本日(4月28日(月))の代数学 II の授業中に述べた通り 5月8日(木)3限 に小テストを行います。 5月14日(月)ではありません。 R を環とする。y ∈ R, n ∈ N, xi ∈ R (i ∈ J1,n ) とする。等式 n n ∑ ∑ y·( xi ) = yxi (1) i=1 i=1 の証明の模範解答: n に関する帰納法で証明する。n = 1 のときはあきらかである。 n ≥ 2 とする。このとき以下の等式達が成り立つ。 n ∑ y · ( xi ) i=1 = y · (( = (y · =( = n−1 ∑ xi ) + xn ) (Σ の定義より) i=1 n−1 ∑ xi ) + yxn i=1 n−1 ∑ yxi ) + yxn i=1 n ∑ yxi (分配法則(R7) より) (帰納法より) (Σ の定義より) i=1 このことより等式 (1) が成り立つ。 小テストの問題の解答はこれと同じレベルを期待します(特に本日のプリントの 問(3)についても)。授業中に警告したように Σ を扱うことが出来ることを単位認定の最低条件 とする予定です。言うまでもなく本日のプリントの問(3)に書いた等式の変形 は、いくつかの途中の変形を省いています。書いていない式を自分自身で加えて 小テストの時は完全な解答を書いて下さい。言うまでもなく本日のプリントの問 (3)の等式の最後の等式は n に関する帰納法も用います。 4月28日 山根宏之 代数学 II 小テスト 5月8日実施 R を環とする。R∞ := {a = (ai )∞ i=0 = (a0 , a2 , a2 , . . .)|ai ∈ R(i ∈ Z≥0 )} とす ∞ に対して a′ := (a ∞ ∞ とおく。 る。a = (ai )∞ ∈ R i+1 )i=0 ∈ R i=0 以下の問の解答には環の公理、Σ の定義、帰納法しか用いてはいけない。但し 他の箇所で得られた結果は使ってよい。 問1. 環の公理を書け。 問2. x, y ∈ R とする。(x+y)+(−y) = x, 0x+0x = 0x, 0x = 0, (−1)x+1x = 0, (−1)x = −x を示せ。 n n ∑ ∑ 問3. y, z ∈ R, n ∈ N, xi ∈ R (i ∈ J1,n ) とする。(y · ( xi )) · z = (yxi )z i=1 を示せ。 問4. n ∈ N, xi , yi ∈ R (i ∈ J1,n ) とする。 n ∑ (xi + yi ) = ( i=1 を示せ。 i=1 n ∑ i=1 xi ) + ( n ∑ yi ) i=1 ∞ ∞ ∞ とする。n ∈ Z 問5. a = (ai )∞ ≥0 に対して i=0 , b = (bi )i=0 , c = (ci )i=0 ∈ R n−k n s n ∑ ∑∑ ∑ ak ( br cn−k−r ), Bn (a, b, c) := ( at bs−t )cn−s とおく。 An (a, b, c) := k=0 r=0 s=0 t=0 (1)n ≥ 1 とする。An (a, b, c) − An−1 (a, b, c′ ) を求めよ。 (2)An (a, b, c) = Bn (a, b, c) を示せ。 問6. R∞ は 0R∞ = (0, 0, 0, . . .), a + b = (ai + bi )∞ i=0 , 1R∞ = (1, 0, 0, . . .), i ∑ a · b = ( ak bi−k )∞ i=0 k=0 (a = (ai )∞ i=0 , b = (bi )∞ i=0 ∈ R∞ ) により環となる事を示せ。 ∞ 問7. R⊕∞ := {a = (ai )∞ i=0 ∈ R | ∃r ∈ Z≥0 , ∀k ∈ Jr,∞ , ak = 0} とする。 ∞ が R の部分環であることを示せ。 R⊕∞ 3 本日の代数学 II の小テストの問5(1)の模範解答 An (a, b, c) n n−k ∑ ∑ = ak ( br cn−k−r ) k=0 n−1 ∑ =( =( k=0 n−1 ∑ (An (a, b, c) の定義より) r=0 n−k ∑ ak ( br cn−k−r )) r=0 n−k−1 ∑ br cn−k−r ) + bn−k c0 )) + an (b0 c0 ) (Σ の定義より) ak (( k=0 n−1 ∑ = (( r=0 n−k−1 ∑ ak ( br cn−k−r )) + ( r=0 k=0 + an (b0 c0 ) (Σ の定義より) n−1 ∑ ak (bn−k c0 ))) + an (b0 c0 ) k=0 (問4の等式より) n−1 n−k−1 n−1 ∑ ∑ ∑ =( ak ( br cn−k−r )) + (( ak (bn−k c0 )) + an (b0 c0 )) k=0 r=0 k=0 n−1 ∑ r=0 n−k−1 ∑ k=0 (和の結合法則 (R1) より) n−1 n−k−1 n ∑ ∑ ∑ =( ak ( br cn−k−r )) + ( ak (bn−k c0 )) =( k=0 ak ( (Σ の定義より) k=0 br c′n−1−k−r )) + ( r=0 = An−1 (a, b, c′ ) + ( n ∑ n ∑ ak (bn−k c0 )) (c′i の定義より) k=0 ak (bn−k c0 )) (An−1 (a, b, c′ ) の定義より) k=0 n ∑ ak (bn−k c0 )) + An−1 (a, b, c′ ) =( (和の交換法則 (R2) より) k=0 従って問2の1番目の等式より An (a, b, c) − An−1 (a, b, c′ ) = n ∑ k=0 を得る。 5月7日 山根宏之 ak (bn−k c0 ) 4 本日の代数学 II の小テストの問5(1)の模範解答(訂正) An (a, b, c) n n−k ∑ ∑ = ak ( br cn−k−r ) k=0 n−1 ∑ =( k=0 n−1 ∑ =( r=0 n−k ∑ ak ( br cn−k−r )) r=0 n−k−1 ∑ + an (b0 c0 ) (Σ の定義より) br cn−k−r ) + bn−k c0 )) + an (b0 c0 ) (Σ の定義より) ak (( k=0 n−1 ∑ r=0 n−k−1 ∑ k=0 r=0 =( (An (a, b, c) の定義より) (ak ( br cn−k−r ) + ak (bn−k c0 ))) + an (b0 c0 ) (分配法則 (R7) より) n−1 n−k−1 n−1 ∑ ∑ ∑ = (( ak ( br cn−k−r )) + ( ak (bn−k c0 ))) + an (b0 c0 ) r=0 k=0 k=0 (問4の等式より) n−1 n−k−1 n−1 ∑ ∑ ∑ =( ak ( br cn−k−r )) + (( ak (bn−k c0 )) + an (b0 c0 )) k=0 r=0 k=0 n−1 ∑ r=0 n−k−1 ∑ k=0 (和の結合法則 (R1) より) n−1 n−k−1 n ∑ ∑ ∑ =( ak ( br cn−k−r )) + ( ak (bn−k c0 )) =( k=0 ak ( (Σ の定義より) k=0 br c′n−1−k−r )) r=0 +( n ∑ ak (bn−k c0 )) (c′i の定義より) k=0 n ∑ ak (bn−k c0 )) (An−1 (a, b, c′ ) の定義より) = An−1 (a, b, c′ ) + ( k=0 n ∑ =( ak (bn−k c0 )) + An−1 (a, b, c′ ) (和の交換法則 (R2) より) k=0 従って問2の1番目の等式より An (a, b, c) − An−1 (a, b, c′ ) = n ∑ k=0 を得る。 5月7日 山根宏之 ak (bn−k c0 ) 代数学 II 小テスト(2) 5月19日実施 R を環とする。R∞ := {a = (ai )∞ i=0 = (a0 , a2 , a2 , . . .)|ai ∈ R(i ∈ Z≥0 )} とす ∞ に対して a′ := (a ∞ ∞ とおく。 る。a = (ai )∞ ∈ R i+1 )i=0 ∈ R i=0 次の問を前回の小テスト(5月8日実施)の問1∼問4の結果のみを用いて解 答せよ。 ∞ ∞ ∞ とする。n ∈ Z 問. a = (ai )∞ ≥0 に対して i=0 , b = (bi )i=0 , c = (ci )i=0 ∈ R n n−k n ∑ s ∑ ∑ ∑ An (a, b, c) := ak ( br cn−k−r ), Bn (a, b, c) := ( at bs−t )cn−s とおく。 k=0 r=0 s=0 t=0 (1)n ≥ 1 とする。An (a, b, c) − An−1 (a, b, c′ ) を求めよ。 (2)An (a, b, c) = Bn (a, b, c) を示せ。 代数学 II 受講生各位、昨日の小テストの問(1)は良く出 来ていた人が多くいましたが1変数多項式環の理解のために、 5月26日(月)3限 に前回の小テストの問(2)の 再小テスト(5分) を行います。 小テストも単位認定に深く関与しています。丁寧な解答を 望みます。 次の問を追加する。ただ覚えるだけではなく論理が正しい かどうか自分自身で納得するようにして欲しい。 (覚えた事は たいへん評価する。) 問 R を環とする。n ∈ N とし、ai , bi , ci ∈ R (i ∈ J1,n )とす る。等式 n−1 n−k−1 ∑ ∑ ( ak (( br cn−k−r ) + bn−k c0 )) + an (b0 c0 ) r=0 k=0 n−1 n−k−1 n−1 ∑ ∑ ∑ = (( ak ( br cn−k−r )) + ( ak (bn−k c0 ))) + an (b0 c0 ) k=0 r=0 k=0 を環の公理および公式 n n n ∑ ∑ ∑ (xi + yi ) = ( xi ) + ( yi ) i=1 を用いて示せ。 5月20日 山根宏之 i=1 i=1 代数学 II 小テスト(3)5月26日実施 R を環とする。R∞ := {a = (ai )∞ i=0 = (a0 , a1 , a2 , . . .)|ai ∈ R(i ∈ Z≥0 )} とす ∞ に対して a′ := (a ∞ ∞ とおく。 る。a = (ai )∞ ∈ R i+1 )i=0 ∈ R i=0 問1. n ∈ N とし、ai , bi , ci ∈ R (i ∈ J1,n )とする。次の等式を示せ。ただ n n n ∑ ∑ ∑ し公式 (xi + yi ) = ( xi ) + ( yi ) を用いてもよい。 i=1 i=1 n−1 ∑ ( ak (( k=0 = (( n−k−1 ∑ n−1 ∑ r=0 i=1 br cn−k−r ) + bn−k c0 )) + an (b0 c0 ) n−k−1 ∑ ak ( br cn−k−r )) + ( r=0 k=0 n−1 ∑ ak (bn−k c0 ))) + an (b0 c0 ) k=0 ∞ ∞ ∞ とする。