医療統計学 vol.3

医療統計学 vol.3
木村朗
ある現象につき、起こりえるすべての場合を
取り上げ、各々の場合の確率をまとめて考え
るためのいろいろな「分布」について考える。
確率変数
偶然の結果で値が定まるのが確率変数。
「試行の結果によって、値が決まる変数のこと」
サイコロを1回投げることを場合、出る目の数をXとする
と、Xは１、２、３、４、５、６のいずれかの値をとる変数（一
定の値をとらない値という意味）である。
今、1の目がでる事象の確率をP（X＝１）と表せば
P（X＝１）＝1/6と記せる。
偶然に左右される試行の結果で定まる値を
確率変数という。
確率の計算
• 確率変数Xは、サイコロを1回投げたときにでる目の数
Ex)5以上の目が出る事象は？
{X＞＝５}＝{５、６}＝{５}⋃{６}＝A⋃B
ここでA＝{X＝５}、B＝{X＝６}と置いた
A⋂B＝φなので、AとBは排反事象となる
加法定理が使える
P（X＞＝５）＝P（X＝５）＋P（X＝６）＝1/6＋1/６＝1/３
確率変数とその確率を対応させた
のが「確率分布」
P＝（X＝１）＝・・・＝P（X＝６）＝1/6
ここで確率変数Xのとる値と、それぞれの値をとる確
率を表にすると（サイコロの例）
Xの値
1
2
3
4
5
6
計
確率
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
１
この表のように、確率変数のとる値と、その確率を
対応させたものを、この確率変数の確率分布という
P＝（Y＝０）＝P（Y＝１）＝1/２
ここで確率変数Yは、2個のサイコロを投げたときの
出た目の合計が偶数のとき Y=０、奇数のとき Y＝
１とする、それぞれの値をとる確率を表にすると
（サイコロの例）確率変数Yの確率分布の表は
Yの値
0
1
確率
1/２
1/２
確率変数を一般化する
確率変数Xは、X１、X２、・・・、Xｎの値をとる
Ｐ（X＝Xk）＝Pｋ（K=１、２、・・・、ｎ）とすると、
Ｐ１＞＝０、P２＞＝０、・・・、Pｎ＞＝０
P１＋P２＋・・・＋Pｎ＝１
これを確率変数の表で表すと・・・
Xの値
X1
X2
・
・
・
Xｎ
計
確率
P1
P2
・
・
・
Pｎ
1
確率変数Xの平均を計算する
• 確率変数Xの平均*のことを、別名称で北一
（期待値）という
E（X）と表す
Expectation
Xの値
確率
X1
P1
X2
P2
X1P1 X2P2
・
・
・
・
・
・
・ Xｎ計
1
・ Pｎ
・ XnPｎ
E(X)＝（X1P1+X2P2＋・・・＋XnPn）
確率変数（確率）の実値×確率の積和＝期待値。
練習問題
• サイコロを1回投げる際の確率変数Xの平均
すなわち、期待値を求めよ
3.5（1×1/6＋・・・6×1/6＝21/6）
宝くじの期待値は5割、買えば買うほど半分お金を損していることになる
確率が等しくなくても
平均を求められるE（X）
ｎ個のデータ、ｘ１、ｘ２・・・xnがあるとき、その平均xbar＝（ｘ１、ｘ２・・・xn)/
ｎ
確率変数XがX1、X2、・・・、Xｎをとるときの平均E(X)とこのxbarの関係は
Xbarの右辺はｘ１×1/n＋ｘ２×1/n＋・・・＋Xn×1/n
P1＝1/n、P2=1/n、・・・Pn＝1/nとして、各データが等しい割合で出現する
ならば、Xbar＝ｘ１P1＋ｘ２P2+・・・XnPｎ＝E（X)
つまり、平均E(X)はそれぞれの確率変数が等しくても、等しくなくても、平
均を求めることができる
確率変数の分散
確率変数Xのばらつきの度合いを表す分散は
この表を使うと、確率変数Xの平均E（X)を簡単に表すためにｍと置
きかえる、この時、
（X１－ｍ）＾２＊P１＋（X２－ｍ）＾２＊P２＋・・・
・・・＋（Xｎ－ｍ）＾２＊Pn
は確率変数の分散を表しV(ｘ）と書く
分散の正の平方根をＸの標準偏差といい、σ（Ｘ）シグマＸと書くσ
（Ｘ）＝√Ｖ（Ｘ）これは確率変数のばらつきを表す、この数値が大
きいと、裾野が横に広がった形のデータのあつまり（分布）を示す。
確率分布から、
頻出確率を求めることができる
V（ｘ）＝（X１－ｍ）＾２＊P１＋（X２－ｍ）＾２＊P２＋・・・＋（Xｎ－ｍ）＾２＊Pn
サイコロを1回投げるときに出る目の数をＸとする。この時のＸの分散を求める。
Ｍ＝３．５だったので、
Ｖ（Ｘ）＝（1-3.5）＾２＊1/6＋（2-3.5）＾２＊1/6・・・（6-3.5）＾２＊1/6
＝３５/１２（2.92）
σ（ｘ）＝√Ｖ（ｘ）＝√35/12near＝1.71
ここで平均値に標準偏差を正負の方向に足すと・・・3.5±1.71 （およそ面積は68％
となる） 10（cm）の正方形を考えると各辺に接する円の面積と同じになる・・・
課題
• サイコロを2個投げるときに、出た目の差の絶対値
をXとする、この時の絶対値Xの平均値を求めて下
さい
• （ヒント差の数値の場合分けをコツコツと作る）
Xの値
0
1
2
3
4
5
計
確率
6/36
10/36
8/36
6/36
4/36
2/36
1
• 1.94

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