医療統計学 vol.７
木村朗
＊この章では推定の基礎を学ぶ
一部分から全体を推定するとい
うこと
• ほんとうにすべてを調べることってできるのか？
日本の成年男子？
多多多
缶詰
全数調査
無理
未来
未来に起
こること
は、現時
点で無理
•
母集団
調査対象の全部＝母集団
標本
分析のために母集団から取り
出される一部分＝標本
推定の考え方で適切な標本数を
割りだせる
• 具体例：テレビの視聴率
テレビの視聴率はどうやって調
査しているのか
• 視聴率
＝調査対象となる番組を見ているテレビの台数÷
全体のテレビの台数
標本の数を
適切に選ぶことで、
標本から全体を推
測できる。
この時、推定理論
が役立つ。
４～５台で
は・・・
もし100万台もあっ
たら・・・
•
•
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•
•
ビデオリサーチ社
母集団：関東地区約1455万世帯（1995年当時）
標本：600台
調査：視聴率調査会社が実施
調査結果：テレビ局、広告代理店、広告主が使う
調査結果の影響：番組の存続、打ち切りが決まる
＊標本の選択基準：マスコミ関係者の家庭は除外
＊毎月25世帯づつ入れ替え２年間ですべて入れ替え。
統計の考え方を使って視聴率を
推定してみよう
M
・・・
母集団1455万台
番組Mを見ている確率（視聴率）：ｐ
番組Mを見ていない確率：１－ｐ
標本 600台
確率変数Xは番組Mを
見ている台数
600Cｒ＝600!÷
ｒ！×（600－
ｒ）！
平均ｍ＝np
＝600ｐ
番組Mを見ている確率は独立試行なのでXは二項分布B（600、ｐ）に従う
標準偏差 σ＝
√600ｐ（１－ｐ）
P(X=ｒ）＝600Cｒ×ｐ＾ｒ ×（１－ｐ）＾600-r ここでｒ＝１．２，３・・・600
ズバリ一点で推定。点推定
このうち
99台がある番
組を見ていたと
すれば・・・
600Cｒ＝600!÷ｒ！×（600－ｒ）！
平均ｍ＝np＝600ｐ
標準偏差 σ＝√600ｐ（１－ｐ）
点推定ｐ＝99÷600＝0.165
推定値平均ｍ＝(B（np）に従うと考えるから）600ｐ＝600×0.165＝99
標準偏差σ＝(B（np）に従うと考えるから）
√（600pq）＝√（（600×0.165×（1-0.165）） near＝ 9.09
推定の幅を求める。区間推定１
視聴率ｐ
近似
600Cｒ＝600!÷ｒ！×
標準化
600Cｒ＝600!÷ｒ！×
（600－ｒ）！
（600－ｒ）！
平均ｍ＝np＝600ｐ
標準偏差 σ＝√600ｐ
（１－ｐ）
平均ｍ＝np＝600ｐ
標準偏差 σ＝√600ｐ
（１－ｐ）
T＝
X-m/σ
Tは平均0、
標準偏差
１の
正規分布
に従う
P（│T│≦1.96）
＝0.95
Xに戻すとX-m=Tσより
P（│X-m│≦1.96σ）
＝0.95
P（X-1.96σ≦ｍ≦
X＋1.96σ）
＝0.95
95％で
推定する
場合、1.96
推定の幅を求める。区間推定２
視聴率ｐ
標準化
600Cｒ＝600!÷ｒ！×
（600－ｒ）！
平均ｍ＝np＝600ｐ
標準偏差 σ＝√600ｐ
（１－ｐ）
T＝
X-m/σ
Tは平均0、
標準偏差
１の
正規分布
に従う
P（│T│≦1.96）
＝0.95
Xに戻すとX-m=Tσより
P（│X-m│≦1.96σ）
＝0.95
P（X-1.96σ≦ｍ≦
X＋1.96σ）
＝0.95
95％で
推定する
場合、1.96
面積0.95→1.96
P（99-1.96×9.09≦ｐ≦
99＋1.96×9.09）
＝0.95
Ｐ（0.135≦ｐ≦0.195
95％の確率でPは13.5～16.5%～19.5％にある！
信頼度の高さと信頼区間との関
係は？
1.65
90％
10％
ポケモンの視聴率変化に意味は
あったのか？
16.5%
1997年12月
16.2%
1998年4月
信頼度95％で視聴率は13.5％と19.5％の間にある
信頼度99％で視聴率は12.6％と20.4％の間にある
つまり、信頼区間の中での確率値の変動は変化し
たとは考えられない・・・真の確率値は信頼区間の幅
のどれでも、とりうる信頼度が95％である・・・
信頼度が上がると信頼区間も広
くなる
• 母集団の事象Aが起こる割合ｐを95％で区間推定する
標本のサイズｎ標本における事象Aの起こった数ｒ
• r/ｎ－1.96×σ/n≦ｐ≦ｒ/n＋1.96×σ/n
• Σ＝√np（１－ｐ） near equal＝√n×r/n×（１－ｒ/n）
＝√ｒ×（１－r/ｎ）
信頼度90％のとき1.65
信頼度95％のとき1.96
信頼度99％のとき2.58
２×1.96×（σ/ｎ）
σ＝√ｒ×（１－r/n）
2×1.96×（√r/n×（1-r/n））×1/√n
r/nの割合が変わらないときには、幅
は1/√nに比例する。
よって幅を1/２に狭めるには標本数
は２＾２＝４倍する必要がある。
課題
• 2004年のイチロー選手、年間262安打のメジャー
リーグ記録を残す
• この時の成績は704打数262安打打率は0.372
• これまでの推定方法を利用してn=704 ｐ＝0.372
の95％、99％の信頼度で区間推定をせよ。
ズバリ一点で推定。点推定
このうち
99台がある番
組を見ていたと
すれば・・・
600Cｒ＝600!÷ｒ！×（600－ｒ）！
確率密度関数に
観測数を入れてみる
平均ｍ＝np＝600ｐ
標準偏差 σ＝√600ｐ（１－ｐ）
点推定ｐ＝99÷600＝0.165 （事象aの統計的確率＝事象aの観測数/すべての場合の数
（確率）＝視聴率）
推定値平均ｍ＝(B（np）のｍに従うと考えるからｍ＝np）600ｐ＝600×0.165＝99
標準偏差σ＝(B（np）のσに従うと考えるからσ＝√npq）
√600pq＝√600×0.165×（1-0.165） near＝ 9.09
解説
P（事象aの数-1.96×(σ）＝9.09≦ｐ≦
事象aの数＋1.96×(σ）＝9.09）
＝0.95
Ｐ（0.135≦ｐ≦0.195

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