応用解析学（電子2年）第9講前回復習 15b. 線形2階偏微分方程式（続）

応用解析学（電子２年）
第９講
• 線形２階偏微分方程式（波動方程式，ラプラス方程式）
• フーリエ級数展開
前回復習
熱伝導方程式を満たす関数の「例」
1
• 任意の正定数 a，任意の定数 c に対して，関数 u(t, x) = t− 2 exp(−
(x − c)2
)
4a2 t
∂u
∂2u
(t, x) = a2 2 (t, x) を，0 < t, −∞ < x <
は，一次元熱伝導方程式：
∂t
∂x
∞ の範囲で満す．t = 0 では定義されない点に注意．
計算：
(x − c)2 ∂g
x−c
∂g
(x − c)2
(t, x) = −
(t, x) =
g(t, x) =
と置くと，
,
より，
2
2
2
4a t
∂t
4a t
∂x
2a2 t
def
∂u
1
∂g
1
(x − c)2 −5/2 −g(t,x)
(t, x) = − t−3/2 + t−1/2 −
e−g(t,x) = − t−3/2 +
t
e
∂t
2
∂t
2
4a2
∂g −g(t,x)
x − c −3/2 −g(t,x)
∂u
−1/2
−
e
=−
t
e
(t, x) = t
∂x
∂x
2a2
∂2u
x − c −1 −g(t,x)
t−3/2
(t,
x)
=
−
1 + (x − c)
t
e
2
2
2
∂x
2a
2a
1
1 −3/2 (x − c)2 −5/2 −g(t,x)
= 2 − t
+
t
e
a
2
4a2
これは，仮想的に時刻 t = 0 において位置 x = c の無限小区間（質点）にある量
の熱量が瞬間的に置かれた状態から出発した，無限に長い棒上の温度を表してい
る．時刻 t = 0 では，x = c の点のみ温度が無限大で，他の点の温度は 0 であるが，
次の瞬間に熱が移動し，全域で温度が変化する．
15b. 線形２階偏微分方程式（続）
(2) 波動方程式
x 軸に沿って置かれた細い弦の垂直方向の振動（横波）を考える．時刻 t 位置 x
での垂直方向のずれ（変位）を関数 u(t, x) とする．ある時刻 t での，ある微少空
間区間 [x, x + δx] の弦の運動（力，質量，加速度）を考え，その点 (t, x) での変位
の変化を記述する関係を導く．
参考：
1
• 重力を無視し，弦の張力だけが作用している（無重力状態で考える）．
• この場合，
（弦の張力による）現象を支配する物理的な原理は，
– ある区間で垂直方向に掛かる力∝両端での変位勾配の差
∗ なぜなら，ある点で垂直方向に掛かる力∝その点の変位勾配
– ある区間で垂直方向に掛かる力＝垂直方向加速度×質量．
∗ なお，質量＝線密度×区間の長さ
• ただし，弦の変位は十分小さいとし，その結果，近似的に，
∂u
(t, x)
– 弦に沿った張力 T は一定．かつ，
∂x
2
=0
と仮定する．
• 時刻 t に，微少空間区間の左端で弦に垂直方向にかかる力（上向きを正）は，
弦の (水平に対する）傾きを θ = θ(t, x) と置くと， −T sin θ(t, x)．同様に右
端で弦に垂直方向にかかる力は， T sin θ(t, x + δx)．よって，その差は以下
のように近似できる：
∂ sin θ
δx
F (t, x, δx) = T (sin θ(t, x + δx) − sin θ(t, x)) ≈ T
∂x
∂θ
∂ tan θ
= T cos θ δx = T cos3 θ
δx
∂x
∂x
⎛
= T
⎝1 +
∂u
∂x
2 ⎞− 32
⎠
∂2u
∂2u
(t, x)δx ≈ T 2 (t, x)δx
∂x2
∂x
(1)
∂2u
1 ∂θ
∂u
∂ tan θ
= tan θ(t, x),
=
(t, x) である．また，次
=
∂x
∂x2 3
∂x
cos2 θ ∂x
の変形：cos3 θ = (1 + tan2 θ)− 2 を用いた．
ただし，
∂u
• 一方，一次元密度 ρ の微少区間の弦の質量は ρ 1 +
∂x
2
δx
∂2u
δx
) ．そこで，力＝加速
微少区間の中点での垂直方向加速度は， 2 (t, x +
∂t
2
度×質量より，
∂2u
δx ∂u
)ρ1 +
F (t, x, δx) ≈
(t,
x
+
2
∂t
2
∂x
2
δx ≈
∂2u
δx
(t, x + )ρδx (2)
2
∂t
2
以上の (1), (2) より，δx → +0 の極限において等式（波動方程式）が成り立つ
T ∂2u
∂2u
(t,
x)
=
(t, x)
∂t2
ρ ∂x2
2
物理では通常，３次元を扱うので，
∂2u
(t, x, y, z) = a2 Δu(t, x, y, z)
∂t2
• なお，熱伝導は非可逆的で無限速度伝播性，波動は有限速度伝搬性を持つ．
波動方程式を満たす関数の「例」
1. （１次元）直線上の波動方程式を満たす関数の例
a を正の定数とし，２回連続微分可能な任意の２つの一変数関数
