内積
K = R または K = C とする．複素数 α = a + bi ( a, b は実数，i =
√
−1 ) に対して，
Re α = a を α の実部 (real part)
Im α = b を α の虚部 (imaginary part)
α = a − bi を α の共役複素数 (complex conjugate)
√
√
|α| = a2 + b2 = αα を α の絶対値 (absolute value)
という．α が実数であるための必要十分条件は，α = α である．また，次が成り立つ．
α − α = 2i Im α
α + α = 2 Re α,
複素数を成分とする m × n 行列 A = (aij ) に対して，各成分 aij をその共役複素数 aij
に置き換えた行列 A = (aij ) を，A の複素共役行列という．また (i, j) 成分が A の (j, i) 成
分 aji である n × m 行列を A の転置行列 (transposed matrix) といい，tA で表す．複素共
役行列の転置行列 t A を A の随伴行列 (adjoint matrix) といい，A∗ で表すことがある．
A + B = A + B,
AB = A B,
t
t
t
(A + B) = A + B,
(AB) = tB tA,
(A + B)∗ = A∗ + B ∗ ,
(AB)∗ = B ∗ A∗ ,
t
A = A,
αA = α A
t t
t
( A) = A,
(αA) = α tA
(A∗ )∗ = A,
(αA)∗ = α A∗
が成り立つ．行列 A のすべての成分が実数ならば A = A で A∗ = tA である．
 
 
x1
y1
 .. 
 .. 
定義 x =  . , y =  .  ∈ K n に対して，
xn
yn
(x, y) = t xy = x1 y1 + · · · + xn yn
(1)
とおく．これを x と y の標準内積あるいは簡単に内積 (inner product) という．内積を考
えることを強調するために，(K n , ( , )) と書くことがある．K = R のときは，共役複素
数を表す記号 yi は不要で，(x, y) = t xy = x1 y1 + · · · + xn yn となる．
   
   
1
1
1
i







−1 と 3 の内積は 2 であり， 2i と −i の内積は 1 − i である．
例
2
2
3
1
(x, y) の定義の式 (1) から，内積は次の条件を満たすことがわかる．
(i) (x1 + x2 , y) = (x1 , y) + (x2 , y),
(ii) (αx, y) = α(x, y),
(x, y 1 + y 2 ) = (x, y 1 ) + (x, y 2 )
(x, αy) = α(x, y)
(iii) (y, x) = (x, y)
(iv) (x, x) は実数で (x, x) ≥ 0 である．(x, x) = 0 となるのは x = 0 の場合に限る．
注意 K = R の場合は上記の (ii), (iii) で共役複素数は考えなくてよい．
1
x ∈ K n に対して，
||x|| =
√
(x, x)
を x の長さ (norm) という．||x|| は実数で，||x|| ≥ 0 である．||x|| = 0 となるのは x = 0
の場合に限る．n = 1 のときは，||x|| は x の唯一つの成分の絶対値にほかならない．
 
