演習問題

電気情報工学科 C 課程 3 年
2014 年 5 月 8 日
確率・統計第 4 回
来嶋秀治 (Shuji Kijima)
注意: 参照した文献等の情報を必ず記載すること．
今日の話題
確率不等式
定理. (マルコフの不等式; Markov’s inequality) 非負の確率変数 X は, 任意の a > 0 に対して
Pr[X ≥ a] ≤
E[X]
a
を満たす.
定理. (チェビシェフの不等式; Chebyshev’s inequality) 確率変数 X は任意の a > 0 に対して
Pr[|X − E[X]| ≥ a] ≤
Var[X]
a2
を満たす.
大数の法則
定義 (確率収束; converge in probability) {Yn } は Y に確率収束するとは
∀ε > 0,
lim Pr [|Yn − Y | < ε] = 1
n→+∞
p.
ことを言い, Yn → Y と記す.
定理 (大数の法則; law of large numbers) X1 , X2 , . . . , Xn は独立同一分布に従う確率変数とし, 有界の期
待値 µ と有界の分散をもつとする. このとき, (X1 + · · · + Xn )/n は µ に確率収束する. すなわち,
]
[
X1 + · · · + Xn
− µ < ε = 1
lim Pr n→+∞
n
中心極限定理
定義 (分布収束, 法則収束; converge in distribution, converge in law) 確率変数 Xn は分布関数 Fn で定
義される分布に従い, 確率変数 X は分布関数 F で定義される分布に従うとき, {Xn } が X に分布収束す
るとは
lim Fn (x) = F (x)
n→+∞
d.
d.
d.
ことを言い, Xn → X, Xn → F , Fn → F などと記す.
定理 (中心極限定理; central limit theorem) X1 , X2 , . . . , Xn は独立同一分布に従う確率変数とし, 有界
n
∑
Xi − µ
def. 1
2
の期待値 µ と有界の分散 σ をもつとする. このとき, Zn = √
は N(0, 1) に分布収束する.
σ
n
すなわち,
lim Pr[Zn ≤ z] =
n→+∞
i=1
∫
z
−∞
1
2
√ e−x /2 dx
2π
1
おまけ
定義 (概収束; almost sure convergence) {Xn } は X に概収束するとは
[
]
Pr lim Xn = X = 1
n→+∞
a.s.
ことを言い, Xn → X と記す.
演習 (*は基礎的な問題. † は発展的な課題)
*演習 1. X1 , . . . , Xn は独立同一分布に従い, 期待値 E[Xi ] = µ, 分散 Var[Xi ] = σ 2 を持つとする.
∑
(i) X n = n1 ni=1 Xi とする. E[X n ] と Var[X n ] を求めよ.
∑
(ii) Sn2 = n1 ni=1 (Xi − X n )2 とする. E[Sn2 ] を求めよ.
*演習 2. 確率変数 X は 2 項分布 B(n; p) に従うものとする.
(*i) 実定数 z (−1 < z < 1 を満たすとする) に対し, E[z X ] を求めよ.
(ii) 実定数 θ に対し, E[eθX ] を求めよ.
(iii) 実定数 t に対し, E[eitX ] を求めよ. ただし i は虚数単位を表す.
演習 3. 確率変数 X は正規分布 N(0, 1) に従うものとする.
(i) 実定数 z (0 < z < 1 を満たすとする) に対し, E[z X ] を求めよ.
(ii) 実定数 θ に対し, E[eθX ] を求めよ.
(iii) 実定数 t に対し, E[eitX ] を求めよ. ただし i は虚数単位を表す.
† 演習 4. 確率収束するが, 概収束しないような確率変数の列 {Xn } を示せ.
2

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