n ∈ Z 問2. a = (ai )∞ ≥0 に対 i=0 , b = (bi )i=0 , c = (ci )i=0 ∈ R n−k n ∑ s n ∑ ∑ ∑ ak ( br cn−k−r ), Bn (a, b, c) := ( at bs−t )cn−s とお して An (a, b, c) := く。公式 k=0 r=0 An (a, b, c) = An−1 (a, b, c′ ) + s=0 t=0 n ∑ ak (bn−k c0 ) k=0 を用いて An (a, b, c) = Bn (a, b, c) を示せ。 代数学 II 受講生各位、6月2日(月)は休講とします。 1変数多項式環のさらなる理解のために、 6月9日(月)3限 に小テスト(15分)を行います。 次の問を予定します。 問. R, S を環とし、f : R → S を環の準同型写像とす る。R[T ] を R 上の一変数多項式環とする。s ∈ Z(S) := {p ∈ S|∀q ∈ S, pq = qp} とする。写像 F : R[T ] → S を n n ∑ ∑ i F( ai T ) = f (ai )si (n ∈ Z≥0 , ai ∈ R(i ∈ J0,n )) i=0 i=0 により定義する。このとき F が環の準同型写像であることを 示せ。ただし5月8日に実施した小テストの問2∼問4の公 式は用いてもよい。 解答の方針:まず F (1R[T ] ) = 1S 示す。次に F が和を保つことを示す。最後 に F が積を保つことを (m に関する)帰納法を用いてつぎのようにして示す。 ∑ ∑m−1 ∑n i ′ i j X := m i=0 ai T (ai ∈ R), X := i=0 ai T , Y := j=0 bj T (bj ∈ R) とおく。 F (X)F (Y ) = F (X ′ + am T m )F (Y ) = (F (X ′ ) + F (am T m ))F (Y ) = F (X ′ )F (Y ) + F (am T m )F (Y ) = F (X ′ Y ) + F (am T m )F ∑ (Y ) ′ m = F (X Y ) + (f (am )s )( nj=0 f (bj )sj ) ∑ = F (X ′ Y ) + ( nj=0 f (am bj )sm+j ) ∑ = F (X ′ Y ) + F ( nj=0 (am bj )T m+j ) = F (X ′ Y ) + F ((am T m )Y ) = F (X ′ Y + (am T m )Y ) = F ((X ′ + am T m )Y ) = F (XY ) (各等式が成り立つ理由は各自で考えて書くこと。) 小テストも単位認定に深く関与しています。丁寧な解答を 望みます。 5月26日 山根宏之 9 「代数学 II 小テスト(3)5月26日実施」の解答 問1. n−1 ∑ ( ak (( k=0 =( n−k−1 ∑ br cn−k−r ) r=0 n−1 n−k−1 ∑ ∑ + bn−k c0 )) + an (b0 c0 ) br cn−k−r ) + ak (bn−k c0 )) + an (b0 c0 ) (ak ( r=0 k=0 (分配法則 (R7) より) n−1 n−k−1 n−1 ∑ ∑ ∑ = (( ak ( br cn−k−r )) + ( ak (bn−k c0 ))) + an (b0 c0 ) k=0 n ∑ (公式 r=0 (xi + yi ) = ( i=1 問2. (「公式 n ∑ n ∑ k=0 xi ) + ( i=1 xi y = ( i=1 n ∑ n ∑ yi ) より) i=1 xi )y を使ってよい。」と書かなかったのは不適 i=1 切でした。お詫びいたします。) n に関する帰納法。n = 0 のとき。 A0 (a, b, c) = a0 (b0 c0 ) (A0 (a, b, c) の定義より) = (a0 b0 )c0 (積の結合法則 (R5) より) = B0 (a, b, c) (B0 (a, b, c) の定義より) n のとき。 An (a, b, c) = An−1 (a, b, c′ ) + = Bn−1 (a, b, c′ ) + =( =( n−1 ∑ n ∑ k=0 n ∑ ak (bn−k c0 ) (問で与えられた公式より) ak (bn−k c0 ) (帰納法より) k=0 s n ∑ ∑ ( at bs−t )c′n−1−s ) + ( (ak bn−k )c0 ) (Bn−1 (a, b, c′ ) の定義より) s=0 t=0 n−1 s ∑∑ ( k=0 at bs−t )cn−s ) + (( s=0 t=0 n ∑ ak bn−k )c0 ) k=0 (第1項は c′n−1−s := cn−s より、第2項は公式 =( n−1 ∑ n ∑ i=1 xi y = ( n ∑ i=1 xi )y より) s n ∑ ∑ ( at bs−t )cn−s ) + (( at bn−t )c0 ) (第2項の変数 k を変数 t に書き換えた) s=0 t=0 t=0 n ∑ s ∑ = ( at bs−t )cn−s ) (Σ の定義より) s=0 t=0 = Bn (a, b, c) (Bn (a, b, c) の定義より) 6月9日 山根宏之 10 「代数学 II 小テスト 5月8日実施 問5(1)」の模範解答(訂正) An (a, b, c) n n−k ∑ ∑ = ak ( br cn−k−r ) k=0 n−1 ∑ =( k=0 n−1 ∑ =( r=0 n−k ∑ ak ( br cn−k−r )) r=0 n−k−1 ∑ + an (b0 c0 ) (Σ の定義より) br cn−k−r ) + bn−k c0 )) + an (b0 c0 ) (Σ の定義より) ak (( k=0 n−1 ∑ r=0 n−k−1 ∑ k=0 r=0 =( (An (a, b, c) の定義より) (ak ( br cn−k−r ) + ak (bn−k c0 ))) + an (b0 c0 ) (分配法則 (R7) より) n−1 n−k−1 n−1 ∑ ∑ ∑ = (( ak ( br cn−k−r )) + ( ak (bn−k c0 ))) + an (b0 c0 ) r=0 k=0 k=0 (問4の等式より) n−1 n−k−1 n−1 ∑ ∑ ∑ =( ak ( br cn−k−r )) + (( ak (bn−k c0 )) + an (b0 c0 )) k=0 r=0 k=0 n−1 ∑ r=0 n−k−1 ∑ k=0 (和の結合法則 (R1) より) n−1 n−k−1 n ∑ ∑ ∑ =( ak ( br cn−k−r )) + ( ak (bn−k c0 )) =( k=0 ak ( (Σ の定義より) k=0 br c′n−1−k−r )) r=0 +( n ∑ ak (bn−k c0 )) (c′i の定義より) k=0 n ∑ ak (bn−k c0 )) (An−1 (a, b, c′ ) の定義より) = An−1 (a, b, c′ ) + ( k=0 n ∑ =( ak (bn−k c0 )) + An−1 (a, b, c′ ) (和の交換法則 (R2) より) k=0 従って問2の1番目の等式より An (a, b, c) − An−1 (a, b, c′ ) = n ∑ k=0 を得る。 6月9日 山根宏之 ak (bn−k c0 ) 代数学 II 小テスト(4)6月9日実施 問. R, S を環とし、f : R → S を環の準同型写像とする。R[T ] を R 上の 一変数多項式環とする。s ∈ Z(S) := {p ∈ S|∀q ∈ S, pq = qp} とする。写像 F : R[T ] → S を n n ∑ ∑ F( ai T i ) = f (ai )si i=0 (n ∈ Z≥0 , ai ∈ R (i ∈ J0,n )) i=0 により定義する。このとき F が環の準同型写像であることを示せ。ただし前回ま での小テストで与えた公式は用いてもよい。 12 解答の方針:まず F (1R[T ] ) = 1S 示す。次に F が和を保つことを示す。最後 に F が積を保つことを (m に関する)帰納法を用いてつぎのようにして示す。 ∑ ∑m−1 ∑n i ′ i j X := m i=0 ai T (ai ∈ R), X := i=0 ai T , Y := j=0 bj T (bj ∈ R) とおく。 F (X)F (Y ) = F (X ′ + am T m )F (Y ) (Σ の定義) = (F (X ′ ) + F (am T m ))F (Y ) (F は和を保つ) = F (X ′ )F (Y ) + F (am T m )F (Y ) (環の公理) = F (X ′ Y ) + F (am T m )F ∑ (Y ) (帰納法) = F (X ′ Y ) + (f (am )sm )( nj=0 f (bj )sj ) (F の定義) ∑ ∑ ∑ = F (X ′ Y ) + ( nj=0 (f (am )sm )(f (bj )sj )) (公式 y nj=0 xj = nj=0 yxj ) ∑ = F (X ′ Y ) + ( nj=0 (f (am )f (bj )sm+j )) (環の公理と s ∈ Z(S)) ∑ = F (X ′ Y ) + ( nj=0 f (am bj )sm+j ) (f は環の準同型写像) ∑ = F (X ′ Y ) + F ( nj=0 (am bj )T m+j ) (F の定義) = F (X ′ Y ) + F ((am T m )Y ) (環 R[T ] の積の定義) = F (X ′ Y + (am T m )Y ) (F は和を保つ) = F ((X ′ + am T m )Y ) (R[T ] の環の公理) = F (XY ) (Σ の定義) 代数学 II 受講生各位、本日の6月9日の小テストはよく出来ていました。但 し s ∈ Z(S) がなぜ必要かを書いていた答案は少なかったです。6月23日(月) は休講にします。 イデアル、剰余環の理解のために、 6月16日(月)3限 に小テスト(30分)を行います。 次の問を予定します。 問. p, q ∈ Z に対して Ip,q := {h(T )(T − p)(T − q) ∈ Z[T ]|h(T ) ∈ Z[T ]} とおく。 (1) Ip,q が Z[T ] のイデアルであることを示せ。 (2) 写像 θ : Z × Z → Z[T ]/Ip,q を θ(x, y) := xT + y + Ip,q (x, y ∈ Z) により定義する。θ が全単射であることを示せ。 (3) η : Z[T ]/Ip,q → Z[T ]/Ia,b が環の同型写像であれば η(T + Ip,q ) = eT + r + Ip,q となる e ∈ {±1}, r ∈ Z が存在し |a − b| = |p − q| であることを示せ。 (4) 環の準同型写像 ζp,q : Z[T ]/Ip,q → Z × Z, ζp,q (xT + y + Ip,q ) := (xp + y, xq + y) (x, y ∈ Z) が存在する事を示せ。さらに p ̸= q であれば ζp,q は 単射であることを示せ。 (5) 2つの環 Imζ0,a と Imζ0,b が同型である為の必要十分条件 は |a| = |b| であることを示せ。 (6) Q が Z × Z の部分環であればある a ∈ Z が存在して Q = Imζ0,a となる事を示せ。 小テストも単位認定に深く関与しています。丁寧な解答を 望みます。 6月9日 山根宏之 代数学 II 小テスト(5)6月16日実施(廃案) 次の問に答えよ。ただし前回までの授業、小テストなどで与えた定理、公式な どは用いてよい。 問. p, q ∈ Z に対して Ip,q := {h(T )(T − p)(T − q) ∈ Z[T ]|h(T ) ∈ Z[T ]} とおく。 (1) Ip,q が Z[T ] のイデアルであることを示せ。さらに x, y, z, w ∈ Z とするとき (xT + y + Ip,q )(zT + w + Ip,q ) = αT + β + Ip,q となる α, β ∈ Z を x, y, z, w ∈ Z を用いて表せ。 (2) 写像 θ : Z × Z → Z[T ]/Ip,q を θ(x, y) := xT + y + Ip,q (x, y ∈ Z) により定義する。θ が全単射であることを示せ。 (3) η : Z[T ]/Ip,q → Z[T ]/Ia,b が環の同型写像であれば η(T +Ip,q ) = eT +r+Ip,q となる e ∈ {±1}, r ∈ Z が存在し |a − b| = |p − q| であることを示せ。 (4) 環の準同型写像 ζp,q : Z[T ]/Ip,q → Z × Z, ζp,q (xT + y + Ip,q ) := (xp + y, xq + y) (x, y ∈ Z) が存在する事を示せ。さらに p ̸= q であれば ζp,q は単射であることを 示せ。 (5) 2つの環 Imζ0,a と Imζ0,b が同型である為の必要十分条件は |a| = |b| であ ることを示せ。 以下の (6),(7) では次の事実を用いてもよい。 (∗) J を Z の部分集合とする。このとき「J が Z のイデアル ⇐⇒ ∃n ∈ Z≥0 , J = Zn」が成り立つ。ここで Zn := {xn|x ∈ Z} とおいた。 (6) Q が Z × Z の部分環とする。このとき {(y, y)|y ∈ Z} ⊂ Q であって、ある a ∈ Z≥0 が存在して Q = Imζ0,a となる事を示せ。 (7) a ∈ Z≥0 とする。Imζ0,a のイデアルを全て求めよ。 代数学 II 小テスト(5)6月16日実施 R を可換環とし、I を R のイデアルとする。Q を R の部分環とする。I の部 分集合 B が I の Q-基であるとはつぎの (i), (ii) を満たすときにいう。X(B) を B の空でない有限部分集合の集合とする。 ∑ (i) I = ∪X∈X(B) { x∈X ax x|ax ∈ Q(x ∈ X)}, ∑ (ii) 任意の X ∈ X(B) および任意の ax ∈ Q(x ∈ X) が等式 x∈X ax x = 0 を 満たせば ax = 0 (x ∈ X) である。 次の問に答えよ。ただし前回までの授業、小テストなどで与えた定理、公式な どは用いてよい。 問. p, q ∈ Z に対して Ip,q := {h(T )(T − p)(T − q) ∈ Z[T ]|h(T ) ∈ Z[T ]} とおく。 (1) Ip,q が Z[T ] のイデアルであることを示せ。 (2) {T i |i ∈ Z≥0 } が Z[T ] の Z-基であることを用いて {T i (T −p)(T −q)|i ∈ Z≥0 } が Ip,q の Z-基であることを示せ。 (3) {1, T } ∪ {T i (T − p)(T − q)|i ∈ Z≥0 } が Z[T ] の Z-基であることを示せ。 剰余環 Z[T ]/Ip,q の元を [h(T )] (h(T ) ∈ Z[T ]) と書く。 [h(T )] を h(T ) + Ip,q とも書く。 (4) [T ]2 = [(p + q)T − pq] を示せ。 (5) x, y, z, w ∈ Z とするとき [xT + y] · [zT + w] = [αT + β] となる α, β ∈ Z を x, y, z, w ∈ Z を用いて表せ。 (6) x, y, z, w ∈ Z とする。 「[xT + y] = [zT + w] ⇔ x = z かつ y = w」を示せ。 (7) Z[T ] の部分環 {[z]|z ∈ Z} を Z と同一視する。{1, [T ]} が Z[T ]/Ip,q の Z-基 であることを示せ。 代数学 II 小テスト(6)6月30日実施予定(案) R を可換環とし、I を R のイデアルとする。Q を R の部分環とする。I の部分 集合 B が I の Q-基であるとはつぎの (i), (ii) を満たすときにいう。 (i) 任意の x ∈ I に対して有限個の b1 , . . . , bn ∈ I および q1 , . . . , qn ∈ Q で | {z } | {z } n n ∑n x = i=1 qi bi となるものがある。 (ii) 任意の相異なる有限個の b1 , . . . , bn ∈ I (bs ̸= bt (s ̸= t)) にたいして | {z } n ∑n 1 , . . . , qn ∈ Q は q1 = q2 = · · · = qn = 0 に限る。 i=1 qi bi = 0 となる q | {z } n 次の問に答えよ。ただし前回までの授業、小テストなどで与えた定理、公式な どは(常識の範囲で)用いてよい。 問1. R を可換環とし、I を R のイデアルとする。Q を R の部分環とする。 I の部分集合 B = {bi |i ∈ Z≥0 } = {b0 , b1 , b2 , . . .} が I の Q-基であるとする。各 ∑i−1 yij bj i ∈ Z≥0 に対して ci ∈ I をある yij ∈ Q (j ∈ J0,i−1 ) があって ci = bi + j=0 となっているものとする。C = {ci |i ∈ Z≥0 } が I の Q-基であることを示せ。 問2. p, q ∈ Z に対して Z 上の 1 変数多項式環 Z[T ] のイデアル Ip,q を Ip,q := {h(T )(T − p)(T − q) ∈ Z[T ]|h(T ) ∈ Z[T ]} によって定義する。剰余環 Z[T ]/Ip,q の元を [h(T )] (h(T ) ∈ Z[T ]) と書く。[h(T )] を h(T ) + Ip,q とも書く。 (1) {T i |i ∈ Z≥0 } が Z[T ] の Z-基であることを用いて {1, T } ∪ {T i (T − p)(T − q)|i ∈ Z≥0 } が Z[T ] の Z-基であることを示せ。 (2) x, y, z, w ∈ Z とする。 「[xT + y] = [zT + w] ⇔ x = z かつ y = w」を示せ。 (3) x, y, z, w ∈ Z とするとき [xT + y] · [zT + w] = [αT + β] となる α, β ∈ Z を x, y, z, w ∈ Z を用いて表せ。 (4) Z[T ]/Ip,q の部分環 {[z]|z ∈ Z} を Z と同一視する。{1, [T ]} が Z[T ]/Ip,q の Z-基であることを示せ。 (5) 写像 η : Z[T ]/Ip,q → Z[T ]/Ia,b が環の同型写像であれば η(T + Ip,q ) = eT + r + Ia,b となる e ∈ {±1}, r ∈ Z が存在し |a − b| = |p − q| であることを示 せ。また逆にこの条件をみたす環の同型写像 η が存在することを示せ。 6 月 18 日 山根宏之 代数学 II 小テスト(6)6月30日(月)3限 実施 R を可換環とし、I を R のイデアルとする。Q を R の部分環とする。I の部分 集合 B が I の Q-基であるとはつぎの (i), (ii) を満たすときにいう。 (i) 任意の x ∈ I に対して有限個の b1 , . . . , bn ∈ B および q1 , . . . , qn ∈ Q で | {z } | {z } n n ∑n x = i=1 qi bi となるものがある。 (ii) 任意の相異なる有限個の b1 , . . . , bn ∈ B (bs ̸= bt (s ̸= t)) にたいして | {z } n ∑n 1 , . . . , qn ∈ Q は q1 = q2 = · · · = qn = 0 に限る。 i=1 qi bi = 0 となる q | {z } n 次の問に答えよ。ただし前回までの授業、小テストなどで与えた定理、公式な どは(常識の範囲で)用いてよい。 問1. R を可換環とし、I を R のイデアルとする。Q を R の部分環とする。 I の部分集合 B = {bi |i ∈ Z≥0 } = {b0 , b1 , b2 , . . .} が I の Q-基であるとする。各 ∑i−1 yij bj i ∈ Z≥0 に対して ci ∈ I をある yij ∈ Q (j ∈ J0,i−1 ) があって ci = bi + j=0 となっているものとする。C = {ci |i ∈ Z≥0 } が I の Q-基であることを示せ。 問2. p, q ∈ Z に対して Z 上の 1 変数多項式環 Z[T ] のイデアル Ip,q を Ip,q := {h(T )(T − p)(T − q) ∈ Z[T ]|h(T ) ∈ Z[T ]} によって定義する。剰余環 Z[T ]/Ip,q の元を [h(T )] (h(T ) ∈ Z[T ]) と書く。[h(T )] を h(T ) + Ip,q とも書く。 (1) {T i |i ∈ Z≥0 } が Z[T ] の Z-基であることを用いて {1, T } ∪ {T i (T − p)(T − q)|i ∈ Z≥0 } が Z[T ] の Z-基であることを示せ。 (2) Z[T ]/Ip,q の部分環 {[z]|z ∈ Z} を Z と同一視する。{1, [T ]} が Z[T ]/Ip,q の Z-基であることを示せ。 (3) x, y, z, w ∈ Z とするとき [xT + y] · [zT + w] = [αT + β] となる α, β ∈ Z を x, y, z, w ∈ Z を用いて表せ。ここで · は環 Z[T ]/Ip,q の積を表 わす。 (4) 写像 η : Z[T ]/Ip,q → Z[T ]/Ia,b が環の全射準同型写像であれば ∃e ∈ {±1}, ∃r ∈ Z, η(T + Ip,q ) = eT + r + Ia,b , |a − b| = |p − q| であることを示せ。また逆にこの条件をみたす環の同型写像 η が存在することを 示せ。 代数学 II 小テスト(7)7月7日(月)3限 実施予定(案) 可換環 R が整域であるとは ∀x, ∀y ∈ R \ {0}, xy ̸= 0 をみたすときに言う。 次の問に答えよ。ただし前回までの授業、小テストなどで与えた定理、公式な どは(常識の範囲で)用いてよい。