 
1
1
√
√



2 の長さは 14 であり， i  の長さは 3 である．
例
3
−i
定理 (K n , ( , )) において，次が成立する．
(i) |(u, v)| ≤ ||u|| ||v||
（Schwarz の不等式）
(ii) ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||
（三角不等式 (triangular inequality)）
証明 (i) u = 0 ならば明らかに (i) は成立する．u ̸= 0 と仮定して α = −
(u, v)
とお
||u||2
くと，
0 ≤ (αu + v, αu + v) = αα(u, u) + α(u, v) + α(v, u) + (v, v)
= αα||u||2 + 2 Re (α(u, v)) + ||v||2
|(u, v)|2
|(u, v)|2
=
−
2
+ ||v||2
||u||2
||u||2
|(u, v)|2
+ ||v||2
=−
2
||u||
だから，|(u, v)|2 ≤ ||u||2 ||v||2 ．よって (i) が成立する．
(ii) 一般に複素数 β に対して Re β ≤ |β| であることと Schwarz の不等式を用いると
(u + v, u + v) = ||u||2 + 2 Re (u, v) + ||v||2
≤ ||u||2 + 2|(u, v)| + ||v||2
≤ ||u||2 + 2||u|| ||v|| + ||v||2
= (||u|| + ||v||)2
だから，(ii) が成立する．
K = R のとき，0 でない x, y ∈ Rn に対して Schwarz の不等式により
cos θ =
(x, y)
||x|| ||y||
を満たす θ (0 ≤ θ ≤ π) が存在する．この θ を x と y のなす角という．次の式が成り立つ．
||x|| ||y|| cos θ =
)
1(
||x||2 + ||y||2 − ||x − y||2
2
定義 u, v ∈ K n について，(u, v) = 0 であるとき u と v は直交する (orthogonal) と
いう．(u, v) = 0 と (v, u) = 0 は同値であることに注意する．u1 , . . . , uk ∈ K n のどの２
2
つも直交するとき，これを直交系 (orthogonal system) という．さらにすべての uj の長さ
が 1 であるとき，正規直交系 (orthonormal system) という．これは
(ui , uj ) = δij
for 1 ≤ i, j ≤ k
が成立することにほかならない．
K n の {0} 以外の部分空間 V の基底で正規直交系であるものを，V の正規直交基底
(orthonormal basis) という．
( ) ( )
1
1
n
例 n 次元基本ベクトル e1 , . . . , en は K の正規直交基底をなす．
,
は，C2
−i
i
において直交系であるが正規直交系ではない．
補題 u1 , . . . , uk が直交系でどの uj も 0 でないならば，u1 , . . . , uk は線型独立である．
証明 x = c1 u1 + · · · + ck uk = 0 とすると，0 = (x, uj ) = cj (uj , uj ) で (uj , uj ) ̸= 0 だ
から cj = 0 である．
補題 {u1 , . . . , un } を K n の正規直交基底とすると，K n の任意の元 x に対して
x = (x, u1 )u1 + · · · + (x, un )un
が成立する．
証明 (ui , uj ) = δij だから，x = c1 u1 + · · · + cn un とすると (x, uj ) = cj が得られる．
定理（Schmidt の直交化法，または Gram-Schmidt procedure）
a1 , . . . , ak ∈ K n は線型独立とする．
u1 =
a1
||a1 ||
bj = aj − (aj , u1 )u1 − · · · − (aj , uj−1 )uj−1 ,
uj =
bj
||bj ||
として u1 , u2 , . . . , uk を順に定めると，u1 , . . . , uk は正規直交系で各 uj は a1 , . . . , aj の線
型結合である．
証明 ||uj || = 1 は明らか．uj が a1 , . . . , aj の線型結合であることも明らか．bj の定め方
により (bj , ui ) = 0 が 1 ≤ i ≤ j − 1 について成り立つ．よって (uj , ui ) = 0 が 1 ≤ i ≤ j − 1
について成り立ち，u1 , . . . , uk が正規直交系であることがわかる．
注意上記の証明中に現れる b1 , . . . , bk は，
b1 = a1
bj = aj −
(aj , b1 )
(aj , bj−1 )
b1 − · · · −
bj−1
(b1 , b1 )
(bj−1 , bj−1 )
(2 ≤ j ≤ k)
と書くことができる．b1 , . . . , bk は直交系である．
V を K n の {0} 以外の任意の部分空間とする．V の基底に対して Schmidt の直交化法
を適用することにより，V の正規直交基底が得られる．よって、K n の {0} 以外の任意の
部分空間には正規直交基底が存在する．
3
 
 
 
