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三弦トラスの応力解析について
能町, 純雄; 小針, 憲司
室蘭工業大学研究報告.理工編 Vol.6 No.3, pp.823-835, 1969
1969-07-15
http://hdl.handle.net/10258/3464
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Journal Article
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Muroran Institute of Technology
三弦ト
フ
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ス の応力解析に つ 〉
能町純雄・小針憲司*
A Stress Analysis of a Three Chord Truss
Sumio G. Nomachi and Kenji Kobari
Abstract
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1
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断面として逆三角形を有する図 1のような三弦材トラスを橋梁とした場合の応力特性を
論じさらに振動性状をも考察したものである。上面構は真中に一本の縦材を有しているので，
この点をも考慮し， 三弦材について 3n個
， 上面補助縦材について n個
， それぞれ前者につい
ては自由度 3，後者については自由度 2をとり， それらに対応する力のつりあいを作ると，
?
マ
トリックスの大きさは 11x11xがとなる。いま n を 8とすれば 8
8元の大型マトリックスとな
るので，中型の電算機で、は効果的に解くことができない。 しかしフーリェ定和分変換を用いて
これを 1
1元のマトリックスに変換できる。
2
. 予備公式
フーリェ定和分変換公式
a
) 逆変換公式
SymbolicNotation
三
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(
x
)
]= l
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x
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* 室工大研究生
(
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824
能町純雄・小針憲司
を導入すると，
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Rn=三
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}
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二
十
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(4)
中/
b
) 二次差分，変一次差分のフーリェ定和分
ここに変一次差分というのは ，f(x十 1
)-f(x-1)を一次差分 f(x+1
)-f
(
x
)と区別して仮
に名付けたものである。
SdL
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2
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1
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一桝七(O)+Cdf(x)]}
-1)-(-1)
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引かn)-(-l)i寸 f(O)叫
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抑 1H一 山f(O)}
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i
n
Cdf(x+日 日 ] )=
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十
(
山OS与
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(
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1
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x
)， Di=
ニ
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(
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(
2
1
8
)
[
f
(
x
)
]
(7)
(8)
8
2
5
三弦トラスの応力解析について
3
トラスを壁要素とする三角形断面部材
a
) 力のつり合い
0
図1に示すように， 各弦の格点を 0，1，
2，"
'
，
川
η ，ぴ
00，1
，
久
2O
1
，
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一，
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，
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七
，
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γ
，
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P2
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'
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庁
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"とし，各格点の水平，鉛直変位をそれぞれ ，Ux，Ux
，
o
， UX'，UX'I，Vx，Vx'，v~~~ ， vよ
f
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a，め"
Y
x
'，とする。各部材については，次のようにしるす。
図-1
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L
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x
L
ふ昔
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，
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Z(2}
瓦石"
(
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図 2
変位方向
今 x，
x十 1=弦材 (
x，
x+1)の応力とすると，フックの法則により変位と部材力の聞に
1
2E.A
u，
十 2 =ー
ヲァJ土 (Ux+き- U，，:)，
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能町純雄・小針憲司
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(
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x" ， ど三万一~ (日 '-V~~)') sinα+(
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，
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x十
x，
X)
，
，
，Av，Ao，As，A はそれぞれ弦材 ¥x，
上式中 Au，Al
r
x+-~-) ， (x，
玄
)
， ¥
o十
"
)，(XO，
)の断面積 ，E は弾性係数， α，s
十1
X
1 ，(
ど，
，r
，h，A，;('は図示した通りである。
'x
0
)
鉛直荷重
P，水平荷重
W とすると
x 点 の ま わ り の 力 の つ り 合 い は 図3より
玉石言
万ご子←弘ァ一司
x
.，
xO
:
rQx'
図-4
図 3
¥/
京 王 子 ア ー す- E Z F
子干可:
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J¥
一
図-5
図
(
2
2
0
)
6
827
三弦トラスの応力解析について
(示弓示二~)+(ロマ一王子)…
(
2
4
)
云'"示。十(王子十五，
xl!干1
"
)s
i
nα'cosr=-W
(
2
5
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(
x，
x"+x，
x
'
弓子)s
i
na'
s
i
nr
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(
2
6
)
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4より
十両弓+ζ守 λイ-示ヲ)coss=0
O
( 万 守_xO，
xO_l)
(
2
7
)
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(
x，
X ィ ，
x川心+互 - h F V
O
1 ，__0 ，
_
_ 1'
¥
Z，
z - T μ -古
__0
川 日1
0
(沼)
ど点まわりの力のつり合いは図 5より
(
日4-J)+(
万 引 -x'，x
"
)cosα=0
(
2
9
)
7三百十 (
x
'，
五
万 +x'，x"
干
1
'
'
'
)sinαcosr= W'
(
3
0
)
(
王
子，
x"+x
'，
x"+1
"
)s
i
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.
