等比数列の和等比数列の和 2 3 a＋ ar＋ ar ＋ ar ＋・・・・・＋ ar n-1 a(r n −1) a(1−r n ) ＝ r-1 ＝ 1−r … （＊）何故このようになるのかと言うと S ＝ a ＋ ar −） Sr ＝ ar S(1−r) ＝ a ＋ ar 2 ＋・・＋ ar n - 1 ＋ ar ＋ ar ＋・・・ 2 ・ 3 ＋ ar n − a(1−r n ) よって， r≠ 1 のとき S＝ 1−r であるというのは，難しいよねよだからと言って，意味も分からず覚えるのは・・・そこで，こんなことをやってみよう !! 因数分解です 1−r 2 ＝ (1−r)(1＋ r) 1−r 3 ＝ (1−r)(1＋ r＋ r 2 ) 1−r 4 ＝ (1−r 2 )(1＋ r 2 )＝ (1−r)(1＋ r)(1＋ r 2 ) となるけど，ここは敢えて (1＋ r)(1＋ r 2 ) を展開してしまうと (1＋ r)(1＋ r 2 )＝ 1＋ r＋ r 2 ＋ r 3 だから 1−r 4 ＝ (1−r)(1＋ r＋ r 2 ＋ r 3 ) ここまで，もう一度，並べて書くよ 1−r 2 ＝ (1−r)(1＋ r) 1−r 3 ＝ (1−r)(1＋ r＋ r 2 ) 1−r 4 ＝ (1−r)(1＋ r＋ r 2 ＋ r 3 ) そろそろ見えてきたかな？それじゃ 1−r 5 は 1−r 5 ＝ (1−r)(1＋ r＋ r 2 ＋ r 3 ＋ r 4 ) になりそうだね，うん !! なるんだどんどん行こう !! 1−r 6 ＝ (1−r)(1＋ r＋ r 2 ＋ r 3 ＋ r 4 ＋ r 5 ) 1−r 7 ＝ (1−r)(1＋ r＋ r 2 ＋ r 3 ＋ r 4 ＋ r 5 ＋ r 6 ) いくらやってもキリがないので，このあたりで 1−r n は 1−r n ＝ (1−r)(1＋ r＋ r 2 ＋ r 3 ＋ … ＋ r n - 1 ) そうすると，両辺を 1−r で割って 1−r n 2 3 n-1 1−r ＝ 1＋ r＋ r ＋ r ＋ … ＋ r ar n この式の右辺を見ると，初項 1，公比 r の等比数列の和だということは a＋ ar＋ ar 2 ＋ ar 3 ＋ … ＋ ar n - 1 ＝ a(1−r n ) 1−r これで（＊）の公式になっちゃった今日のところは，このくらいで良しとしましょういずれ， S−Sr を作るやり方は覚えてもらいます 2 3 a＋ ar＋ ar ＋ ar ＋・・・・・＋ ar n-1 a(r n −1) a(1−r n ) ＝ r-1 ＝ 1−r … （＊）まずは，この式を使って等比数列の和を求められるようにしよう a(r n −1) a(1−r n ) ところで， r-1 と 1−r はどちらを使えばイイの？と悩むよね実は， r が 1 より大きいときに左の式， r が 1 より小さいときに右の式を使うそうすると，分母が正になり，計算しやすいそれじゃ， r が 1 のときは？このときはどちらも使えない r＝ 1 のときは， a＋ a＋ a＋ a＋ … ＋ a となるので， na だよ今日は，細かなことを気にしないことにしようとにかく，たくさん練習しよう