1
1
1





例 a1 = 0 , a2 = 1 , a3 = 1 に対して Schmidt の直交化法を適用すると，
0
0
1
b1 = a1 ,
u1 = b1
     
1
1
0
b2 = a2 − (a2 , u1 )u1 = 1 − 0 = 1, u2 = b2
0
0
0
       
1
1
0
0







b3 = a3 − (a3 , u1 )u1 − (a3 , u2 )u2 = 1 − 0 − 1 = 0,
1
0
0
1
u3 = b3
だから，u1 , u2 , u3 は 3 次元基本ベクトル e1 , e2 , e3 である．
 
 
 
1
1
1





一方，a1 と a3 を交換したものを新しく a1 = 1 , a2 = 1 , a3 = 0 として，
1
0
0
この順序で Schmidt の直交化法を適用すると，
 
1
1  
1
b1 = a1 , u1 = √
3 1
 
 
 
 
1
1
1
1
2
1
1
u2 = √  1 
b2 = a2 − (a2 , u1 )u1 = 1 − 1 =  1 ,
3
3
6 −2
0
1
−2
 
 
 
 
1
1
1
1
1  1  1 


1 −
1
−1 ,
=
b3 = a3 − (a3 , u1 )u1 − (a3 , u2 )u2 = 0 −
3
6
2
0
1
−2
0
 
1
1
u3 = √ −1
2
0
となる．同じ 3 つのベクトルの組でも，ベクトルの順序を変えて Schmidt の直交化法を適
用すると，一般に異なる正規直交系が得られる．
Schmidt の直交化法の証明において，bj − aj ∈ span{a1 , . . . , aj−1 } (1 ≤ j ≤ k) であ
る．n 次正則行列 A = (aij ) の第 j 列を aj とすると，a1 , . . . , an ∈ K n は線型独立である．
これに対して Schmidt の直交化法を適用すると，j = 1, . . . , n について
uj =
j
∑
cij ai
i=1
を満たす cij ∈ K が存在することがわかる．第 j 列が uj の行列を Q とおく．Q = (u1 . . . un )．
u1 . . . un は K n の正規直交基底なので，t Q Q = Q t Q = En (n 次単位行列) が成り立つ．
(i, j) 成分が i ≤ j のとき cij で，i > j のとき 0 である n 次行列を C とおく．C は上三角
1
である．Q = AC だから，A = QC −1 である．R = C −1 と
行列で，(j, j) 成分 cjj は
||bj ||
おくと，R は上三角行列で，A = QR となる．以上により，次の定理が得られた．
4
定理（QR 分解）任意の n 次行列 A は，t Q Q = Q t Q = En を満たす n 次行列 Q と n
次上三角行列 R の積で表すことができる．A = QR．
定義 W を (K n , ( , )) の部分空間とする．
W ⊥ = {v ∈ K n | (v, w) = 0 for all w ∈ W }
は K n の部分空間である．これを W の直交補空間 (orthogonal complement) という．
定理 W, W1 , W2 を (K n , ( , )) の部分空間とすると，次が成立する．
(i) K n = W ⊕ W ⊥ (直和),
特に dim W + dim W ⊥ = n
(ii) (W ⊥ )⊥ = W
(iii) (W1 + W2 )⊥ = W1⊥ ∩ W2⊥
(iv) (W1 ∩ W2 )⊥ = W1⊥ + W2⊥
実際，dim
W =r とし，W の基底 {w1 , . . . , wr } を考える．wj ∈ K n の第 i 成分を wij
x1
 .. 
とする．x =  .  について，
xn
x ∈ W ⊥ ⇐⇒ (x, wj ) = 0 for all 1 ≤ j ≤ r
n
∑
⇐⇒
xi wij = 0 for all 1 ≤ j ≤ r
i=1
である．第 j 列が wj の行列を A とおく．A = (w1 . . . wr )．上記のことにより，x ∈ W ⊥
であるための必要十分条件は，x が t A を係数行列とする斉次連立 1 次方程式 t Ax = 0 の
解となることである．行列 A の階数は r だから，t A の階数も r であり，t Ax = 0 の解全
体は n − r 次元の部分空間になる．よって dim W ⊥ = n − r である．w ∈ W ∩ W ⊥ ならば
(w, w) = 0 より w = 0 となるので，W ∩ W ⊥ = {0} がわかる．よって，(i) が成り立つ．
明らかに W ⊂ (W ⊥ )⊥ であるが，(i) により dim(W ⊥ )⊥ = n − dim W ⊥ = r だから，(ii)
がわかる．
一般に U ⊂ W ならば U ⊥ ⊃ W ⊥ が成り立つことに注意すると，(iii) がわかる．また
(iii) と (ii) から，(iv) がわかる．
 