前回の小テスト(6)の問1は用いてよい。 問1. a, b ∈ Z とする。Z 上の 1 変数多項式環 Z[T ] のイデアル Ja,b を Ja,b := {h(T )(T 2 + aT + b) ∈ Z[T ]|h(T ) ∈ Z[T ]} によって定義する。剰余環 Z[T ]/Ja,b の元を [h(T )] (h(T ) ∈ Z[T ]) と書く。[h(T )] を h(T ) + Ja,b とも書く。 (1) Z[T ]/Ja,b の部分環 {[z]|z ∈ Z} を Z と同一視する。{1, [T ]} が Z[T ]/Ja,b の Z-基であることを示せ。 (2) x, y, z, w ∈ Z とするとき [xT + y] · [zT + w] = [αT + β] となる α, β ∈ Z を x, y, z, w ∈ Z を用いて表せ。さらに [ ][ ] [ ] [ ] A B z Az + Bw α (= )= C D w Cz + Dw β となる A, B, C, D ∈ Z を x, y ∈ Z を用いて表せ。 (3) a2 − 4b < 0 であるとき Z[T ]/Ja,b は整域であることを示せ。 問2. 極大イデアルおよび素イデアルの定義を述べよ。 7月1日 山根宏之 代数学 II 小テスト(6)6月30日(月)3限 実施 解答 問1. (i) について。 「(∗)∀i ∈ Z≥0 , ∃zij ∈ Q (j ∈ J0,i−1 ) bi = ci + ∑i−1 j=0 zij cj 」が成 ∑i−1 り立つ。 (なぜなら:b0 = c0 が成り立つ。i ≥ 1 のとき帰納法より bi = ci − j=0 yij bj = ∑i−1 ∑i−1 ∑j−1 ci + j=0 (−yij )bj = ci + j=0 (−yij )(cj + k=0 zjk ck ) ∑i−1 ∑i−1 ∑j−1 = ci + j=0 (−yij )cj + j=0 k=0 (−yij )zjk ck が成り立つ。このことより (∗) が成り立 つ。)(∗) より C は基の公理 (i) をみたす事がわかる。 ∑ n (ii) について。n ∈ N とする。qi ∈ Q (i ∈ J0,n )を i=0 qi ci = 0 となるものとす ∑n ∑n ∑i−1 ∑n−1 ∑n−1 ∑i−1 る。 i=0 qi ci = yij bj ) = qn bn + i=0 qi bi + i=0 qi j=0 yij bj i=0 qi (bi + ∑n−1 j=0 ∑n より qn = 0 が成り立つ。 i=0 qi ci = i=0 qi ci = 0 であるので帰納法より qi = 0 (i ∈ J0,n−1 ) が成り立つ。このことより C は基の公理 (ii) をみたす。 問2. (1) 問1より明らか。 (2) B := {1, [T ]} とおく。i ∈ J2,∞ のとき [T i ] = [T i − T i−2 (T − p)(T − q)] = [(p + q)T i−1 − pqT i−2 ] = (p + q)[T i−1 ] − pq[T i−2 ] であるので B は基の公理 (i) をみた す。x, y ∈ Z を x · 1 + y[T ] = 0 となるものとする。[x + yT ] = x · 1 + y[T ] = 0 = [0] よ り x + yT ∈ Ip,q である。(1) より {T i (T − p)(T − q)|i ∈∑ Z≥0 } は Ip,q の Z-基である。し n i たがってある n ∈ Z≥0 と a ∈ Z (i ∈ J ) で x + yT = 0,n i=0 ai T (T − p)(T − q) となる ∑ni i ものがある。x + yT + i=0 (−ai )T (T − p)(T − q) = 0 であるので (1) より x = y = 0 (および ai = 0 (i ∈ J0,n ) )が成り立つ。したがって B は基の公理 (ii) をみたす。した がって B は Z[T ]/Ip,q の Z-基である。 (3) [xT + y] · [zT + w] = [(xT + y)(zT + w)] = [xzT 2 + (xw + yz)T + yw] = [xzT 2 + (xw+yz)T +yw−xz(T −p)(T −q)] = [xzT 2 +(xw+yz)T +yw−xz(T 2 −(p+q)T +pq)] = [(xw+yz +pxz +qxz)T +(yw−xzpq)] である。α := xw+yz +pxz +qxz, β := yw−xzpq とおけばよい。 (4) (2) より η(T + Ip,q ) = eT + r + Ia,b となる e, r ∈ Z がある。η(mT + n + Ip,q ) = m(eT +r)+n+Ia,b = meT +(mr+n)+Ia,b (m, n ∈ Z) より Imη = {meT +n+Ia,b |m, n ∈ Z} が成り立つ。η は全射であるので (2) より Imη = {mT + n + Ia,b |m, n ∈ Z} でなけ ればならない。(2) より e ∈ {±1} でなければならない。0 + Ia,b = η(0 + Ip,q ) = η((T − p)(T − q) + Ip,q ) = η(T − p + Ip,q )η(T − q + Ip,q ) = (eT + r − p + Ia,b )(eT + r − q + Ia,b ) = (eT + r − p)(eT + r − q) + Ia,b = T 2 + e((r − p) + (r − q))T + (r − p)(r − q) + Ia,b = T 2 + e((r − p) + (r − q))T + (r − p)(r − q) − (T − a)(T − b) + Ia,b = (e((r − p) + (r − q)) + (a + b))T + ((r − p)(r − q) − ab) + Ia,b が成り立つ。(2) より e(p − r) + e(q − r) = a + b, e(p − r) · e(q − r) = ab が成り立つ。従って a = e(p − r), b = e(q − r) または a = e(q − r), b = e(p − r) が成り立つ。従って |a − b| = |p − q| が成り立つ。 |a−b| = |p−q| が成り立つとする。このとき e ∈ {±1} と r ∈ Z が存在して a = e(p−r), b = e(q − r) が成り立つ。Z[T ]/Ia,b は可換環であるので小テスト(4)問より環の準同 型写像 µ : Z[T ] → Z[T ]/Ia,b で µ(T ) = eT + r + Ia,b となるものが存在する。このとき 任意の i ∈ Z≥0 にたいして µ(T i (T − p)(T − q)) = (eT + r)i (eT + r − p)(eT + r − q) + Ia,b = (eT + r)i (eT − ea)(eT − eb) + Ia,b = (eT + r)i (T − a)(T − b) + Ia,b = 0 + Ia,b が成り立つ。したがって Ip,q ⊂ ker µ が成り立つ。授業の補題 L 7より環の準同型写 像 η : Z[T ]/Ip,q → Z[T ]/Ia,b で η(T + Ip,q ) = eT + r + Ia,b となるものが存在する。 η(mT + n + Ip,q ) = m(eT + r) + n + Ia,b = meT + (mr + n) + Ia,b (m, n ∈ Z) が成り 立つ。(2) より η が全単射であることが分かる。 代数学 II 小テスト(7)7月7日(月)3限 実施 可換環 R が整域であるとは ∀x, ∀y ∈ R \ {0}, xy ̸= 0 をみたすときに言う。 次の問に答えよ。ただし前回までの授業、小テストなどで与えた定理、公式な どは(常識の範囲で)用いてよい。前回の小テスト(6)の問1は用いてよい。 問1. a, b ∈ Z とする。Z 上の 1 変数多項式環 Z[T ] のイデアル Ja,b を Ja,b := {h(T )(T 2 + aT + b) ∈ Z[T ]|h(T ) ∈ Z[T ]} によって定義する。剰余環 Z[T ]/Ja,b の元を [h(T )] (h(T ) ∈ Z[T ]) と書く。[h(T )] を h(T ) + Ja,b とも書く。 (1) Z[T ]/Ja,b の部分環 {[z]|z ∈ Z} を Z と同一視する。{1, [T ]} が Z[T ]/Ja,b の Z-基であることを示せ。 (2) x, y, z, w, α, β ∈ Z、 [xT + y] · [zT + w] = [αT + β] としたとき [ ][ ] [ ] [ ] A B z Az + Bw α (= )= C D w Cz + Dw β となる A, B, C, D ∈ Z を x, y ∈ Z を用いて表せ。 (3) a2 − 4b < 0 であるとき Z[T ]/Ja,b は整域であることを示せ。 問2. 可換環のイデアル、極大イデアルおよび素イデアルの定義を述べよ。 代数学 II 小テスト(8)7月14日(月)3限 実施予定(案) R を可換環とする。R がユークリッド整域であるとは次の (E1), (E2) をみた す写像 φ : R → Z が存在するときにいう。 (E1) ∀a ∈ R \ {0}, φ(a) > φ(0). (E2) ∀b ∈ R, ∀a ∈ R \ {0}, ∃q, ∃r ∈ R, b = aq + r, φ(r) < φ(a). 問1. R を可換環とし I を I ̸= R となる R のイデアルとする。 (1) I が素イデアルであるための必要十分条件は R/I が整域である事を示せ。 (2) I が極大イデアルであるための必要十分条件は R/I が体である事を示せ。 問2. (1) 単項イデアル整域の定義を書け。 (2) ユークリッド整域ならば単項イデアル整域であることを示せ。 問3. Z 上の一変数多項式環 Z[T ] は単項イデアル整域ではないことを示せ。 (ヒント:{f (T )T + 2x|f (T ) ∈ Z[T ], x ∈ Z} を考察せよ。) 前回の代数学 II 小テスト(7)では何故か T 2 + aT + b を (T − p)(T − q) ま たは (T − a)(T − b) と読み替えている答案が続出している。また Z[T ]/Ja,b の任 意の元が h(T ) + h(T )(T 2 + aT + b) であるとして解答している答案も続出して いる。大変ショックを受けている。 こんなことでは大学の卒業生とし て社会に送り出す事は出来ない。 しっかりと問題文を読むように! わからなければ聞きに来るように! 7月9日 山根宏之 代数学 II 小テスト(7)7月7日(月)3限 実施 解答 問1. (1) 小テスト(6)問1より次の (∗1), (∗2) がわかる。 (∗1) {1, T } ∪ {T i (T 2 + aT ; B)|i ∈ Z≥0 } は Z[T ] の Z-基である。 (∗2) {T i (T 2 + aT + b)|i ∈ Z≥0 } は Ja,b の Z-基である。 B := {1, [T ]} とおく。i ∈ J2,∞ のとき [T i ] = [T i −T i−2 (T +aT +b)] = [−aT i−1 − bT i−2 ] = −a[T i−1 ] − b[T i−2 ] であるので Z[T ]/Ja,b = {x[T ] + y|x, y ∈ Z} である。 x, y ∈ Z を x · 1 + y[T ] = 0 となるものとする。[x + yT ] = x · 1 + y[T ] = 0 = [0] よ り x+yT ∈ Ja,b である。(∗2) よりある n ∈ Z≥0 と ai ∈ Z (0 ≤ i ≤ n) で x+yT = ∑n ∑n i 2 i 2 i=0 ai T (T +aT +b) となるものがある。x+yT + i=0 (−ai )T (T +aT +b) = 0 であるので (∗1) より x = y = 0(および ai = 0 (0 ≤ i ≤ n) )が成り立つ。した がって B は Z[T ]/Ja,b の Z-基である。 (2) [xT + y] · [zT + w] = [(xT + y)(zT + w)] = [xzT 2 + (xw + yz)T + yw] = [xzT 2 +(xw +yz)T +yw −xz(T 2 +aT +b)] = [(xw +yz −axz)T +(yw −bxz)] = [((y − ax)z + xw)T + ((−bx)z + yw)] である。したがって A = y − ax, B = x, C = −bx, D = y である。 (3) (1) より Z[T ]/Ja,b の任意の元は [nT +m] (m, n ∈ Z) と書ける。x, y,[z, w ∈ ]Z z を [zT + w] ̸= 0 かつ [xT + y] · [zT + w] = 0 となるものとする。(1) より ̸= w [ ] [ ] [ ] [ ] y − ax x z 0 0 が成り立つ。P := とおく。(1), (2) より P = −bx y w 0 0 [ ] 0 } より P は正則行列ではない。ゆえに det P = 0 で が成り立つ。ker P ̸= { 0 1 2 2 2 ある。det P = (y − ax)y − (−bx)x = y 2 − axy + bx2 = (y − ax 2 ) + 4 (4b − a )x 2 および 4b − a > 0 より x = y = 0 である。ゆえに [xT + y] = 0 である。した がって Z[T ]/Ja,b は整域である。 代数学 II 小テスト(8)7月14日(月)3限 実施 R を可換環とする。R がユークリッド整域であるとは次の (E1), (E2) をみた す写像 φ : R → Z が存在するときにいう。 (E1) ∀a ∈ R \ {0}, φ(a) > φ(0). (E2) ∀b ∈ R, ∀a ∈ R \ {0}, ∃q, ∃r ∈ R, b = aq + r, φ(r) < φ(a). 問1. R を可換環とし I を I ̸= R となる R のイデアルとする。 (1) I が素イデアルであるための必要十分条件は R/I が整域である事を示せ。 (2) I が極大イデアルであるための必要十分条件は R/I が体である事を示せ。 問2. (1) 単項イデアル整域の定義を書け。 (2) ユークリッド整域ならば単項イデアル整域であることを示せ。 ∑ 問3. Z[T ] を Z 上の一変数多項式環とする。f (T ) = ni=0 ai T i ∈ Z[T ] (ai ∈ ∑n Z), z ∈ C に対して f (z) := i=0 ai z i ∈ C と定義する。ω ∈ C を ω 2 + ω + 1 = 0 となるものとする。 (1) Z[T ] は単項イデアル整域ではないことを示せ。 (2) 環の準同型写像 α : Z[T ]/Z[T ](T 3 −1) → C, α(h(T )+Z[T ](T 3 −1)) := h(ω) (h(T ) ∈ Z[T ]), が存在する事を示せ。 (3) 環の準同型写像 β : Z[T ]/Z[T ](T 3 −1) → C×C, β(h(T )+Z[T ](T 3 −1)) := (h(1), h(ω)) (h(T ) ∈ Z[T ]), は単射か? 問3 (1) の解答:I := {h(T )T + 2x∑∈ Z[T ]|h(T ) ∈ Z[T ], x ∈ Z} とおく。I は Z[T ] のイデアルである。I = {2x + ni=1 yi T i |x ∈ Z, n ∈ N, xi ∈ Z (yi ∈ Z)} より I ∩ Z = {2x|x ∈ Z} が成り立つ。Z[T ] が単項イデアル整域であるとする。 I = Z[T ]a(T ) となる a(T ) ∈ Z[T ] が存在する。2 ∈ I より 2 = b(T )a(T ) とな る b(T ) ∈ Z[T ] が存在する。ゆえに a(T ) ∈ {2, −2} である。しかし T ∈ I より T = c(T )a(T ) となる c(T ) ∈ Z[T ] が存在する。これは矛盾である。したがって Z[T ] が単項イデアル整域ではない。 問3 (2) の解答:C が可換環であるので環の準同型写像 A : Z[T ] → C, A(h(T )) := h(ω), が存在する。A(T 3 − 1) = ω 3 − 1 = (ω − 1)(ω 2 + ω + 1) = (ω − 1) · 0 = 0 より Z[T ](T 3 − 1) ⊂ ker A が成り立つ。従って題意の準同型写像 α が存在する。 問3 (3) の解答: (C × C が可換環であるので環の準同型写像 B : Z[T ] → C × C, B(h(T )) := (h(1), h(ω)), が存在する。B(T 3 − 1) = (13 − 1, ω 3 − 1) = (0, 0) = 0C×C より Z[T ](T 3 − 1) ⊂ ker B が成り立つ。従って題意の準同型写像 β が存在す る。)Z[T ]/Z[T ](T 3 −1) = {[aT 2 +bT +c] ∈ Z[T ]/Z[T ](T 3 −1)|a, b, c ∈ Z} が成り 立つ(なぜなら i ∈ J3,∞ のとき [T i ] = [T i − T i−3 (T 3 − 1)] = [T i−3 ])。a, b, c ∈ Z を [aT 2 + bT + c] ∈ ker β となるものとする。(0, 0) = β([aT 2 + bT + c]) = (a + b + c, aω 2 + bω + c) より a + b + c = 0, aω 2 + bω + c = 0 が成り立つ。 0 = aω 2 + bω + c = a(−ω − 1) + bω + c = (−a + b)ω + (−a + c) より a = b, a = c がなりたつ。a + b + c = 0 より a = b = c = 0 が成り立つ。ゆえに [aT 2 + bT + c] = [0]。ゆえに ker β = {[0]} が成り立つ。従って β は単射である。 代数学 II 小テスト(9)7月19日(土)5限 実施予定(案) 問1. R を単項イデアル整域とする。 (1) x ∈ R \ {0} とする。次の (i),(ii),(iii) は同値であることを示せ。(i) x は素 元。(ii) Rx は素イデアル。(iii) Rx は極大イデアル。 (2) R のイデアル In (n ∈ N) を In ⊂ In+1 (n ∈ N) をみたすものとする。この とき「∃m ∈ N, ∀k ≥ m, Ik = Im 」を示せ。 (3) R のイデアル I が R ̸= I となるものであれば I を含む R の極大イデアル が存在する事を示せ。 問2. Z[T ] を Z 上の一変数多項式環とする。a, b ∈ Z を a ̸= b となるものと し、Ia,b := Z[T ](T − a)(T − b) とする。 (1) 環の単射準同型写像 γa,b : Z[T ]/Ia,b → Z × Z で γa,b (f (T ) + Ia,b ) = (f (a), f (b)) (f (T ) ∈ Z[T ]) となるものが存在する事を示せ。 (2) a, b, p, q ∈ Z を a ̸= b, p ̸= q となるものとする。Imγa,b = Imγp,q となる a, b, p, q の必要十分条件を求めよ。 7月16日 山根宏之 ホームページ: [富山大学理学部数学科] → [数学科教員紹介] → [山根宏之] → [TOYAMA2014ALGII.pdf] 代数学 II 小テスト(9)7月19日(土)5限 実施 問1. R を単項イデアル整域とする。x ∈ R \ {0} とする。 (1) 次の (i),(ii),(iii) は同値であることを示せ。(i) x は素元。(ii) Rx は素イデ アル。(iii) Rx は極大イデアル。 (2) R のイデアル In (n ∈ N) を In ⊂ In+1 (n ∈ N) をみたすものとする。この とき「∃m ∈ N, ∀k ≥ m, Ik = Im 」を示せ。 (3) R のイデアル I が R ̸= I となるものであれば I を含む R の極大イデアル が存在する事を示せ。 問2. Z[T ] を Z 上の一変数多項式環とする。a, b ∈ Z を a ̸= b となるものと し、Ia,b := Z[T ](T − a)(T − b) とする。 (1) 環の単射準同型写像 γa,b : Z[T ]/Ia,b → Z × Z で γa,b (f (T ) + Ia,b ) = (f (a), f (b)) (f (T ) ∈ Z[T ]) となるものが存在する事を示せ。 (2) a, b, p, q ∈ Z を a ̸= b, p ̸= q となるものとする。Imγa,b = Imγp,q となる a, b, p, q の必要十分条件を求めよ。 (3) Z のイデアル P を P := {7n|n ∈ Z} により定義する。Z[T ] から Z/P の環の準同型写像の個数、Z[T ]/Z[T ](T 3 − 1) から Z/P の環の準同型写像の個 数、Z[T ]/Z[T ](T 2 + T + 1) から Z/P の環の準同型写像の個数、Z[T ]/{h(T )T + 2g(T )|h(T ), g(T ) ∈ Z[T ]} から Z/P の環の準同型写像の個数、Z[T ]/{h(T )(T 2 + T + 1) + 14g(T )|h(T ), g(T ) ∈ Z[T ]} から Z/P の環の準同型写像の個数を求めよ。 最近の小テストでは代数学 II の内容を理解してきていると思わせる点数をとる 学生が増えてきた。この調子で自分自身でとことん考えていると思わせる文章を 書くことを望む。記号の使い方がおかしいと第一印象が悪いので気を付ける事! 解答:R を可換環とする。