sin 2x
= t2+ t - 1
(２)
(
2 sin x + p
4
sin x + cos x =
(
)
)
(
)
-1 ≦ sin x + p ≦1 より、 - 2 ≦ 2 sin x + p ≦ 2
4
4
よって、 t の定義域は - 2 ≦ t ≦ 2
(
)
2
(１)より y = t + 1 - 5 （ - 2 ≦ t ≦ 2 ）なので
2
4
最小値は、 t = - 1 のとき y = - 5
2
4
最大値は、 t =
2 のとき y =
2 +1
\ - 5 ≦ y ≦ 2 +1
4
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