数学 A2 §1 演習問題解答例

数学 A2 §1 演習問題解答例
解 8.
∫
• 0 < k < 1 のとき,
[ 1
]K
1
1
1
1−k
1−k
dx
=
lim
x
=
lim
K
−
=∞
K→∞ 1 − k
K→∞ 1 − k
xk
1−k
1
∞
1
[最後の極限計算で K の指数 1 − k > 0 であることを利用している。]
• k = 1 のとき
∫ ∞
[
]K
1
dx = lim log |x| = lim log K = ∞
K→∞
K→∞
x
1
1
• k > 1 のとき,
∫ ∞
[
]K
1
1
1
1
1
dx = lim
= lim
−
=
k
k−1
k−1
K→∞
K→∞
x
(1 − k)x
(1 − k)K
1−k
k−1
1
1
[最後の極限計算で K の指数 k − 1 > 0 であることを利用している。]
1
以上より, 問題の広義積分は 0 < k ≤ 1 のとき収束せず, k > 1 のとき
にな
k−1
ることが示された。
解 9.
∫
Γ(1) =
(1)
∞
−x 1−1
e x
∫
[
]K
e−x dx = lim −e−x = lim {−e−K − (−1)} = 1
∞
dx =
0
K→∞
0
K→∞
0
(2)
∫
Γ(s + 1) =
∞
∫
−x s
K→∞
0
=
=
K
e x dx = lim
([
]K ∫
−x s
lim −e x
−
K→∞
lim (−e
K→∞
0
−K
0
K
e−x xs dx
(−se−x xs−1 )dx
)
0
s
K ) + sΓ(s)
= sΓ(s)
xs
= 0 (s > 0) を使った. この公式は以下のよ
x→∞ ex
うにして示すことができる.
n を s より大きい自然数とすると, x が十分大きいとき 0 < xs < xn が成り
立つ. よって
xn
xs
0 ≤ lim x ≤ lim x
x→∞ e
x→∞ e
[ただし最後の等号で公式 lim
またロピタルの定理により
xn
nxn−1
n(n − 1)xn−2
lim x = lim
=
lim
x→∞ e
x→∞
x→∞
ex
ex
= ···
n!
= lim x = 0
x→∞ e
xs
よってはさみうちの原理から lim x = 0 が成立する.]
x→∞ e
注. この問題より, n を自然数とするとき,
Γ(n + 1) =
=
=
=
=
nΓ(n)
n(n − 1)Γ(n − 1)
···
n(n − 1)(n − 2) · · · 2 · 1Γ(1)
n(n − 1)(n − 2) · · · 2 · 1 = n!
すなわち n! = Γ(n + 1) という公式が成り立つ. 逆にこれを階乗の実数値 (さらには
複素数値) への拡張と見なすこともできる. 特に 0! = Γ(1) = 1 も成り立っている.

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