φ（ファイ）と
ψ（プサイ）に対して，関数 u(t, x) = φ(x + at) + ψ(x − at) は，一次元波動方
2
∂u2
∂
u
(t, x) = a2 2 (t, x) を，−∞ < t, x < ∞ の範囲で満たす．
程式
∂t2
∂x
計算：
∂2u
∂
(t, x) = a(φ (x + at) − ψ (x − at)) = a2 (φ (x + at) + ψ (x − at)) 及び
2
∂t
∂t
∂2u
(t, x) = · · · = φ (x + at) + ψ (x − at) となる．
∂x2
• これは，ψ(x) の形の波が形を崩さずに右（x-正）方向に速度 a で進み，φ(x)
の形の波が形を崩さずに左方向に速度 a で進んでいる場合を表している．
2. （３次元）空間上の波動方程式を満たす関数の例
∂2u
∂2u
∂2u
∂u2
(t,
x,
y,
z)
=
(t,
x,
y,
z)
+
(t,
x,
y,
z)
+
(t, x, y, z) を，−∞ < t, x, y, z <
∂t2
∂x2
∂y 2
∂z 2
∞ の範囲で考える．任意の点 (ξ, η, ζ) と２回連続微分可能な一変数関数 φ, ψ を与
える時（ξ はグザイ，η はイータ，ζ はツェータ，と読む），関数
u(t, x, y, z) =
1
(φ(r(x, y, z) + t) + ψ(r(x, y, z) − t)) (x, y, z) = (ξ, η, ζ)
r(x, y, z)
def
は，上の波動方程式を満たす．ただし，r(x, y, z) =
は点 (ξ, η, ζ) からの距離．
(x − ξ)2 + (y − η)2 + (z − ζ)2
• これを示すには，この等式の左辺と右辺の偏微分の計算をひたすら頑張るし
かない．
• これは，空間上において，点 (ξ, η, ζ) の同心球状に，波が外側に拡大する様
子（ψ が基本の形であるが，外に行くほど振幅が小さくなる）と内側に収縮
する様子（φ が基本の形であるが，内に行くほど振幅が大きくなる）を表し
ている．ただし，波が進む速度は 1 である．
3
(3) ラプラス方程式
3 次元実空間での熱伝導において，十分長い時間経過後，温度分布が定常（時間
∂u
に対して変化しない）とみなせる場合，
(t, x, y, z) = 0 なので，空間的温度分
∂t
布 u(x, y, z) は：
Δu(x, y, z) = 0
を満す．一般に， Δu(x1 , x2 , . . . , xn ) = 0 を n-次元ラプラス方程式と呼ぶ．その解
を「調和関数」と呼び，時間的定常状態に対応する．
ラプラス方程式を満たす関数の「例」
n 次元空間内の任意の点
(c1 , . . . , cn ) を固定し，関数 r = r(x1 , . . . , xn ) を，そ
の点からの距離： r(x) =
i
(xi − ci )2 と置くと，以下の関数は，(x1 , . . . , xn ) =
(c1 , . . . , cn ) において調和関数になる．
(n = 1, n ≥ 3),
r(x)2−n
− log r(x) (n = 2)
次図は，n = 2 の場合に，r を原点 (0, 0) からの距離とする例である．原点では
関数の値は無限大に発散する．
z = -log(sqrt(x^2+y^2))
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
1
0.5
-0.5
0
0
0.5
-0.5
1 -1
def
計算を見通しよくするために， w(x1 , . . . , xn ) = r 2 =
(xi − ci )2 と置き，次式
i
∂w
= 2(xi − ci ) (i = 1, 2, . . . n)
を利用する：
∂xi
n = 2 の場合：
1
∂u
1 ∂w
xi − ci
,
u(x1 , x2 ) = − log w(x1 , x2 ),
=−
=−
2
∂xi
2w ∂xi
w
2(xi − ci )2
xi − ci ∂w
1
1
∂2u
=
=
−
−
2
2
2
∂xi
w ∂xi w
w
w
2
2
2
2(x2 − c2 )2
2w
∂ u
2(x1 − c1 )
1
1
2
def ∂ u
+
=
=0
Δu(x1 , x2 ) =
+
=
−
−
−
2
2
∂x1 ∂x2
w2
w
w2
w
w2
w
4
n > 2 の場合：
∂w
∂u
n
= 1−
w −n/2
= (2 − n)(xi − ci )w −n/2 ,
∂xi
2
∂xi
∂2u
n
−n/2−1
−n/2
=
(2
−
n)
(x
−
c
)
−
w
(2(x
−
c
))
+
w
i
i
i
i
∂x2i
2
n(xi − ci )2
+1
= (2 − n)w −n/2 −
w
n
2
2
−
c
)
∂2u
n(x
def ∂ u