R のイデアル I, J に対して I + J := {x + y|x ∈ I, y ∈ J} とおく。I + J は R のイデアルである。R ̸= {0} と仮定する。U (R) := {a ∈ R|∃b ∈ R, ab = 1} とおく。U (R) の元を正則元または可逆元という。x ∈ R が素元であるとは「x ∈ R \ (U (R) ∪ {0})」かつ「a, b ∈ R, x = ab ⇒ a ∈ U (R) または b ∈ U (R)」をみたすときにいう。R のイデアル I が素イデアルであると は「I ( R」かつ「ab ∈ I ⇒ a ∈ I または b ∈ I 」をみたすときにいう。R のイ デアル I が極大イデアルであるとは「I ( R」かつ「R のイデアル J が I ⊂ J を みたせば J = I または J = R」をみたすときにいう。 つぎの命題Aは重要である。 命題A R, S を可換環とする。α : R → S を環の準同型写像とする。I を R の イデアルを I ⊂ ker α となるものとする。このとき環の準同型写像 β : R/I → S 26 で β(x + I) = α(x) (x ∈ I) となるものが一意的に存在する。 証明:x, y ∈ I を剰余環 R/I の元として x + I = y + I ∈ R/I なるものとす る。R/I の元の定義より y − x ∈ I である。z := y − x ∈ I とおく。このとき α(y) = α(x + z) = α(x) + α(z) = α(x) + 0 = α(x) が成り立つ。このことよ り写像 β : R/I → S で β(x + I) = α(x) (x ∈ I) となるものが存在する(これ を β の well-defined 性という)。β(1R/I ) = β(1R + I) = α(1R ) = 1S が成り立 つ。x, y ∈ R にたいして β((x + I) + (y + I)) = β((x + y) + I) = α(x + y) = α(x) + α(y) = β(x + I) + β(y + I) および β((x + I)(y + I)) = β(xy + I) = α(xy) = α(x)α(y) = β(x + I)β(y + I) が成り立つ。したがって β は環の準同型 写像である。β の存在の一意性は明らかである。 2 問1.(1) (i) ⇒ (iii): x ∈ / U (R) より Rx ( R が成り立つ。R のイデアル J が Rx ⊂ J をみたすものとする。y ∈ R を J = Ry をみたすものとする。a ∈ R を x = ay をみたすものとする。a ∈ U (R) ならば Rx = Ray = Ry が成り立つ。 y ∈ U (R) ならば Ry = R が成り立つ。ゆえに Rx は極大イデアルである。 (iii) ⇒ (ii): a, b ∈ R を ab ∈ Rx をみたすものとする。a ∈ / Rx と仮定する。 Rx ( Ra + Rx が成り立つ。Rx は極大イデアルだから R = Ra + Rx が成り立つ。 v, w ∈ R を 1 = va + wx をみたすものとする。b = vab + wbx = (v + wb)x ∈ Rx が成り立つ。したがって Rx は素イデアルである。 (ii) ⇒ (i): Rx ( R より x ∈ / U (R) が成り立つ。a, b ∈ R を x = ab をみたすも のとする。a ∈ Rx とする。y ∈ R を a = yx をみたすものとする。x = ybx より (1 − yb)x = 0 が成り立つ。x ̸= 0 より R は整域だから yb = 1 が成り立つ。ゆえ に b ∈ U (R) が成り立つ。したがって x は素元である。 ∞ ∪ (2) L := In とおく。x ∈ R を L = Rx となるものとする。m ∈ N を x ∈ Im n=1 となるものとする。k ≥ m のとき L = Rx ⊂ Im ⊂ Ik ⊂ L より Ik = Im が成り 立つ。 (3) I を含む極大イデアルが存在しないと仮定する。このときイデアル In (n ∈ N) で I1 = I, In ( In+1 ( R となるものがとれる。これは (2) に矛盾する。 (選択公 理との関係について:X を R のイデアルの集合とする。X ′ を R の極大イデアル の集合とする。X ′′ := X \ (X ′ ∪ {R}) とする。各 H ∈ X ′′ に対して AH を R の イデアル G で H ( G ( R となるものの集合とする。X ′′ が空集合でないと仮定 する。選択公理より各 H ∈ X ′′ に対して IH ∈ AH がとれる。言い換えると、写 像 f : X ′′ → ∪H∈X ′′ AH で f (H) ∈ AH (H ∈ X ′′ ) となるものが存在する。R の イデアル I で I ( R かつ I を含む極大イデアルが存在しないものがあると仮定 する。R のイデアル In (n ∈ N) を I1 := I, In := (f ◦ · · · ◦ f )(I) (n ∈ J2,∞ ) で定 | {z } n−1 義する。このとき I1 = I, In ( In+1 ( R (n ∈ N) が成り立つ。) 次の事実「 」は明らかとしてよい。「R を環とする。このとき環の準同型写 像 f : Z → R がただ一つ存在する。」 27 問2.(1) (小テスト(4)問より)環の準同型写像 α : Z[T ] → Z × Z で α(T ) = (a, b) となるものが存在する。h(T )(T − a)(T − b) ∈ Ia,b (h(T ) ∈ Z[T ]) に対して α(h(T )(T − a)(T − b)) = (h(a)(a − a)(a − b), h(b)(b − a)(b − b)) = (0, 0) が成り立つ。ゆえに Ia,b ⊂ ker α である。したがって(上の命題Aより)題意の 環の準同型写像 γa,b が存在する。 (2) i ∈ J2,∞ のとき T i + Ia,b =(T i − T i−2 (T − a)(T − b)) + Ia,b = ((a + b)T i−1 − abT i−2 ) + Ia,b が成り立つ。ゆえに Z[T ]/Ia,b = {(mT + n) + Ia,b |m, n ∈ Z} が成り立つ。したがって Imγa,b = {(ma + n, mb + n)|m, n ∈ Z} が成り立つ。 {(ma + n, mb + n)|m, n ∈ Z} = {(k, m(b − a) + k)|m, k ∈ Z} が成り立つ(この 等式は簡単にわかる)。よって答えは |a − b| = |p − q| である。 (3) 可換環 Z/P の元は [0], [1], [2], [3], [4], [5], [6] の7個である。したがって Z[T ] から Z/P の環の準同型写像は αn : Z[T ] → Z/P , αn (T ) = [n] (詳しくは αn (h(T )) = [h(n)]), (n ∈ J0,6 ) であり、その個数は7である。 (この下の解答について:H を Z[T ] のイデアルとしたとき写像 πH : Z[T ] → Z[T ]/H, πH (h(T )) := h(T ) + H (h(T ) ∈ Z[T ]), は環の準同型写像である。 γ : Z[T ]/H → Z/P が環の準同型写像であれば合成写像 γ ◦ πH : Z[T ] → Z/P は 環の準同型写像であり H ⊂ ker(γ ◦ πH ) が成り立つ。とくに αn = γ ◦ πH とな る n ∈ J0,6 が存在する。逆にある k ∈ J0,6 があって αk が H ⊂ ker αk をみたせ ば上の命題Aより環の準同型写像 β : Z[T ]/H → Z/P , β(h(T ) + H) = αk (h(T )) (h(T ) ∈ Z[T ]), が存在する。) α0 (T 3 −1) = [0−1] = [6] ̸= [0], α1 (T 3 −1) = [1−1] = [0], α2 (T 3 −1) = [8−1] = [7] = [0], α3 (T 3 − 1) = [27 − 1] = [26] = [5] ̸= [0], α4 (T 3 − 1) = [64 − 1] = [63] = [0], α5 (T 3 − 1) = [53 − 1] = [(−2)3 − 1] = [−9] = [−2] = [5] ̸= [0], α6 (T 3 − 1) = [63 − 1] = [(−1)3 − 1] = [−2] = [5] ̸= [0] である。したがって Z[T ]/Z[T ](T 3 − 1) から Z/P の環の準同型写像の個数は3である。α0 (T 2 + T + 1) = [1] ̸= [0], α1 (T 2 + T + 1) = [3] ̸= [0], α2 (T 2 + T + 1) = [7] = [0], α3 (T 2 + T + 1) = [13] = [6] ̸= [0], α4 (T 2 + T + 1) = [21] = [0], α5 (T 2 + T + 1) = [31] = [3] ̸= [0], α6 (T 2 + T + 1) = [43] = [1] ̸= [0] である。したがって Z[T ]/Z[T ](T 2 + T + 1) か ら Z/P の環の準同型写像の個数は2である。L := {h(T )T + 2g(T )|h(T ), g(T ) ∈ Z[T ]} とおく。全ての n ∈ J0,6 に対して αn (2) = [2] ̸= [0] であるので L ( ker αn である。したがって Z[T ]/L から Z/P の環の準同型写像の個数は0である。K := {h(T )(T 2 + T + 1) + 14g(T )|h(T ), g(T ) ∈ Z[T ]} とおく。全ての n ∈ J0,6 に対し て αn (14) = [14] = [0] である。Z[T ]/Z[T ](T 2 + T + 1) から Z/P の環の準同型写 像の個数は2であるので Z[T ]/K から Z/P の環の準同型写像の個数も2である。 代数学 II 小テスト(10)7月28日(月)3限 実施予定(案) 可換環 R と R の元 a ∈ R に対して Ra := {xa|x ∈ R} とおく。Ra を aR とも 書く。Z[T ] を Z 上の一変数多項式環とする。 問1. R を単項イデアル整域とする。x ∈ R \ {0} とする。 (1) 「Rx = R ⇐⇒ ∃y ∈ R, xy = 1」を示せ。 (2) 次の (i), (ii), (iii) は同値であることを示せ。(i) x は素元。(ii) Rx は素イ デアル。(iii) Rx は極大イデアル。 (3) R のイデアル In (n ∈ N) を In ⊂ In+1 (n ∈ N) をみたすものとする。この とき「∃m ∈ N, ∀k ≥ m, Ik = Im 」を示せ。 (4) R のイデアル I が I ( R となるものであれば I を含む R の極大イデアル が存在する事を示せ。