+ v(x, y)

コーシー・リーマンの方程式と、正則関数の微分
公式
(1)
関数 f (z) = u(x, y) + v(x, y) について、次の等式が成立するならば、
f (z) は正則であるという。なお、この等式を、コーシー・リーマン
の方程式 (または、コーシー・リーマンの微分方程式、C − R 方程式)
という。
∂u
∂v
∂u
∂v
=
かつ
=−
∂x
∂y
∂y
∂x
(2)
正則な関数 f (z) に対して、
f (z) =
∂u ∂v
+
i
∂x ∂x
が成立する。
例題
次の関数 f (z) は正則であるか否か判定せよ。また、正則な関数につい
ては、その導関数を求めよ。ただし、z = x + yi とする。
(1)f (z) = x3 + y 2 i
(2)f (z) = (x + y) + (−x + y)i
(3)f (z) = ex sin y − (ex cos y)i
(4)f (z) = z
(5)f (z) = a (a : 定数)
例題の解法
まず、コーシー・リーマンの方程式を使えるような状況に持って
いく必要がある。即ち、f (z) = u(x, y) + v(x, y)i となるように、
実部と虚部を正確に分ける。それさえできれば、後は、公式に当
てはめて計算するだけである。
なお、正則であるか否かを判定するように求められているため、
< f (z) = z は明らかに正則 > と書いてはいけない。
例題の解答
以下に於ける f (z)、u(x, y)、v(x, y) は、冒頭の公式に於ける同記号に対応するものとする。
(1)
f (z) = x3 + y 2 i より、u(x, y) = x3 、v(x, y) = y 2 とおける。
∂u
∂v
∂u
∂v
∂v
よって、 = 3x2 、 = 2y 、 = 0、 = 0 より −
= 0 である。
∂x
∂y
∂y
∂x
∂x
∂v
∂u
したがって、 =
∂x
∂y
となっている。ゆえに、f (z) は正則ではない。
(2)
f (z) = (x + y) + (−x + y)i より、u(x, y) = x + y 、v(x, y) = −x + y とおける。
∂u
∂v
∂u
∂v
∂v
よって、 = 1、 = 1、 = 1、 = −1 より −
= (−1) = 1 である。
∂x
∂y
∂y
∂x
∂x
∂u
∂v ∂u
∂v
したがって、 =
、 =−
∂x
∂y ∂y
∂x
となっている。ゆえに、f (z) は正則である。
次に、f (z) を求めると、
∂u ∂v
+
i
∂x ∂x
= 1 + (−1)i
f (z) =
= 1−i
となる。
(3)
f (z) = ex sin y − (ex cos y)i = ex sin y + (−ex cos y)i より、
u(x, y) = ex sin y 、v(x, y) = −ex cos y とおける
(u(x, y) と v(x, y) を結ぶものは + でなければならない。−ではいけない。)。よって、
∂u
∂x
=
=
∂
{(sin y)ex }
∂x
(sin y)ex
= ex sin y 、
∂v
∂y
∂u
∂y
∂
{−ex cos y}
∂y
= ex sin y 、
=
∂ x
{e sin y}
∂y
= ex cos y 、
=
∂v
∂x
∂
{(− cos y)ex }
∂x
= (− cos y)ex
=
= −ex cos y
∂v
= −(−ex cos y) = ex cos y である。
∂x
∂u
∂v ∂u
∂v
したがって、 =
、
=−
∂x
∂y ∂y
∂x
より、−
となっている。ゆえに、f (z) は正則である。
次に、f (z) を求めると、
∂u ∂v
+
i
∂x ∂x
x
= e sin y + (−ex cos y)i
f (z) =
= ex (sin y + i cos y)
となる。
(4)
f (z) = z = x + yi より、u(x, y) = x、v(x, y) = y とおける。
∂u
∂v
∂u
∂v
∂v
よって、 = 1、 = 1、 = 0、 = 0 より −
= 0 である。
∂x
∂y
∂y
∂x
∂x
∂v ∂u
∂v
∂u
、 =−
したがって、 =
∂x
∂y ∂y
∂x
となっている。ゆえに、f (z) は正則である。
次に、f (z) を求めると、
∂u ∂v
+
i
∂x ∂x
= 1 + 0・i
f (z) =
= 1
となる。
(5)
f (z) = a = a + 0 i (虚部の値が 0 であると考える。) より、
u(x, y) = a、v(x, y) = 0 とおける。
∂u
∂v
∂u
∂v
∂v
よって、 = 0、 = 0、 = 0、 = 0 より −
= 0 である。
∂x
∂y
∂y
∂x
∂x
∂v ∂u
∂v
∂u
、 =−
したがって、 =
∂x
∂y ∂y
∂x
となっている。ゆえに、f (z) は正則である。
次に、f (z) を求めると、
∂u ∂v
+
i
∂x ∂x
= 0 + 0・i
f (z) =
= 0
となる。
以下未完成
問題
次の関数 f (z) は正則であるか否か判定せよ。また、正則な関数につい
ては、その導関数を求めよ。ただし、z = x + yi とする。
(1)f (z) = 3x2 + x3 i
1 2 1 2
x − y + xyi
2
2
(3)f (z) = ex sin y − (ex cos y)i
(2)f (z) =
(4)f (z) =
(5)f (z) =
(6)f (z) = z 2
(7)f (z) = +
(2)f (z) =
1 2 1 2
x − y
2
2
+ (xy)i

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