i
i
+1
Δu(x1 , . . . , xn ) =
+ · · · + 2 = (2 − n)w −n/2
−
∂x21
∂xn
w
i=1
u(x1 , . . . , xn ) = w 1−n/2 ,
= (2 − n)w −n/2 (−n + n) = 0
参考：線形２階偏微分方程式の分類
n-次元変数を x = (x1 , . . . , xn ) と置いて，関数 u(x
x) が，点 p = (p1 , p2 , . . . , pn ) の
∂2u
(x
x) (i, j = 1, 2, . . . n)
近傍ですべての２階偏導関数を持つ場合，すなわち，
∂xi ∂xj
が存在する場合，ある (i, j) の組に対して，
∂2u
∂2u
∂2u
∂2u
(x
x) も
(x
x) も x = p で連続ならば，
(pp) =
(pp )
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
が成り立つ．
• もし
以下では，考えている範囲内のすべての点 x で，すべての２階偏導関数が連続
な場合を考える．この時，実定数係数 aij , bk , c (1 ≤ i, j, k ≤ n)，を持つ２階線形
微分作用素 L：
n
n
∂2
∂
def L=
aij
+
bk
+c
∂xi ∂xj
∂xk
i,j=1
k
を定義すると，線形２階偏微分方程式は一般に，未知関数 u，既知関数 f に対して，
Lu(x1 , . . . , xn ) = f (x1 , . . . , xn )
という形になる．
∂2u
∂2u
(x
x) =
(x
x) なので，aij = aji として一般性を失わない．なぜな
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
1
ら，aij = aji の場合は， (aij + aji ) を改めて aij （よって aji ）と置きなおしても
2
作用素 L は変わらないから．
def
ここで，２階偏導関数の係数行列 A：A = aij
の n-次の特性方程式（固
i,j=1,...,n
有多項式＝ 0）
det(A − λE) = 0
を考えると，A は対称行列なので，高々n 個の特性根（固有値）λ はすべて実根．
この時，２階線形微分作用素 L は，以下の３通りに場合分けされる．(i) 楕円形：
5
特性根 λ はすべて正または負の同符号．(ii) 双曲形：特性根 λ のいくつかは正，
他は負．(iii) 放物形：特性根 λ の中に 0 が含まれる．これらの分類の名称は，２
次曲線 C : ax2 + 2bxy + cy 2 + px + qy + h = 0 の分類に由来する．
３つの代表的な偏微分方程式に当てはめると，
• ラプラス方程式 Δu = 0 は楕円形．なぜなら，3-変数関数とみて，
⎛
⎞
1 0 0
⎜
⎟
⎟
A=⎜
⎝ 0 1 0 ⎠,
0 0 1
• 波動方程式
⎛
A=
∂2u
− Δu = 0 は双曲形．なぜなら，4-変数関数とみて，
∂t2
1 0
0
0
0 −1 0
0
0 0 −1 0
0 0
0 −1
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
• 熱伝導方程式
⎛
A=
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
(1 − λ)3 = 0
より特性方程式は
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟,
⎟
⎠
− (1 − λ)(1 + λ)3 = 0
より特性方程式は
∂u
− Δu = 0 は放物形．なぜなら，4-変数関数とみて，
∂t
0 0
0
0
0 −1 0
0
0 0 −1 0
0 0
0 −1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟,
⎟
⎠
より特性方程式は
− λ(1 + λ)3 = 0
16. Fourier 級数展開
次回以降，偏微分方程式の初期値境界値問題の解を構成する時に利用する．
周期 2π の１変数実数値周期関数 f (x) （f (x) = f (x + 2π) for ∀x）に対して，
∞
1
a0 +
(an cos nx + bn sin nx)
2
n=1
def
a0 =
1
π
π
−π
def
f (x)dx, an =
1
π
π
−π
def
f (x) cos nxdx, bn =
1
π
π
−π
f (x) sin nxdx
を，f (x) の Fourier 級数展開と呼び，実数列 a0 , a1 , b1 , a2 , b2 , . . . を，Fourier 展
開係数と呼ぶ．大雑把に言えば，f (x) の導関数 f (x) が連続ならば，等式が
成立．
∞
1
f (x) = a0 +
