剛体の力学（第１回）配付資料
自動車の走行距離と時間の関係を
グラフにしてみよう！
走行距離
200km
平均速度を求めると…
150km
次に、ある瞬間の速度を
求めるために…
この1時間の
平均速度は
80 km/h
70km
この1時間の
平均速度は
40 km/h
30km
1
2
3
t
接線の傾き＝微分
時間
4
1
位置の平均変化率
v
時間を極限に小さくし
ていく！
平均速度
s(t  t )  s(t ) s

s(t)
t  t  t
t
s(t＋Δt)
0とすると
Δs
s(t)
Δt
s ds
v(t )  lim

t 0 t
dt
t t＋Δt
t
時刻 t での位置の変化の割合を表す。＜微分＞
この v を速度(t 時刻での瞬間速度)と呼ぶ。
2
1
剛体の力学（第１回）配付資料
自動車の瞬間速度と時間の関係を
グラフにしてみよう！
走行距離
v(t)
v(2)
v(3)
150km
2
70km
3
t
速度と時間の関係
v-t グラフ）
（
2
3
時間
3
速度の平均変化率
a
t
平均加速度
v(t  t )  v(t ) v

t  t  t
t
v(t)
v(t)
v(t+Δt)
0とすると
v dv d 2 s
a (t )  lim


t 0 t
dt dt 2
Δt
Δv
t
t+Δt
t
時刻 t での速度の変化の割合を表す。＜微分＞
この a を加速度(t 時刻での瞬間加速度)と呼ぶ。
4
2
剛体の力学（第１回）配付資料
位置の変化率
s ds

t 0 t
dt
v(t )  lim
速度
速度の変化率
v dv d 2 s
a (t )  lim


t 0 t
dt dt 2
加速度
次に、位置、速度、加速度をベクトルで表し、
様々な運動を数学的に記述する準備をする。
5
速度を位置ベクトルで表す（その１）
P点とQ点との時間的関係が
微少Δt であるから…
z
変位は、
位置ベクトル
ｒ＝（x, y, z） r(t)
r  r (t  t )  r (t )
P v(t)の向き
となるので、平均速度は、
∆r
変位
v
r(t+∆t)
o
y
r
t
瞬間速度は、
v (t ) 
x
dr (t )
dt
6
3
剛体の力学（第１回）配付資料
速度を位置ベクトルで表す（その２）
速度ベクトルv(t)を直交座標成分（i, j, k）を
用いて表すと…
z
v (t )  v x i  v y j  v z k
各成分
x(t  t )  x(t )
t 0
t
y (t  t )  y (t )
v y  lim
t 0
t
z (t  t )  z (t )
v z  lim
t 0
t
v (t ) 
dr dx
dy
dz
j k
 i
dt
dt dt
dt
v x  lim
P v(t)の向き
r(t)
∆r
変位
r(t+∆t)
o
y
x
速度ベクトルv(t)の大きさ v(t )  v (t ) 
v x2  v y2  v z2
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加速度を速度ベクトルと位置ベクトルで表す
同様に、時刻tとt+Δtの速度変化は、
v  v (t  t )  v (t )
となるので、平均加速度は、a 
dv (t ) d 2r (t )
a(t ) 

dt
dt 2
v
t
となり、瞬間加速度は、
dv x (t ) d 2 x
 2
dt
dt
dv y (t ) d 2 y
 2
ay 
dt
dt
dv (t ) d 2 z
az  z  2
dt
dt
直交座標成分（i, j, k）を
用いて表すと…
ax 
a(t )  a x i  a y j  a z k
8
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