医療統計学 vol.3 木村 朗 ある現象につき、起こりえるすべての場合を 取り上げ、各々の場合の確率をまとめて考え るためのいろいろな「分布」について考える。 確率変数 偶然の結果で値が定まるのが確率変数。 「試行の結果によって、値が決まる変数のこと」 サイコロを1回投げることを場合、出る目の数をXとする と、Xは1、2、3、4、5、6のいずれかの値をとる変数(一 定の値をとらない値という意味)である。 今、1の目がでる事象の確率をP(X=1)と表せば P(X=1)=1/6と記せる。 偶然に左右される試行の結果で定まる値を 確率変数という。 確率の計算 • 確率変数Xは、サイコロを1回投げたときにでる目の数 Ex)5以上の目が出る事象は? {X>=5}={5、6}={5}⋃{6}=A⋃B ここでA={X=5}、B={X=6}と置いた A⋂B=φなので、AとBは排反事象となる 加法定理が使える P(X>=5)=P(X=5)+P(X=6)=1/6+1/6=1/3 確率変数とその確率を対応させた のが「確率分布」 P=(X=1)=・・・=P(X=6)=1/6 ここで確率変数Xのとる値と、それぞれの値をとる確 率を表にすると (サイコロの例) Xの値 1 2 3 4 5 6 計 確率 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1 この表のように、確率変数のとる値と、その確率を 対応させたものを、この確率変数の確率分布という P=(Y=0)=P(Y=1)=1/2 ここで確率変数Yは、2個のサイコロを投げたときの 出た目の合計が偶数のとき Y=0、奇数のとき Y= 1とする、それぞれの値をとる確率を表にすると (サイコロの例)確率変数Yの確率分布の表は Yの値 0 1 確率 1/2 1/2 確率変数を一般化する 確率変数Xは、X1、X2、・・・、Xnの値をとる P(X=Xk)=Pk (K=1、2、・・・、n)とすると、 P1>=0、P2>=0、・・・、Pn>=0 P1+P2+・・・+Pn=1 これを確率変数の表で表すと・・・ Xの値 X1 X2 ・ ・ ・ Xn 計 確率 P1 P2 ・ ・ ・ Pn 1 確率変数Xの平均を計算する • 確率変数Xの平均*のことを、別名称で北一 (期待値)という E(X)と表す Expectation Xの値 確率 X1 P1 X2 P2 X1P1 X2P2 ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ Xn 計 1 ・ Pn ・ XnPn E(X)=(X1P1+X2P2+・・・+XnPn) 確率変数(確率)の実値×確率の積和=期待値。 練習問題 • サイコロを1回投げる際の確率変数Xの平均 すなわち、期待値を求めよ 3.5(1×1/6+・・・6×1/6=21/6) 宝くじの期待値は5割、買えば買うほど半分お金を損していることになる 確率が等しくなくても 平均を求められるE(X) n個のデータ、x1、x2・・・xnがあるとき、その平均xbar=(x1、x2・・・xn)/ n 確率変数XがX1、X2、・・・、Xnをとるときの平均E(X)とこのxbarの関係は Xbarの右辺はx1×1/n+x2×1/n+・・・+Xn×1/n P1=1/n、P2=1/n、・・・Pn=1/nとして、各データが等しい割合で出現する ならば、Xbar=x1P1+x2P2+・・・XnPn=E(X) つまり、平均E(X)はそれぞれの確率変数が等しくても、等しくなくても、平 均を求めることができる 確率変数の分散 確率変数Xのばらつきの度合いを表す分散は この表を使うと、確率変数Xの平均E(X)を簡単に表すためにmと置 きかえる、この時、 (X1-m)^2*P1+(X2-m)^2*P2+・・・ ・・・+(Xn-m)^2*Pn は確率変数の分散を表しV(x)と書く 分散の正の平方根をXの標準偏差といい、σ(X)シグマXと書くσ (X)=√V(X) これは確率変数のばらつきを表す、この数値が大 きいと、裾野が横に広がった形のデータのあつまり(分布)を示す。 確率分布から、 頻出確率を求めることができる V(x)=(X1-m)^2*P1+(X2-m)^2*P2+・・・+(Xn-m)^2*Pn サイコロを1回投げるときに出る目の数をXとする。この時のXの分散を求める。 M=3.5だったので、 V(X)=(1-3.5)^2*1/6+(2-3.5)^2*1/6・・・(6-3.5)^2*1/6 =35/12(2.92) σ(x)=√V(x)=√35/12near=1.71 ここで平均値に標準偏差を正負の方向に足すと・・・3.5±1.71 (およそ面積は68% となる) 10(cm)の正方形を考えると各辺に接する円の面積と同じになる・・・ 課題 • サイコロを2個投げるときに、出た目の差の絶対値 をXとする、この時の絶対値Xの平均値を求めて下 さい • (ヒント 差の数値の場合分けをコツコツと作る) Xの値 0 1 2 3 4 5 計 確率 6/36 10/36 8/36 6/36 4/36 2/36 1 • 1.94
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