(an cos nx + bn sin nx)
2
n=1
6
• 上の等式がもし成り立つ場合に，各 Fourier 展開係数がこの形である理由は
（例えば an の場合），項別積分を認めれば以下のように示せる．
π 1
π
−π
f (x) cos nxdx =
2
−π
a0 +
π
a0
=
2
−π
∞ より，係数 an は，
1
π
−π
−π
cos mx cos nxdx + bm
−π
sin mx cos nxdx
π
−π
π
sin mx sin nxdx =
π
cos nxdx = 0,
−π
π
cos2 nxdx = an π
f (x) cos nxdx に等しいことが必要．
−π
π
この計算で（m, n は自然数），
−π
π
(am cos mx + bm sin mx) cos nxdx
m=1
π
am
π
cos nxdx +
m=1
= an
∞
π
0
−π
cos mx cos nxdx =
m=n
,
m = n
π
−π
π
0
m=n
,
m = n
sin mx cos nxdx = 0,
sin nxdx = 0 となることを利用する．次回参照．
• f (x) が区分的に滑らかな場合，Fourier 級数は収束し，次の等式が成り立つ：
1
2
lim f (x + ε) + lim f (x − ε)
ε→+0
ε→+0
∞
a0 =
(an cos nx + bn sin nx)(3)
+
2
n=1
ただし，区間 [a, b] で区分的に滑らかとは，[a, b] が有限個の小区間 [ai, ai+1 ](a =
a0 < · · · < an = b) に分割でき，各小区間内部において，f (x) が連続かつ有
限であること．
この精密な結果は証明しない．興味のある方は例えば以下を参照：
「大学演
習応用数学 1（吉田耕作, 加藤敏夫；裳華房）」の III 章の例題１．４．
なお，f (x) が点 x で連続ならば左辺は f (x) なので，その点 x では以下が成立．
f (x) =
∞
a0 +
(an cos nx + bn sin nx)
2
n=1
• 加えて，f (x) がすべての点 x で「連続」な場合は，上の右辺の級数は，絶対
収束かつ（x に関して）一様収束し，
f (x) =
∞
a0 +
(an cos nx + bn sin nx)
2
n=1
(4)
次回の講義で，この命題がどう証明されるかの流れを説明する．それは，本
質的には次項の性質が基になっている．
7
• 一般的に，f (x) が「二乗可積分」な場合（区分的滑らかさや連続かどうかに
依らず），右辺と左辺の差の２乗の積分が 0 に近づく．つまり，
π lim
N →∞ −π
N
a0 f (x) −
(an cos nx + bn sin nx)
−
2
n=1
2
dx = 0
(5)
∞
a0 +
これを，
『f (x) のフーリエ級数
(an cos nx + bn sin nx) が，f (x) に２
2
n=1
乗平均収束する，
』と呼ぶ．
Fourier 展開係数について：
• Fourier 展開係数は，周期区間全体での f (x) の値に依存する（積分の世
界）．一方，Taylor 展開係数は，展開する点の近傍での f (x) の値に依存
（微分の世界）．
• f (x) が奇関数の場合は，偶関数 cos nx との積が奇関数になり，a0 , an の
積分は 0 になる．逆に，f (x) が偶関数の場合は，奇関数 sin nx との積が
奇関数になり，bn の積分は 0 になる．
1.5
n=1
n=3
n=5
sum of 1,3,5
例題 1
• 以下の周期 2π の階段関数
を Fourier 級数展開せよ．
f (x) =
1 0≤x≤π
−1 −π < x < 0
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-3
-2
-1
0
1
2
Fourier 展開係数を定義通りに計算すると，
def
a0 =
def
an =
=
=
def
bn =
=
=
1 π
f (x)dx = 0
π −π
π
1π
1 0
f (x) cos nxdx =
(− cos nx)dx +
cos nxdx
π −π
π −π
0
0
π
1
− (− cos n(−y))dy +
cos nxdx
π
π
0
0
(... cos n(−x) = cos nx)
0
π
1 π
1
f (x) sin nxdx =
(− sin nx)dx +
sin nxdx
π −π
π −π
0
π
2
sin nxdx
π 0
2
cos nx π
2
(1 − cos nπ)
−
=
π
n
nπ
x=0
8
3
ここで cos nπ =
1 n が偶数
より，
−1 n が奇数
b2m = 0,
b2m−1 =
4
(2m − 1)π
m = 1, 2, . . .