 
1
1
例 w1 = −2, w2 =  0  で張られる R3 の部分空間を W とする．A = (w1 w2 )
1
−1
t
t
とおく． A = A に対して，行に関する基本変形を繰り返す．
(
)
(
)
(
)
(
)
1 −2 1
1 −2 1
1 −2 1
1 0 −1
t
A=
−→
−→
−→
1 0 −1
0 2 −2
0 1 −1
0 1 −1
 
 
1
x1
t



と階段行列に変形できるので，斉次連立 1 次方程式 Ax = 0 の解 x = x2 全体は 1
x3
1
 
1
{
}
3
⊥

で張られる R の 1 次元部分空間 W = α 1 α ∈ R である．
1
5
問題
i=
√
−1 とする．
1. 次のベクトルの順序で Schmidt の直交化法を適用して，正規直交系を求めよ．
 
 
 
1
1
0





(1) a1 = 1 , a2 = 0 , a3 = 1
0
1
1
 
 
 
1
0
1
0
1
1
 

 
(2) a1 = 
1, a2 =  2 , a3 =  1 
−1
−1
0
( )
( )
1
1
(3) a1 =
, a2 =
−i
i
 
 
 
1
i
0





i , a3 = 1 
(4) a1 = 0 , a2 =
i
−1
−i

 
1
1




2
 3  で張られる部分空間 W の直交補空間 W ⊥
,
w
=
2. R4 において，w1 = 
2
−1
1
0
−1
の基底を求めよ．

3. x, y ∈ K n の内積および長さについて，次が成り立つことを示せ．
(1) ||x + y||2 + ||x − y||2 = 2(||x||2 + ||y||2 ) (中線定理)
)
1(
(2) Re (x, y) = ||x + y||2 − ||x||2 − |y||2
2
√
)
1(
(3) Im (x, y) = ||x + −1y||2 − ||x||2 − |y||2
2
4. S を K n の部分集合とする．
S ⊥ = {v ∈ K n | (v, w) = 0 for all w ∈ S}
は K n の部分空間であることを示せ．
5. W1 , W2 を (K n , ( , )) の部分空間とする．直交補空間について次が成立することを
示せ．
(1) (W1 + W2 )⊥ = W1⊥ ∩ W2⊥
(2) (W1 ∩ W2 )⊥ = W1⊥ + W2⊥
6. W を (K n , ( , )) の部分空間とする．{u1 , . . . , ur } が W の正規直交基底で {v 1 , . . . , v s }
が W ⊥ の正規直交基底ならば，{u1 , . . . , ur , v 1 , . . . , v s } は K n の正規直交基底であること
を示せ．
6
解答とヒント
 
1
1  
1
(1) b1 = a1 , u1 = √
2 0
 
 
 
 
1
1
1
1
1
1
1
b2 = a2 − (a2 , u1 )u1 = 0 − 1 = −1,
u2 = √ −1
2
2
6
1
0
2
2
 
 
 