(厳密には選択公理を必要とするがそこまで述べなくても 構わない。) (5) y ∈ R を Ry ( R をみたすものとする。z ∈ R を x = yz をみたすものとす る。このとき Rx ( Rz を示せ。 (6) Rx ( R と仮定する。このとき有限個の R の素元 y1 , . . . , yn と R の正則元 z があって x = y1 · · · yn z が成り立つことを示せ。(ヒント:Ry1 を Rx を含む極 大イデアルとせよ。) 問2. Z[T ] から Z/7Z の環の準同型写像の個数、Z[T ]/Z[T ](T 3 − 1) から Z/7Z の環の準同型写像の個数、Z[T ]/Z[T ](T 2 + T + 1) から Z/11Z の環の準同型写像 の個数、Z[T ]/{h(T )(T 2 − 1) + 8g(T )|h(T ), g(T ) ∈ Z[T ]} から Z/4Z の環の準同 型写像の個数、Z[T ]/{h(T )(T 2 + T + 1) + g(T )(T 2 + 2T − 1)|h(T ), g(T ) ∈ Z[T ]} から Z/13Z の環の準同型写像の個数を求めよ。 問3. a, b, p, q ∈ Z を a − b = p − q ̸= 0 となるものとする。このとき Z[T ]/Z[T ](T − a)(T − b) と Z[T ]/Z[T ](T − p)(T − q) は環として同型であるこ とを示せ。(ヒント:k := p − a = q − b とおく。環の準同型写像 α : Z[T ] → Z[T ]/Z[T ](T − p)(T − q), α(T ) := [T − k], を用いよ。) 代数学 II 小テスト(10)7月28日(月)3限 実施 可換環 R に対して U (R) := {x ∈ R|∃y ∈ R, xy = 1} とおく。可換環 R と R の元 a ∈ R に対して Ra := {xa|x ∈ R} とおく。Ra を aR とも書く。Z[T ] を Z 上の一変数多項式環とする。 問1. R を単項イデアル整域とする。x ∈ R \ {0} とする。 (1) y ∈ R とする。「Rx = Ry ⇐⇒ ∃a ∈ U (R), y = ax」を示せ。 (2) 次の (i), (ii), (iii) は同値であることを示せ。(i) x は素元。(ii) Rx は素イ デアル。(iii) Rx は極大イデアル。 (3) R のイデアル In (n ∈ N) を In ⊂ In+1 (n ∈ N) をみたすものとする。この とき「∃m ∈ N, ∀k ≥ m, Ik = Im 」を示せ。 (4) R のイデアル I が I ( R となるものであれば I を含む R の極大イデアル が存在する事を示せ。(厳密には選択公理を必要とするがそこまで述べなくても 構わない。) (5) y ∈ R を Ry ( R をみたすものとする。z ∈ R を x = yz をみたすものとす る。このとき Rx ( Rz を示せ。 (6) Rx ( R と仮定する。このとき x = y1 · · · yn z となる有限個の R の素元 y1 , . . . , yn と z ∈ U (R) が存在することを示せ。(ヒント:Ry1 を Rx を含む極大 イデアルとせよ。) (7) v ∈ R, a ∈ U (R), 有限個の R の素元 y1 , . . . , yn , w が y1 · · · yn a = wv をみ たすとき、w = byi となる i ∈ J1,n と b ∈ U (R) が存在することを示せ。 問2. Z[T ] から Z/7Z の環の準同型写像の個数、Z[T ]/Z[T ](T 3 − 1) から Z/7Z の環の準同型写像の個数、Z[T ]/Z[T ](T 2 + T + 1) から Z/13Z の環の準同型写像 の個数、Z[T ]/{h(T )(T 2 − 1) + 8g(T )|h(T ), g(T ) ∈ Z[T ]} から Z/4Z の環の準同 型写像の個数、Z[T ]/{h(T )(T 2 + T + 1) + g(T )(T 2 + 2T − 1)|h(T ), g(T ) ∈ Z[T ]} から Z/7Z の環の準同型写像の個数を求めよ。 問3. a, b, p, q ∈ Z を a − b = p − q ̸= 0 となるものとする。このとき Z[T ]/Z[T ](T − a)(T − b) と Z[T ]/Z[T ](T − p)(T − q) は環として同型であるこ とを示せ。(ヒント:k := p − a = q − b とおく。環の準同型写像 α : Z[T ] → Z[T ]/Z[T ](T − p)(T − q), α(T ) := [T − k], を用いよ。) 30 解答: 問1.(4) (I が極大イデアルであれば I 自身をとればよい。)I を含む極大イ デアルが存在しないとする。I0 := I とおく。このとき R の可算無限個のイデア ル In (n ∈ N) で In−1 ( In ( R をみたすものがとれる。これは (3) に矛盾する。 (「I は極大イデアルでない。」と書くべきところを「I は極大イデアル。」として いる答案がたくさんあった。教官の書き損じがあったかも知れないが(もしそう ならば、非常に申し訳ありせん。)、その場合でも常に自分自身で判断すること。) (5) x = yz より Rx ⊂ Rz が成り立つ。Rx = Rz と仮定する。(1) より x = az となる a ∈ U (R) が存在する。az = yz より (a − y)z = 0 が成り立つ。x = yz かつ x ̸= 0 より z ̸= 0 である。R は整域だから a − y = 0 が成り立つ。ゆえに y = a ∈ U (R) である。(1) より Ry = R1 = R が成り立つ。これは Ry ( R に矛 盾する。したがって Rx ( Rz が成り立つ。 (6) (4) より Rx ⊂ I ( Rz となる極大イデアル I がとれる。y1 ∈ R を I = Ry1 となるものとする。(2) より y1 は素元である。z1 ∈ R を x = y1 z1 となるものと する。(5) より Rx ( Rz1 が成り立つ。これを繰り返して (3) より有限個の素元 y1 , . . . , yn と Rz = R となる z ∈ R で x = y1 · · · yn z となるものがある。(1) より z ∈ U (R) である。 (7) c ∈ U (R) を ac = 1 となるものとする。y1 · · · yn = wvc ∈ Rw が成り立つ。 (2) より Rw は素イデアルである。よって yi ∈ Rw となる i ∈ J1,n がある。この とき Ryi ⊂ Rw が成り立つ。(2) より Ryi と Rw は共に極大イデアルであるので Ryi = Rw が成り立つ。(1) より w = byi となる b ∈ U (R) が存在する。 問3.Ia,b := Z[T ](T − a)(T − b), Ip,q := Z[T ](T − p)(T − q) とおく。環の 準同型写像 α : Z[T ] → Z[T ]/Ip,q , を α(T ) := (T − k) + Ip,q により定義する。 α((T −a)(T −b)) = (T −k−a)(T −k−b)+Ip,q = (T −p)(T −q)+Ip,q = 0+Ip,q より 環の準同型写像 β : Z[T ]/Ia,b → Z[T ]/Ip,q で β(T +Ia,b ) = (T −k)+Ip,q をみたすも のがある。環の準同型写像 φ : Z[T ] → Z[T ]/Ia,b , を φ(T ) := (T + k) + Ia,b により 定義する。φ((T −p)(T −q)) = (T +k−p)(T +k−q)+Ia,b = (T −a)(T −b)+Ia,b = 0+Ia,b より環の準同型写像 ψ : Z[T ]/Ip,q → Z[T ]/Ia,b で ψ(T +Ip,q ) = (T +k)+Ia,b をみたすものがある。このとき ψ ◦ β = idZ[T ]/Ia,b , β ◦ ψ = idZ[T ]/Ip,q が成り立 つ。ゆえに β は(ψ も)全単射である。したがって β は環の同型写像である。ゆ えに Z[T ]/Ip,q と Z[T ]/Ia,b は同型な環である。 代数学 II 期末テスト8月4日(月)3限 実施予定(案) 問1. R を単項イデアル整域とする。x ∈ R \ {0} とする。 (1) 次の (i), (ii), (iii) は同値であることを示せ。(i) x は素元。(ii) Rx は素イ デアル。(iii) Rx は極大イデアル。 (2) R のイデアル I が I ( R となるものであれば I を含む R の極大イデアル が存在する事を示せ。 (3) Rx ( R と仮定する。このとき x = y1 · · · yn z となる有限個の R の素元 y1 , . . . , yn と R の正則元 z が存在することを示せ。 (4) v ∈ R, R の正則元 a, 有限個の R の素元 y1 , . . . , yn , w が y1 · · · yn a = wv を みたすとき、w = byi となる i ∈ J1,n と R の正則元 b が存在することを示せ。 問2. アイゼンシュタイン整数環 Z[ω] = {a + bω|a, b ∈ Z} (ω ∈ C は ω 2 + ω + 1 = 0 となるもの)はユークリッド整域であることを示せ。(例えば、 インターネットで検索すれば答えがある。) 問3. Z[T ] から Z/7Z の環の準同型写像の個数、 Z[T ]/{h(T )(T 2 − 1) + 8g(T )|h(T ), g(T ) ∈ Z[T ]} から Z/4Z への環の準同型写像 の個数、Z[T ]/{h(T )(T 3 − 3T 2 + T + 1) + g(T )(T 2 − 3T + 2)|h(T ), g(T ) ∈ Z[T ]} から Z/2014Z への環の準同型写像の個数を求めよ。 問4. a, b, c, p, q, r ∈ Z を a < b < c, p < q < r となるものとする。このとき Z[T ]/Z[T ](T − a)(T − b)(T − c) と Z[T ]/Z[T ](T − p)(T − q)(T − r) が環として 同型である為の必要十分条件を求めよ。 7月29日 山根宏之 ホームページ: [富山大学理学部数学科] → [数学科教員紹介] → [山根宏之] → [TOYAMA2014ALGII.pdf] 代数学 II 期末テスト8月4日(月)3限 実施 問1. R を単項イデアル整域とする。R の元として 0 ̸= 1 とする。 (1) x ∈ R \ {0} とする。y ∈ R を Ry ( R をみたすものとする。z ∈ R を x = yz をみたすものとする。このとき Rx ( Rz を示せ。 (2) x ∈ R を {0} ( Rx ( R となるものとする。