( ) th

減衰が発生する要因
減衰定数による自由振動の違い
x
x
x0
x0
10T0
-x0
t(s)
t(s)
構造・非構造部材のずれ、がた、摩
擦等によってエネルギーを消費する
効果（構造減衰）
h=0.05
x
x0
x0
10T0
-x0
ダッシュポット
オイルダンパー
h=0
x
速度
x&
P
10T0
-x0
ダッシュポットと減衰力
地盤に波動エネル
ギーが流れる効果
（地盤逸散減衰）
ねばねば
した液体
運動方程式への組み込み
&
速度 x
ひび割れ
10T0
-x0
t(s)
t(s)
h=0.02
h=0.10
δ（たわみ）
部材に亀裂等が生じることによってエ
ネルギーを消費する効果（履歴減衰）
減衰力
制震装置による応答低減
効果（付加減衰）
粘弾性体を用いた木造建物の制震装置
ドアのダンパー
減衰系の運動方程式
加速度
拡大
− cx&
&x&
速度
x&
力の釣り合いより
変位 x
慣性力
− m&x& − cx& − kx = 0
− m&x&
m&x& + cx& + kx = 0
制震装置部
運動方程式
ばねの復元力－kx
ダッシュポットの減衰力 − c&x
粘弾性体
減衰系の自由振動
指数関数の性質
e − hω 0 t
t =0
e
e0 = 1
各種公式
log e e
x0 cos ω0t
;自然対数の底、ネイピア数
(2.718……)
t =∞
d − hω 0 t
e
= − h ω 0 e − hω 0 t
dt
− hω 0 t
(= ln e
− hω 0 t
) = − hω t
0
10T0
-x0
t(s)
×
e −∞ = 0
e
− hω 0 t
減衰系の自由振動
x
x0
1
t(s)
x
＝
x0
x
e
− hω 0 t
cos ω0t
Td≒T0
x1
x2
x3
T0
2T0
3T0
x0
0
10T0
-x0
-x0
t(s)
t(s)
x1 x2 x3
=
=
=L
x0 x1 x2
Q1
減衰がある場合の運動方程式 x  2h0 x  0 x  0 について、一般解の 1 つである x(t )  Xe  h0t cos  d t を
2
方程式に代入して成立することを確認せよ。ただし、 d  0 1 h とする。
2
2014 年 10 月 27 日
A
建築振動学 05
永野正行
x(t )  Xe  h0t cos d t
x (t )  h0 Xe  h0t cos d t  d Xe  h0t sin d t
x(t )  h 202 Xe  h0t cos d t  d2 Xe  h0t cos d t  2h0d Xe  h0t sin d t
これらを x  2h0 x  0 x  0 に代入する。
2
x  2h0 x  02 x
 h 202 Xe  h0 t cos d t  d2 Xe  h 0 t cos d t  2h0d Xe  h0 t sin d t
 2h0 [h0 Xe  h 0 t cos d t  d Xe  h0 t sin d t ]
 02 Xe  h0 t cos d t
Xe  h0t sin d t の項は消去される。
Xe  h0t cos d t の係数を足し合わせると、
h 202  d2  2h 202  02
 (1  h 2 )02  d2  0
となり、式が成立する。
Q2
建物の減衰付きの自由振動を x(t )  x0e
 h0t
cos 0t としたときに，x2 から x3 への 1 周期後のピーク振幅の比 x3/x2 が、x2/x1 と同じ結果に
なることを示しなさい。
A
建物の減衰付きの自由振動を x(t )  x0e
 h0t
cos 0t と表現する。
t  2T0 ,3T0 時の振幅を x2 , x3 とすると、
x2  x0e h0 2T0 cos(0 2T0 )  x0e4h
x3  x0e6h
x3 e 6h
  4h  e  2h
∴
x2 e
Q3
x2
 e  2h と同じとなる
x1
h=5%のときに 10 周期後のピーク振幅の比が何倍になるかを推定しなさい。
A
h=5%の場合、1 回のピークでの振幅は
よって 10 回のピーク後は
e

 2  0.05 10
 e 2 0.5  0.0432 倍となる。
e2 0.05  0.730 倍となる。

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