No.2


B
電磁気学第二演習 No.2 解答
y
１．

B  (0,0, Bz ) と設定する．

 
F  dLI  B から，微小の弧の長さ dr とする． dr  Rdθ．
dr と弧は垂直なので，角度θにおける微小の弧の長さにかかる力は，

dF  IBz Rdθ(Cosθ, Sinθ,0) である．
θ
x
周回積分を行うと，



2π
F   dF   dθIBz R(Cosθ, Sinθ,0)  (0,0,0)  0
0

∴このコイルに働く力は 0 である．
（別解）


 
このコイルに働く力は 0 である．
（∵ F  dLI  B と対称性）
2.


荷電粒子の質量を m とする．この粒子は電場 E と磁場 B の両方から力を受ける．



クーロン力は qE ，ローレンツ力は q(v  B) と書けるので，粒子の運動方程式は
m


 
dv
 qE  q v  B
dt


となる．外積を計算して成分別に書くと，
dv x

x
:
m
 qv y B0 ①

dt

dv y
 qv x B0 ②
 y : m
dt

 z : m dv z  qE0 ③

dt
まず z 成分について解く．③式の両辺を t で積分して，
qE0
t  C z ④
m

ただし C z は定数である．初速が v  (v0 ,0,0) なので，t  0 で v z (0)  0 である．これらを④
v z (t ) 
に代入して C z  0 ．よって速度の z 成分について
v z (t ) 
qE0
t　⑤
m
さらに⑤式を t で積分して，位置の z 成分は次のようになる．
qE0 2
t  C z ⑥
2m

初期位置 r  (0,0,0) の条件より z (0)  0 であり，これを⑥に代入して C z  0 ．よって
qE
z (t )  0 t 2 ⑦　2m
z (t ) 
次に x ， y 成分の連立微分方程式について考える．①式を t で微分して整理すると
m d 2vx

⑧
dt
qB0 dt 2
dv y
⑧を②に代入することで，次式を得る．
2
d 2vx
q 2 B0
2

v x  0 v x ⑨
2
2
dt
m
ただし，
qB0
 0 とおいた．(この  0 をサイクロトロン角振動数という．)
m
⑨式は単振動の運動方程式と同じ形をしている．一般解を sin と cos の重ね合わせの形で書
くと，
vx (t )  Cx sin(0t )  Cx cos(0t )　⑩
ただし， C x と C x は定数．初速の条件より v x (0)  v0 であるから， C x  v0 と求められる．
⑩式を t で積分して， x 方向の位置について，
x(t )  
Cx
0
cos(0t ) 
v0
0
sin(0t ) ⑪
初期位置の条件 x(0)  0 および t  0 を⑪式に代入して， C x  0 とわかる．したがって
v
 qB 
 qB 
v x (t )  v0 cos(0 t )  v0 cos 0 t 　⑫ ， x(t )  0 sin 0 t 　⑬
0  m 
 m 
y 成分については，⑫式を②式に代入して，x 成分と同様に積分して解を求めると(省略)，
v
 qB 
v y (t )   v0 sin 0 t  ⑭ ， y (t )  0
0
 m 
●
  qB0  
⑮
cos m t   1　 
 
粒子の描く軌道について考える．位置に関する⑬，⑮式を sin，cos について解いて
cos 2 (0t )  sin 2 (0t )  1 を用いると，
2
2

v 
v
x (t )   y (t )  0   0 2
0 
0

2
（円）
したがって， x , y 面内で粒子は中心が (0,v0 / 0 ) ，半径 v0 / 0 の(等速)円運動をすること
がわかる．この円運動の角速度が  0 で， 0  B0 より磁場が強いほど速く，小さい半径で
粒子は回る．この問題で粒子は， z 方向に等加速度運動をするため， x , y 面内の円運動と
合わせて粒子は  z 方向への「らせん運動」をすることがわかる．
y
x
(0,v0 / 0 )
図：粒子の x , y 面内の軌跡
3.
問 2 と同様に計算して，解くべき微分方程式は以下のようになる．
dv x

①
　x : m dt  qE0  qv y B0 
dv y

y : m
 qv x B0 ②

dt

dv

z : m z  0　③

dt
③式と初期条件より，明らかに v z (t )  0 ， z (t )  0 ．よって荷電粒子は z 方向に運動し
ない． y 成分について，
v y’
 vy 
E0
④
B0
とおくと，①、②式はそれぞれ
dv x
 0 v y ’
⑤
dt
dv y '
 0 v x ⑥
dt
となる．ここで、 0  qB0 / m
をサイクロトロン角振動数という．
⑤式をもういちど時間 t で微分して⑥式に代入すると，
d 2vx
2
 0 v x ⑦
2
dt
となる．この微分方程式は単振動の方程式と同じ形であるから，その一般解は
v x (t )  C1 cos(0t )  C2 sin(0t )　(C1 , C2は定数)　⑧

で与えられる．初期条件 v (0)  (v0 ,0,0) より， v x (0)  v0  C1 となる．すなわち⑧式は
v x (t )  v0 cos(0t )  C2 sin(0t )　⑨
である．
⑨式を⑤式の右辺に代入すると
v y ’
(t )  v0 sin(0t )  C2 cos(0t )　⑩

を得る．ここで初期条件 v (0)  (v0 ,0,0) より， v y ’
(0) 
E0
 C2 ．よって
B0
 qB  E
 qB 
v x (t )  v0 cos 0 t   0 sin 0 t 　⑪
 m  B0
 m 
E   qB  
 qB 
v y (t )  0 cos 0 t   1  v0 sin 0 t 　⑫
B0   m  
 m 
が得られる．

次に，電荷の軌道は⑪式，
⑫式を積分し，初期条件 r (0)  (0,0,0) を利用することにより，
x(t ) 
y(t ) 
v0
0
sin 0 t  
E0
1  cos0t 　⑬
0 B0
E0
v
sin0t   0t 　 0 cos0 t   1　⑭
0 B0
0
＜採点者のコメント＞
■ 全体的に，文章での説明が前回よりもしっかりしていました．
■ 微分方程式を導出した後，
「単振動の方程式と同じであるから，一般解は…」
という記述なしに A cos(t   ) を書いている答案がとても多かったです．理
由を説明してから A cos(t   ) を使うようにしてください．
■ 「初期条件より」とだけ書いて，なぜ積分定数がその値になるのか導出して
いない答案が見られました． ( 例：「 A cos(t   ) なので初期条件より
v0 cos(t ) 」と書くだけ．) どの初期条件を用いたのか，どのように導かれ
るのかをわかるようにしてください．
■ 答案の作成はしっかりできているのに，最後の答えまでたどり着いていない
方が多かったように思います．
■ ベクトルとスカラーの違いが分からない人がいます．
■ 出した答えの確かめを行いましょう．

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