試験問題解答 - lab.twcu.ac.jp

試験問題解答
1 年次演習 (数学), 1 年次演習 (情報理学) (新國担当分)
2014 年 7 月 30 日 (水) 10:55–12:25 実施
書籍 · 自筆ノート類の持ち込みを許可する. あらゆる電子機器類の持ち込みは
認めない. 黒色以外の色の鉛筆もしくはペンは自由に使って構わない.
問題. 次の 9 問の中から, 4 問選択して解答せよ. 但し, 問題の選択方法は, 所
属専攻別に次の決まりに従うこと:
【数学専攻】
1 , 2 , 3 , 4 , 5 から 2 問, 6 , 7 , 8 , 9 から 2 問そ
れぞれ選択して, 合計 4 問に解答すること.
【情報理学専攻】
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 から 4 問選択して解答すること.
解答する際には, 解答用紙にどの 4 問を選択したのか明記すること. 講義中に扱っ
た諸定理 (命題, 補題, 系を含む) は用いて良い.
1 A, B, C を集合とし, これらはいずれも, ある集合 X の部分集合であるとする.
このとき, (A − B) ∪ C = (A ∪ C) − (B − C) が成り立つことを示せ.
2 5 つの元から成る集合 A = {a, b, c, d, e}, 4 つの元からなる集合 B = {x, y, z, w}
を考える. このとき, 次の条件 (1), (2) を同時にみたす写像 f : A → B, A の 2
つの部分集合 P1 と P2 , 及び B の部分集合 Q の具体例を挙げよ.
(1) f (P1 ∩ P2 ) $ f (P1 ) ∩ f (P2 ),
(2) f (f −1 (Q)) $ Q.
3 集合 A から集合 B への写像 f : A → B に対し, P は A の部分集合で, Q は B
の部分集合とする. このとき, P ∩ f −1 (Q) ⊂ f −1 (f (P ) ∩ Q) が成り立つこと
を示せ.
1
4 R を実数全体の集合とし, x ∈ R に対し f (x) = x − |x| + |x − 1| で定義される
写像 f : R → R を考える. ここで |a| は実数 a の絶対値を表す. このとき以下
の設問に答えよ.
(1) f が単射であるかどうか判定せよ.
(2) f が全射であるかどうか判定せよ.
5 集合 A, B に対し, P1 , P2 は A の部分集合で, Q は B の部分集合とする. また,
f : A → B を写像とする. このとき, 以下の設問に答えよ.
(1) f が単射ならば, f (P1 ) ∩ f (P2 ) ⊂ f (P1 ∩ P2 ) が成り立つことを示せ.
(2) f が全射ならば, Q ⊂ f (f −1 (Q)) が成り立つことを示せ.
6 R を実数全体の集合とし, A = {x ∈ R | x ̸= 1} とおく. また, 写像 f : A → A
を, x ∈ A に対し
x
f (x) =
x−1
で定義する. このとき, 以下の設問に答えよ.
(1) f は全単射であることを示せ.
(2) f の逆写像 f −1 による x ∈ A の値 f −1 (x) を具体的に表示せよ.
7 整数全体の集合 Z において, 関係 R ⊂ Z × Z を
R = {(m, n) ∈ Z × Z | m + 2n は 3 の倍数 }
で定義し, (m, n) ∈ R のとき m ∼ n と表すことにする. このとき, R は Z にお
ける同値関係であるかどうか判定せよ.
8 正の実数全体の集合 R+ における関係 R ⊂ R+ × R+ を
{
}
R = (x, y) ∈ R+ × R+ | ある n ∈ N が存在して y = xn
で定義し, (x, y) ∈ R のとき x <
= y と表すことにする. ここで N は自然数全
体の集合を表す. このとき, R は R+ における半順序関係であるかどうか判定
せよ.
9 以下の設問に答えよ.
(1) 2 で割り切れない整数全体の集合 A と, 3 で割り切れる整数全体の集合 B は
対等であることを示せ.
(2) 2 次元 Euclid 空間 R2 と, 複素数全体の集合 C は対等であることを示せ.
以上
2
解答.
1 示すべきことは
x ∈ (A − B) ∪ C ⇐⇒ x ∈ (A ∪ C) − (B − C)
である. 実際,
x ∈ (A − B) ∪ C ⇐⇒ x ∈ A − B または x ∈ C
⇐⇒ 「x ∈ A かつ x ∈ B c 」または x ∈ C
⇐⇒ 「x ∈ A または x ∈ C 」かつ「x ∈ B c または x ∈ C 」
⇐⇒ x ∈ A ∪ C かつ x ∈ B c ∪ C
⇐⇒ x ∈ A ∪ C かつ x ∈ (B ∩ C c )c
⇐⇒ x ∈ A ∪ C かつ x ∈ (B − C)c
⇐⇒ x ∈ (A ∪ C) − (B − C)
である.
(別解) 集合の演算によって以下のように示しても良い. 例えば
(A − B) ∪ C = (A ∩ B c ) ∪ C
= (A ∪ C) ∩ (B c ∪ C)
= (A ∪ C) ∩ (B ∩ C c )c
= (A ∪ C) ∩ (B − C)c
= (A ∪ C) − (B − C)
である.