 
0
1
1
−1
1  1  2 


1 −
−1 =
1 ,
b3 = a3 − (a3 , u1 )u1 − (a3 , u2 )u2 = 1 −
2
6
3
1
0
2
1
 
−1
1  
1
u3 = √
3
1
 
1
1 
1

(2) b1 = a1 , u1 = √ 
3 1
0
 
 
−1
−1
0
0
1


u2 = √ 
b2 = 


 1 ,
1
3
−1
−1
 
 
1
1



2
1
−1
−1
√
b3 = 
,
u
=
3
3 0 
3 0 
−1
−1
( )
1
1
(3) b1 = a1 , u1 = √
2 −i
( )
1 1
b2 = a2 − (a2 , u1 )u1 = a2 , u2 = √
2 i
 
1
1  
0
(4) b1 = a1 , u1 = √
2 i
 
   
 
i
1
0
0
b2 = a2 − (a2 , u1 )u1 =  i  − i 0 =  i ,
u2 =  i 
−1
i
0
0
 
 
 
 
0
1
1
0
1 
1 




0 +i i =
0 ,
b3 = a3 − (a3 , u1 )u1 − (a3 , u2 )u2 = 1 +
2
2
−i
i
−i
0
1.
7


1
1
u3 = √  0 
2 −i
2. A = (w1 w2 ) とおき，tA に対して，行に関する基本変形を繰り返す．
(
)
(
)
(
)
1 2 1 −1
1 2 1 −1
1 0 5 −3
t
A=
−→
−→
1 3 −1 0
0 1 −2 1
0 1 −2 1
よって，斉次連立 1 次方程式 tAx = 0 のすべての解は
 
 
 
3
−5
x1
−1
2
x2 
  = α +β 
1
0
x3 
0
1
x4


−5
2

と表せるので，
 1 ,
0
( α, β ∈ R )


3
−1
  は W ⊥ の基底である．
0
1
3.
(1) ||x + y||2 = (x + y, x + y) = ||x||2 + (x, y) + (x, y) + ||y||2
||x − y||2 = (x − y, x − y) = ||x||2 − (x, y) − (x, y) + ||y||2
だから，(1) が成り立つ．
(2) (x, y) + (x, y) = 2 Re (x, y) だから，(2) が成り立つ．
√
√
√
(3) ||x + −1y||2 = ||x||2 − −1(x, y) + −1 (x, y) + ||y||2 だから，(3) が成り立つ．
4. 内積 ( , ) の性質 (v 1 + v 2 , w) = (v 1 , w) + (v 2 , w) と (αv, w) = α(v, w) により，v 1 ,
v 2 ∈ S ⊥ ならば v 1 + v 2 ∈ S ⊥ および α ∈ K, v ∈ S ⊥ ならば αv ∈ S ⊥ が成り立つので，
S ⊥ は K n の部分空間である．
5. 一般に，U ⊂ W ならば U ⊥ ⊃ W ⊥ が成り立つ．W1 + W2 ⊃ Wi なので，(W1 + W2 )⊥ ⊂
W1⊥ ∩ W2⊥ である．逆に v ∈ W1⊥ ∩ W2⊥ とすると，任意の wi ∈ Wi (i = 1, 2) について
(v, wi ) = 0 だから (v, w1 + w2 ) = 0 である．よって v ∈ (W1 + W2 )⊥ となるので，(1) が
成り立つ．
(Wi⊥ )⊥ = Wi だから，(1) において Wi を Wi⊥ で置き換えると (W1⊥ + W2⊥ )⊥ = W1 ∩ W2
となる．この両辺の直交補空間をとると (2) が得られる．
6. K n = W ⊕W ⊥ (直和) だから {u1 , . . . , ur , v 1 , . . . , v s } は K n の基底である．(ui , uj ) =
δij (1 ≤ i, j ≤ r), (v i , v j ) = δij (1 ≤ i, j ≤ s), (ui , v j ) = 0 (1 ≤ i ≤ r, 1 ≤ j ≤ s) が成
り立つので， {u1 , . . . , ur , v 1 , . . . , v s } は正規直交系である．
8

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