数学 A2 §1 演習問題解答例 解 8. ∫ • 0 < k < 1 のとき, [ 1 ]K 1 1 1 1−k 1−k dx = lim x = lim K − =∞ K→∞ 1 − k K→∞ 1 − k xk 1−k 1 ∞ 1 [最後の極限計算で K の指数 1 − k > 0 であることを利用している。] • k = 1 のとき ∫ ∞ [ ]K 1 dx = lim log |x| = lim log K = ∞ K→∞ K→∞ x 1 1 • k > 1 のとき, ∫ ∞ [ ]K 1 1 1 1 1 dx = lim = lim − = k k−1 k−1 K→∞ K→∞ x (1 − k)x (1 − k)K 1−k k−1 1 1 [最後の極限計算で K の指数 k − 1 > 0 であることを利用している。] 1 以上より, 問題の広義積分は 0 < k ≤ 1 のとき収束せず, k > 1 のとき にな k−1 ることが示された。 解 9. ∫ Γ(1) = (1) ∞ −x 1−1 e x ∫ [ ]K e−x dx = lim −e−x = lim {−e−K − (−1)} = 1 ∞ dx = 0 K→∞ 0 K→∞ 0 (2) ∫ Γ(s + 1) = ∞ ∫ −x s K→∞ 0 = = K e x dx = lim ([ ]K ∫ −x s lim −e x − K→∞ lim (−e K→∞ 0 −K 0 K e−x xs dx (−se−x xs−1 )dx ) 0 s K ) + sΓ(s) = sΓ(s) xs = 0 (s > 0) を使った. この公式は以下のよ x→∞ ex うにして示すことができる. n を s より大きい自然数とすると, x が十分大きいとき 0 < xs < xn が成り 立つ. よって xn xs 0 ≤ lim x ≤ lim x x→∞ e x→∞ e [ただし最後の等号で公式 lim またロピタルの定理により xn nxn−1 n(n − 1)xn−2 lim x = lim = lim x→∞ e x→∞ x→∞ ex ex = ··· n! = lim x = 0 x→∞ e xs よってはさみうちの原理から lim x = 0 が成立する.] x→∞ e 注. この問題より, n を自然数とするとき, Γ(n + 1) = = = = = nΓ(n) n(n − 1)Γ(n − 1) ··· n(n − 1)(n − 2) · · · 2 · 1Γ(1) n(n − 1)(n − 2) · · · 2 · 1 = n! すなわち n! = Γ(n + 1) という公式が成り立つ. 逆にこれを階乗の実数値 (さらには 複素数値) への拡張と見なすこともできる. 特に 0! = Γ(1) = 1 も成り立っている.
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