2 例えば写像 f : A → B を
f (a) = f (b) = f (c) = x, f (d) = y, f (e) = z
で定義する. この写像は w に写る A の元がないので全射でなく, また x に写る A
の元が 3 つあるので単射でもないことに注意しよう.1
(1) A の部分集合 P1 , P2 を
P1 = {a, c, d} , P2 = {b, d}
とする. このとき, f (P1 ) = {x, y}, f (P2 ) = {x, y} から
f (P1 ) ∩ f (P2 ) = {x, y}
1 講義で述べたように,
(i)
(
)
f (P1 ∩ P2 ) ⊂ f (P1 ) ∩ f (P2 ), 及び f f −1 (Q) ⊂ Q は一般に成り立つのであった. 一方,
5 にあるように, f が単射ならば f (P1 ∩ P2 ) ⊃ f (P1 ) ∩ f (P2 ) も成り立つので f (P1 ∩ P2 ) = f (P1 ) ∩ f (P2 ) である.
(
)
従って, (1) をみたす例を作るには, 単射でない写像 f を考える必要がある. 同様に, f が全射ならば f f −1 (Q) ⊃ Q も
( −1
)
成り立つので, f f
(Q) = Q である. 従って, (2) をみたす例を作るには, 全射でない写像 f を考える必要がある.
3
であり, 一方, P1 ∩ P2 = {d} から
f (P1 ∩ P2 ) = {y}
となる. (i), (ii) より, f (P1 ∩ P2 ) $ f (P1 ) ∩ f (P2 ) である.
(ii)
(2) B の部分集合 Q を
Q = {x, w}
(iii)
とする. このとき f −1 (Q) = {a, b, c} から
f (f −1 (Q)) = f ({a, b, c}) = {x}
となる. (iii), (iv) より, f (f −1 (Q)) $ Q である.
(iv)
3 一般に
a ∈ P ∩ f −1 (Q) =⇒ a ∈ f −1 (f (P ) ∩ Q)
が成り立つことを示せば良い. 実際,
a ∈ P ∩ f −1 (Q) ⇐⇒ a ∈ P かつ a ∈ f −1 (Q)
=⇒ f (a) ∈ f (P ) かつ f (a) ∈ Q
⇐⇒ f (a) ∈ f (P ) ∩ Q
⇐⇒ a ∈ f −1 (f (P ) ∩ Q)
である.2
4 x ∈ R に対し, f (x) は


(x = 1)
x − 1
f (x) = x − |x| + |x − 1| = −x + 1 (0 <
= x < 1)

x + 1
(x < 0)
と表されることに注意しよう (高等学校の数学の問題!). あとはこの関数のグラフ
を実際に描いてみれば, f の単射性及び全射性は, 以下のように一目瞭然に確認す
ることができる.
(1) 例えば f (−1) = f (1) = 0 であるので, f は単射ではない.
(2) 任意の y ∈ R に対し, もし y = 1 ならば, x = y + 1 とおけば x = 2 で, このとき
f (x) = x − 1 = y + 1 − 1 = y
赤い右矢印の逆は一般には成り立たない. 実際, a ∈ A に対し f (a) ∈ f (P ) であっても a ∈ P と
は限らない. 但し f が単射であれば, f (a) ∈ f (P ) ならば a ∈ P である (各自でこのことをよく確かめよ). 即ち, f が単
射ならば, P ∩ f −1 (Q) = f −1 (f (P ) ∩ Q) が成り立つ.
2 上記解答において,
4
である. 一方, もし y < 1 ならば, x = y − 1 とおけば x < 0 で, このとき
f (x) = x + 1 = y − 1 + 1 = y
である. 以上より, 任意の y ∈ R に対し, ある x ∈ R が存在して f (x) = y となるの
で, f は全射である.
5 (1) 写像 f が単射のとき,
b ∈ f (P1 ) ∩ f (P2 ) =⇒ b ∈ f (P1 ∩ P2 )
が成り立つことを示せば良い. いま
b ∈ f (P1 ) ∩ f (P2 )
⇐⇒ b ∈ f (P1 ) かつ b ∈ f (P2 )
⇐⇒
∃
a1 ∈ P1 s.t. f (a1 ) = b かつ ∃ a2 ∈ P2 s.t. f (a2 ) = b
(v)
である. (v) より特に f (a1 ) = f (a2 ) であり, f は単射なので a1 = a2 となる. 従っ
て a1 ∈ P1 かつ a1 = a2 ∈ P2 から, a1 ∈ P1 ∩ P2 である. よって
b = f (a1 ) ∈ f (P1 ∩ P2 )
となる.
(2) 写像 f が全射のとき,
b ∈ Q =⇒ b ∈ f (f −1 (Q))
が成り立つことを示せば良い. いま, b ∈ Q に対し, f は全射なので, ある a ∈ A が
存在して f (a) = b ∈ Q となる. 即ち a ∈ f −1 (Q) であり, 従って
(
)
b = f (a) ∈ f f −1 (Q)
となる.