このとき x = y1 · · · yn z とな る有限個の R の素元 y1 , . . . , yn と R の正則元 z が存在することを示せ。 (3) v ∈ R, R の正則元 a, 有限個の R の素元 y1 , . . . , yn , w が y1 · · · yn a = wv を みたすとき、w = byi となる i ∈ J1,n と R の正則元 b が存在することを示せ。 問2. アイゼンシュタイン整数環 Z[ω] = {a + bω|a, b ∈ Z} (ω ∈ C は ω 2 + ω + 1 = 0 となるもの)を考える。写像 φ : C → R≥0 を φ(z) := z z¯(= |z|2 ) で定義する。 (1) {1, ω} が C の R-基である事を示せ。 (2) x, y ∈ R を 0 ≤ |x| ≤ 12 , 0 ≤ |y| ≤ 21 をみたすものとする。φ(x + yω) ≤ 34 を示せ。 (3) 「∀α ∈ C, ∀β ∈ C \ {0}, ∃γ ∈ Z[ω], φ( αβ − γ) ≤ 34 」を示せ。 (4)「∀α ∈ Z[ω], ∀β ∈ Z[ω]\{0}, ∃γ, ∃δ ∈ Z[ω], α = βγ+δ かつ φ(δ) ≤ 34 φ(β)」 を示せ。 (5) Z[ω] がユークリッド整域であることを示せ。 問3. Z[T ]/{h(T )(T 2 − 1) + 18g(T )|h(T ), g(T ) ∈ Z[T ]} から Z/6Z への環の準 同型写像の個数、Z[T ]/{h(T )(T 3 −3T 2 +T +1)+g(T )(T 2 −3T +2)|h(T ), g(T ) ∈ Z[T ]} から Z/2014Z への環の準同型写像の個数を求めよ。 問4. a, b, c, p, q, r ∈ Z を a < b < c, p < q < r となるものとする。このとき Z[T ]/Z[T ](T − a)(T − b)(T − c) と Z[T ]/Z[T ](T − p)(T − q)(T − r) が環として 同型である為の必要十分条件を求めよ。 33 解答:問3. n ∈ J0,2013 を (n3 − 3n2 + n + 1) + 2014Z = 0 + 2014Z か つ (n2 − 3n + 2) + 2014Z = 0 + 2014Z をみたすものとする。0 + 2014Z = ((n3 − 3n2 + n + 1) − n(n2 − 3n + 2)) + 2014Z = (−n + 1) + 2014Z より n = 1 でなければならない。実際、(13 − 3 · 12 + 1 + 1) + 2014Z = 0 + 2014Z かつ (12 − 3 · 1 + 2) + 2014Z = 0 + 2014Z が成り立つ。しがって Z[T ]/{h(T )(T 3 − 3T 2 + T + 1) + g(T )(T 2 − 3T + 2)|h(T ), g(T ) ∈ Z[T ]} から Z/2014Z への環の準 同型写像の個数は 1 である。 問4.(実は非常にむずかしい問題でした。すみませんでした。問4にトライ した人には考慮いたします。) Ia,b,c := Z[T ](T − a)(T − b)(T − c) とおく。次の事に注意する。 (あ){1 + Ia,b,c , T + Ia,b,c , T 2 + Ia,b,c } は Z[T ]/Ia,b,c の Z-基である。 (い)任意の k ∈ Z に対して同型写像 αk : Z[T ]/Ia,b,c → Z[T ]/Ia+k,b+k,c+k , αk (T + Ia,b,c ) := (T − k) + Ia+k,b+k,c+k , がある。同型写像 β : Z[T ]/Ia,b,c → Z[T ]/I−c,−b,−a , β(T + Ia,b,c ) := −T + I−c,−b,−a , がある。 f : Z[T ]/Ia,b,c → Z[T ]/Ip,q,r を同型写像とする。つぎの2つの Cases がある。 Case-1: ∃h, ∃m, ∃n ∈ Z, f (T + Ia,b,c ) = hT 2 + mT + n + Ip,q,r . Case-2: ∃e ∈ {1, −1}, ∃n ∈ Z f (T + Ia,b,c ) = e(T + n) + Z[T ]/Ip,q,r . Case-1 のとき。すべての a, b, c, p, q, r についてこの Case は起こりえない事を 示す。f が存在するとする。 (い)より p = 0 と仮定してよい。さらに(い)より 2 h > 0, f (T + Ia,b,c ) = hT + mT + I0,q,r と仮定してよい。 f (T 2 + Ia,b,c ) = f (T + Ia,b,c )2 = (hT 2 + mT )2 + I0,q,r = T 2 (h2 T 2 + 2hmT + m2 ) + I0,q,r = T (h2 T 3 + 2hmT 2 + m2 T ) − h2 T 2 (T − q)(T − r) + I0,q,r = T (h2 T 3 + 2hmT 2 + m2 T ) − T (h2 T 3 − h2 (q + r)T 2 + h2 qrT ) + I0,q,r = (2hm + h2 q + h2 r)T 3 + (m2 − h2 qr)T 2 + I0,q,r = (2hm + h2 q + h2 r)((q + r)T 2 − qrT ) + (m2 − h2 qr)T 2 + I0,q,r = (m2 + 2h(q + r)m + h2 (q 2 + qr + r2 ))T 2 − (2hqrm + h2 (q + r)qr)T + I0,q,r A := (m2 + 2h(q + r)m + h2 (q 2 + qr + r2 )), B := −(2hqrm + h2 (q + r)qr) とお く。x, y, z ∈ Z にたいして f (xT 2 + yT + z + Ia,b,c ) = x(AT 2 + BT ) + y(hT 2 + mT ) + z + I0,q,r = (Ax + hy)T 2 + (Bx + my)T + z + I0,q,r が成り立つ。f は 全射であるので(あ)より「∃x1 , ∃y1 ∈ Z, Ax1 + hy1 = 1, Bx1 + my1 = 0」 および「 ∃x2 , )∃y2 ∈ Z, Ax(2 + hy2 =) 0, Bx2 + my T := ( 2 = 1」が成り立つ。 ) ( 1 0 A h x1 x2 , E := det とおく。T S = E det , S := det y1 y2 0 1 B m である。det(T ) det(S) = det(T S) = det(E) = 1 かつ det(T ), det(S) ∈ Z より 34 | det(T )| = 1 である。 det(T ) = Am − Bh = (m2 + 2h(q + r)m + h2 (q 2 + qr + r2 ))m + (2hqrm + h2 (q + r)qr)h = m3 + 2h(q + r)m2 + h2 (q 2 + 3qr + r2 )m + h3 (q + r)qr = (m + hq)(m + hr)(m + h(q + r)) h > 0, 0 < q < r より m+hq = −1, m+hr = −1 が成り立つ。m+h(q+r) = −m であるので |m| = 1 が成り立つ。m = −1 のとき q = 0 であるので矛盾である。 m = 1 のとき r = 0 であるので矛盾である。したがって Case-1 は起こりえない。 Case-2 のとき。0+Ip,q,r = f ((T −a)(T −b)(T −c)+Ia,b,c )(e(T +n)−a)(e(T + n) − b)(e(T + n) − c) + Ip,q,r = e(T + n − ea)(T + n − eb)(T + n − ec) + Ip,q,r より (T + n − ea)(T + n − eb)(T + n − ec) = (T − p)(T − q)(T − r) でなければ ならない。e = 1 のとき (p, q, r) = (−n + a, −n + b, −n + c) である。e = −1 の とき (p, q, r) = (−n − c, −n − b, −n − a) である。答えは「p − a = q − b = r − c または p + c = q + b = r + a」である。(十分条件は(い)より成り立つ。) 35 代数学 II(時間割コード140045、1 40704)を受講の皆様、9月3日(水) 2限目に A238 で追試験を行います。受験 免除者、受験資格者などは8月18日以降 に掲示します。8月8日山根宏之 代数学 II 追試験 9月3日(水)2限 A 238で実施予定 可換環 R に対して U (R) := {x ∈ R|∃y ∈ R, xy = 1} とおく。可換環 R と R の元 a ∈ R に対して Ra := {xa|x ∈ R} とおく。可換環 R のイデアル I, L に対 して R のイデアル I + L を I + L := {x + y|x ∈ I, y ∈ L} により定義する。Ra を aR とも書く。Z[T ] を Z 上の一変数多項式環とする。 問1. R を単項イデアル整域とする。x ∈ R \ {0} とする。 (1) y ∈ R とする。「Rx = Ry ⇐⇒ ∃a ∈ U (R), y = ax」を示せ。 (2) 次の (i), (ii), (iii) は同値であることを示せ。(i) x は素元。(ii) Rx は素イ デアル。(iii) Rx は極大イデアル。 問2. R をユークリッド整域する。I を R のイデアルとする。I ̸= R のとき I を含む R の極大イデアルが存在する事を示せ。 問3. Z[T ] から Z/7Z の環の準同型写像の個数、Z[T ]/Z[T ](T 3 − 1) から Z/7Z の環の準同型写像の個数、Z[T ]/Z[T ](T 2 + T + 1) から Z/13Z の環の準同型写 像の個数、Z[T ]/(Z[T ](T 2 − 1) + 8Z[T ]) から Z/4Z の環の準同型写像の個数、 Z[T ]/(Z[T ](T 2 + T + 1) + Z[T ](T 3 + T 2 + 2T − 2)) から Z/7Z の環の準同型写 像の個数を求めよ。 問4. a, b, p, q ∈ Z を a < b かつ p < q となるものとする。このとき Z[T ]/Z[T ](T − a)(T − b) と Z[T ]/Z[T ](T − p)(T − q) が環として同型である必要十分条件を求 めよ。 37 注:このノートの解答等には間違いが残っ ている可能性が常にある。何度も見返して いるがたった一人で作成する解答にはそう いうことが起こり得る。各自で慎重に読む こと! ! 間違いを見つけた時は教官に申告 することを望む。
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