s
i
nr= P
'
(
3
1
)
x"点まわりの力のつり合いは図 6より
x"，
x"干r"-x"，
x"二 1"十 (
x
"，
王子+子三 -X'I，
X'工
l'-x"，
x-1)cosα =0 (
3
2
)
r
(
王
子'
，x
'コ
ヲ
+
子
， -云十 x"，x三 l+x"三)sina.sinr= P"
(x!l， x'-x" ，~τ+吉正王子士 l'-x" ， x
二1
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s =- W"
(
3
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)
(
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十1，
x
O，
x+言 +x
+1，
x十2 2 0， zo
，
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x
'十言 =0
0
0
(
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)，(
3
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)
となる。
(川村を仲阿式に代入し変位で書き換え，肌側式より (x士~)点，
(
止
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'
)
点の変位を消去すると
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十
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u勾 +K2L
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"
'
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2
1
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(
3
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能町純雄・小針憲司
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とする。
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) 変位の定和分変換と境界条件
上 式 (37)-(47)で与えられる基本差分方程式中 (
3
7
)，(
4
0
)，(
4
2
)，(
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C を (38)，(39)，(41)，
(
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)式に Siを作用させ，簡単のため
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， =S
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'
]， Y
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i=
2un(-l)仁ト玄 Uo C，
[
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iO
Ui' = ト
十
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1
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u
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(-1)
斗 玄 UOO+C
，
[
u
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]
， ( 一 糾 fuj+CdIudl， av，=OzIuvl，
(
2
2
2
)
両日=忌dv~~;]
829
三弦トヲスの応力解析について
531 二 S\[V~;;]
，
Pi
二
S[
P
"
，
]， P
i，=SdP
ザ
]
，
包
Pi" = SilP
"
，
，
，
]
]， Wi" = S
1
Vi= $[Wx] ， W.，二島 [ W，
"
，
，
，
]
'.[W
X
乞
とおき，
0
'，
0，
n，
nO
n
'の水平方向力のつり合いは次の式となる。(ただしここに作
かつ格点 0，
，
0
H
o
o，
no，
Hn!とし，外向きを正とする。)
用する水平外力を Ho，
H
o
'，
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今両端単純支持と
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(
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8
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o
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計
4
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算
例
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己の連立方程式を，各格点について解き逆変換を求めて， 以卜におす断面諸元を用いて
Jなった。
数値計算を 1
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.
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.
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i= 1
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0.
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ヘ
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.
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2
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hhd-tz
図-8
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図
図示以外の軸力は微小故省略した。
四ヴ
全点の変位と軸力の計算は 4分で完了できた。
エ
a
、
FACOM-231-ALGOLによって行なったが， 一格点荷重について，
'
J
'J
uこ示す。
pltx
重 (
L= 20t
) に対する部材軸力を表
Jr
別の荷重状態については省略した。有効幅員 9.0mとした場合の主荷
午山︿一
以下に荷重状態と， この時の変位と軸力の影響線を図示するが，
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、
、
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図-15
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図-17 V
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能町純雄・小針窓司
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.
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2
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0
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.
l
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2
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計
メ
口
合
、
なお L 荷重による上弦材の軸力は，従来の計算方法(平面的解析)では N = 177.3t
，本方
法では N=121
.0t となった。
5
. 振動解析
a
) 特性方程式
前記静的釣合い式に於ける u 方向変位を次のように，各部材水平変位 γ，
y
'，
y" と，鉛直変
d
'，
d"で書き換え
位(下向きを正)d，
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十y
c
o
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， ザ =- 0
's
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十〆 c
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'0(1)"= d
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o
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の sin2万一ぬ "十 (}IμCOSEAfsv， 1ν1COS三
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)長 十 (
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号
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一 θ3μ81，'一 θâ:fi~ 十 ((}3 lJ l+(}4) あ，
. π 2~)1
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9ν
i
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8
3
3
三弦トラスの応力解析について
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=0
~07 sin 与必十凡 (~Di 十 4) U
io
(
凡 Di十 4 K2十 θ川
。9μsm
~-:
zπ
¥
Z1
C
n
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2瓦(ん+ん )~()9 J) 1 sin2，万一(仇ー仇，)十 θ8COS~~-(的十 Ui') 一 (θ lO .D包十 2()s) U'i"=O
一 削 ∞ sZ(いん)~()1ν1 COS号(あーあ，)
2 羽γ
一θ2Binit(d
けん)十 2()1μSFFM75pニ O
。
i
;
(
ふーん)十九 ν
1COSι(
あ十品)
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云 (Ui~Ui ， )~2()3 ν lY'i"
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て一~ S
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α ・cosr， θ
6= 2・K2tan2s， θ
7 2K
ans，
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， -Sln!l' COSα ，
.