• つまり，f が奇関数なので，a0 , an は 0．また，bn は，n が偶数では 0．
ここで，−π ≤ x ≤ π の範囲で考えると，f (x) は，x = −π, 0, π では連続．よっ
て，x = −π, 0, π では以下の等式が成立．
∞
4
sin 3x sin 5x sin 7x
f (x) =
b2m−1 sin(2m − 1)x =
sin x +
+
+
...
π
3
5
7
m=1
π
で連続なので，フーリエ級数展開に代入すると，以前，arctan 関
2
数の Taylor 級数展開からも導いたグレゴリーの公式が再び現れる：
f (x) は x =
4
3π 1
5π 1
7π
π
π 1
+ sin
+ sin
...
1 = f( ) =
sin + sin
2
π
2 3
2
5
2
7
2
1 1 1
π
= 1 − + − + ...
4
3 5 7
Fourier 級数の周期区間の一般化
T
def
• f (x) の周期が 2π でない（2T とおく）場合でも，g(x) = f ( x) とおけば，
π
π
g(x) が周期 2π として Fourier 級数展開でき，その展開の中で x = y とおけ
T
ば，f (y) は周期 2T として Fourier 級数展開できる．よって，
– 一般に，2T を周期とする，連続かつ区分的に滑らかな関数 f (x) は，以
下のように Fourier 級数展開でき，級数は絶対収束かつ一様収束する．
f (x) =
def
an =
∞
a0 nπx
nπx
def 1
+
+ bn sin
), a0 =
(an cos
2
T
T
T
n=1
T
−T
f (x)dx,
T
1T
nπx
nπx
def 1
dx, bn =
dx
f (x) cos
f (x) sin
T −T
T
T −T
T
• f (x) が区間 [A, A + T ] で定義される時，x = A を軸に奇関数または偶関数の
周期 2T の周期関数になるように x < A, A + T < x に拡張：
– 例えば，[0, 1] で定義された関数 f (x) を y-軸で折り返して，[−1, 1] の偶
関数として拡張する場合のフーリエ展開係数は，
a0 =
1
−1
f (x)dx, an =
1
−1
f (x) cos nπxdx
これらを，
「（拡張した）f (x) の Fourier 級数展開」と呼ぶ．
9
例題２１＞ f (x) = cos3 x を Fourier 級数展開せよ．
加法定理を使って直接計算できて，
cos 2x = 2 cos2 x − 1,
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 3x = cos 2x cos x − sin 2x sin x = (2 cos2 x − 1) cos x − 2 sin2 x cos x
= 4 cos3 x − 3 cos x
1
3
cos x + cos 3x
cos3 x =
4
4
一方，フーリエ展開係数を定義通り計算（積分）するには結局，上の計算が必
要．f (x) = cos3 x が偶関数なので，bn = 0．ここで，n ≥ 4 で an = 0 なので有限
個の和になる．計算して上と同じ答えになることを後で確認して下さい．
２＞関数 f (x) = x2 (−π ≤ x ≤ π) を Fourier 級数展開せよ．
フーリエ展開係数を定義通りに計算．f (x) = x2 が偶関数なので，bn = 0．
a0
an
x2
1
=
π
π
1 x3
x dx =
π 3
−π
=
−π
2π 2
3
π
π
1
sin nx
2 sin nx
dx
x cos nxdx =
x ·
−
2x ·
π
n
n
−π
−π
−π
π
cos nx
2 π
2
cos nx π
dx
= −
x sin nxdx = −
−x ·
+
nπ −π
nπ
n
n
−π
−π
4
4
=
cos
nπ
=
(−1)n
よって，
n2
n2
∞
∞
(−1)n
a0 π2
+
+4
=
an cos nx =
cos nx
2
3
n2
n=1
n=1
1
=
π
π
π
2
2
=
π2
cos 2x cos 3x cos 4x
+ 4 − cos x +
−
+
−...
3
4
9
16
∞
1
π2
(−1)n−1
1 1
···
• f (x) は x = 0 で連続なので， =
=1− + −
2
12 n=1 n
4 9 16
∞
1
1 1
π2
1
• f (x) は x = π で連続なので， =
···
=1+ + +
2
6
4 9 16
n=1 n
練習 x 0≤x<π
を Fourier 級数展開せよ．
0 x=π
ヒント：周期関数としての拡張の方法が何通りか考えられる．どれも正解である．
関数 f (x) =
10

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