初項が 50，公差が整数である等差数列のはじめの n 項の和を Sn で表すとき，無限数列 S1 ，S2 ，S3 ，. . . の項の中で最大のものが S17 であるという． (1) この等差数列の公差を求めよ． 1 (2) lim 3 (S1 + S2 + · · · + Sn ) を求めよ． n→∞ n 解（北海道大学 1961 年第 5 問）答 (1) 求める公差を d とおく．この数列の一般項を an とおくと，an = 50 + (n − 1)d であるから， Sn = n ∑ (50 + (k − 1)d) k=1 1 = 50n + n(n − 1) · d 2 {an } は等差数列なので，an+1 ≧ an あるいは an+1 < an のいずれか一方が成り立つ．もし an+1 ≧ an であれば明らかに Sn+1 > Sn となり，Sn に最大のものは存在しない．したがって，無限数列 S1 ，S2 ，S3 ，. . . の項の中で最大のものが S17 であるためには，an+1 < an（つまり，d < 0 ）で，S16 < S17 かつ S17 > S18 が成り立つことが必要十分である． S16 < S17 かつ S17 > S18 d d ⇐⇒ 50 · 16 + · 16 · 15 < 50 · 17 + · 17 · 16 かつ 2 2 d d 50 · 17 + · 17 · 16 > 50 · 18 + · 18 · 17 2 2 ⇐⇒ −50 < 16d かつ − 50 > 27d 25 50 ⇐⇒ − < d < − 8 27 これを満たす整数 d は d = −3 だけであり，d < 0 である．よって， d = −3． (2) (1) より，Sn = 50n − 32 n(n − 1) = − 32 n2 + 103 2 n．ゆえに { } n 1 ∑ 1 3 1 103 1 S = · n(n + 1)(2n + 1) + · n(n + 1) − k 2 6 2 2 n3 k=1 n3 ( )( ) ( ) 1 1 1 1 103 1 = − ·1· 1+ 2+ + · ·1· 1+ 4 n n n 4 n 1 1 (n −→ ∞) −→ − · 1 · 1 · 2 + 0 = − 4 2 1 1 よって， lim 3 (S1 + S2 + · · · + Sn ) = − n→∞ n 2 ＜解答終＞