) COSα
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O=づ71， ド
s
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nr， ν
1= cosr
と表わせる o
b
) 計 算
J
)
1"=7.
436t とし，
図 -19-25は，質量として白重のみを考え羽 =6.415t，~Jr=3. 0l8t ， 1
y= 4.524x/0"
/
O
"
2
4x
ず=4.5
2
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0
z'=-6.
1
60x
0
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z=6.
160X/
y=2
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5
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z=-5
.
7
9
5X/0-1
3
y'=-2~955 x
1
0
'
z
'
= 五795x/0-1
7
;= 0.23sec
e
c
，
T =0.34s
図-19
図
(
2
2
7
)
20
8
3
4
能田T純雄・小針憲司
y=3.837xIO-'
.
7
57X
/
O
-1
z=3
y'=-3837x/O1
z'=一3.
7
57X/O-
1
y= 6
.7/4X /
0
-1
〆=-6.7/4x/O-
z=/
.
3
7
6x/
0→
z'=-/.376X/
O・r
1
1
z"=2
.460X/
0
-
y"=5.3/6X/0-1
0=O.20sec
7
4= 0027sec
図-21
図-22
1
y
'= 2.
4
09X/
0
z'=4
.193x/O-1
y= -2.409X/
0
-1
z= 4
.193x/0→
y =!
.
7
78XI
02
y'=/778x/0-1
z'=一
五8
5
6X/
0
-1
回
z=5856X10-1
z"=7
.296XIOイ
γ'=-4.107X10-1
7
6= 0014sec
T
s= 0.020sec
図 2
4
図-23
(
2
2
8
)
R:
l5
三弦トラスの応力解析について
振動周期 T と変形の状態を示したものである。
1
y=2
.
3
1
6x
/
0
2
z=
3
.
0
6
1x
/
0
-
y'=2
.3
/
6x/O-1
z'=-30
6/x
/
0
-2
質量として全死荷重を考え W
二
62.835t と
し，床板の合成効果を無視した場企の最大周期
(曲げ振動)T=0.81sec，考慮した場合 T=0.56sec
(曲げ振動)であ~)た。
6
. む す び
計算結果によれば，三角形断面トラスは外力
"
i
1
のトルク荷重に対して，大きな抵抗力を持っと [
時に，弦材の外力の曲げに対する特性も満足すべ
きものと考えられる。
2
y"=;
.
9
0
4x
/
0
-
下.
，= O
.
O
l
ls
e
c
また，二つのトラスを横構で補岡J
!した形はラ
図 25
断面として不安定形であり，同一水平荷重に対し
て変形しやすく，その剛度を与えるために余分の材料を用いなければならない。
(昭和1
44年 4月初日受Jli1
J
文 献
1
) 能町純雄
“差分万程式て、表わきれる不静定構造物の和分変換による解法例"土木学会北海道支部，技
術資料 2
3号
， 2
/
1
9
6
7，p
p
.1
7
3
1
7
7
.
OnF
i
n
i
t
e Fourier S
i
n
eS
e
r
i
e
s with Respect t
oF
i
n
i
t
eD
i
f
f
e
r
e
n
c
e
"
. Memoris
2
) S
. G. Nomachi: “
l 5，No. 1，p
p
.1
8
7
2
0
2，J
u
l
y，1
9
6
5
.
o
fMuroran I
n
s
. Tech.，Vo.
3
) 能町純雄・小針態司: “トラスを壁要素とする三角形断同部材の曲け、について"土木学会北海道支部，
研究発表論文集 2
5号
， 2
/
1
9
6
9，p
p
. 37-42
(
2
2
9
)
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