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面積・体積－筒－1
予習問題
xyz 空間に 3 点 P(1,1,0) 、 Q(1,1,0) 、 R (1,1,2) をとる。以下の問いに答
えよ。
t を 0  t  2 を満たす実数とする。三角形 PQR の周と平面 z  t の交
(1)
点の座標をすべて求めよ。
(2) 三角形 PQR を z 軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ。
値替え問題
xyz 空間に 3 点 P(1,1,0) 、Q(0,1,0) 、 R (1,1,2) をとる。以下の問いに答え
よ。
(1)
t を 0  t  2 を満たす実数とする。三角形 PQR の周と平面 z  t の交点
の座標をすべて求めよ。
(2) 三角形 PQR を z 軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ。
発展問題
座標空間上に原点 O および 3 点 A(1,1,0) 、 B(1,0,1) 、 C(0,1,1) を定める。
このとき正四面体 OABC を、 z 軸を中心に回転してできる図形の体積を求
めよ。
面積・体積－筒－1
面積・体積－筒－2
予習問題
xyz 空間に 3 点 P(1,1,0) 、 Q(1,1,0) 、 R (1,1,2) をとる。以下の問いに答
えよ。
(1)
t を 0  t  2 を満たす実数とする。三角形 PQR の周と平面 z  t の交
点の座標をすべて求めよ。
(2) 三角形 PQR を z 軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ。
（１）６点
三角形 PQR を y 軸方向から見ると次のような図になる。
これより題の交点は線分 PR 、 QR と平面 z  t の交点とわかる。これら交
点 Pt 、Q t はそれぞれ 2 線分を t : 2  t に内分する点であるから、その座標は
以下のようになる。
 (2  t )  t (2  t )  t 
Pt 
,
, t   Pt (1  t ,1, t )
2
2


  (2  t )  t (2  t )  t 
Qt 
,
, t   Q t (1,1, t )
2
2


（２）１４点
線分 Pt Q t と題の立体を平面 z  t で切ってできる断面を xy 平面に図示す
ると、 t の値によって以下のように場合分けできる。
ⅰ) このときは図より Pt が第 1 象限に存在するので、次式が成り立つ。
1 t  0  t  1
またこのとき図のように点 O から線分 Pt Q t への垂線の足を H と定める
と、断面は半径 OQt の円から半径 OH の円を引いたものとなる。したが
ってその面積は次のように計算できる。
2
2
2
 (OQt  OH )   HQt   (∵三平方の定理)
ⅱ) このときは図より Pt が第 2 象限に存在するので、次式が成り立つ。
1 t  0  t  1
このとき断面は半径 OQt の円から半径 OPt の円を引いたものとなる。し
たがってその面積は次のように計算できる。
2
2
 (OQt  OPt )   [{(1) 2  12 }  {(1  t ) 2  12 }]   (2t  t 2 )
以上ⅰ)ⅱ)より求める体積は以下のように計算できる。
2
 2 1 3
 0  dt   1  (2t  t )dt   t    t  3 t 1
1
2
面積・体積－筒－2
2
1
0
面積・体積－筒－3
4 2 5
 (  0)       
3 3 3
面積・体積－筒－3

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