6 (1) まず, f は単射であることを示す. x1 , x2 ∈ A に対し,
x1
x2
=
x1 − 1
x2 − 1
x1 (x2 − 1) = x2 (x1 − 1)
f (x1 ) = f (x2 ) =⇒
x1 x2 − x1 = x2 x1 − x2
x1 = x2
となる. 従って f は単射である. 次に f が全射であることを示す. 任意の y ∈ A, 即
5
ち y ∈ R, y ̸= 1 に対し, x =
y
とおくと,3 x ̸= 1 から x ∈ A で,
y−1
(
f (x) = f
y
y−1
)
y
y−1
=y
= y
−1
y−1
(vi)
となる. 従って f は全射である.
(2) (vi) から, x ∈ A に対し
f −1 (x) =
x
x−1
である (従って, 特に f −1 = f ).
(数学専攻向け別解) f を 2 回合成した f ◦ f : A → A を考えると,
(
f ◦ f (x) = f (f (x)) = f
x
x−1
)
x
−1 =x
= x
x
−1
x−1
となる. 即ち f ◦ f = idA である. 従って定理 1.5.7 から f は全単射で, (1) が示され
る. 同時に f −1 = f であるので, (2) も示される.
7 定義 2.1.2 の 3 つの条件 (E1), (E2), (E3) をそれぞれ確かめよう.
(E1) 任意の m ∈ Z に対し, m + 2m = 3m は 3 の倍数であるから, m ∼ m である.
(E2) m, n ∈ Z に対し,
定義
m ∼ n ⇐⇒
∃
k ∈ Z, s.t. m + 2n = 3k
=⇒ n + 2m = n + 2(−2n + 3k) = −3n + 6k = 3(−n + 2k)
定義
⇐⇒ n ∼ m.
(E3) l, m, n ∈ Z に対し,
定義
l ∼ m, m ∼ n ⇐⇒
∃
k1 , ∃ k2 ∈ Z, s.t. l + 2m = 3k1 , m + 2n = 3k2
=⇒ l + 2n = (−2m + 3k1 ) + (−m + 3k2 )
= −3m + 3k1 + 3k2 = 3 (−m + k1 + k2 )
定義
⇐⇒ l ∼ n.
以上により, この R は Z における同値関係である.
3 与えられた写像
f による x ∈ A の値 f (x) は,
f (x) =
1
x
=
+1
x−1
x−1
とも表せることに注意しよう (いわゆる分数関数の標準形). このグラフを描いてみると, x, y を入れ替えても同じグラフに
なることが見てとれる. そのことに気付けば早い.
6
8 定義 2.2.1 の 3 つの条件 (O1), (O2), (O3) をそれぞれ確かめよう.
(O1) 任意の x ∈ R+ に対し, x = x1 であるから, x <
= x となる.
+
(O2) x, y ∈ R に対し,
定義
∃
∃
m
n
x<
= y, y <
= x ⇐⇒ m, n ∈ N s.t. y = x , x = y
=⇒ y = xm = (y n )m = y nm
=⇒
m, n>0
nm = 1
=⇒
m=n=1
=⇒
x = y.
(O3) x, y, z ∈ R+ に対し,
定義 ∃
∃
m
n
x<
= y, y <
= z ⇐⇒ m, n ∈ N s.t. y = x , z = y
=⇒ z = y n = (xm )n = xmn
定義
⇐⇒ x <
= z.
以上により, この R は R+ における半順序関係である.
9 (1) A の任意の元は 2m + 1 (m ∈ Z) とかけて, そこで写像 f : A → B を
f (2m + 1) = 3m で定義する. 一方, B の任意の元は 3n (n ∈ Z) とかけて, そこで
写像 g : B → A を g(3n) = 2n + 1 で定義する. このとき, A の任意の元 2m + 1 に
対し
g ◦ f (2m + 1) = g(3m) = 2m + 1
となるから g ◦ f = idA で, 一方, B の任意の元 3n に対し
f ◦ g(3n) = f (2n + 1) = 3n
となるから f ◦ g = idB である. 従って定理 1.5.7 から, f は全単射となり, 故に A
と B は対等である.
(2) R2 の任意の元 (x1 , x2 ) に対し, 写像 f : R2 → C を f (x1 , x2 ) = x1 + x2 i で定義
する. ここで i は虚数単位である. 一方, C の任意の元は x′1 + x′2 i (x′1 , x′2 ∈ R) とか
けて, そこで写像 g : C → R2 を g (x′1 + x′2 i) = (x′1 , x′2 ) で定義する. このとき, R2
の任意の元 (x1 , x2 ) に対し
g ◦ f (x1 , x2 ) = g (x1 + x2 i) = (x1 , x2 )
となるから g ◦ f = idR2 で, 一方, C の任意の元 x′1 + x′2 i に対し
f ◦ g (x1′ + x′2 i) = f (x′1 , x′2 ) = x′1 + x′2 i
となるから f ◦ g = idC である. 従って定理 1.5.7 から, f は全単射となり, 故に R2
と C は対等である.
7

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