1 フーリエ級数

大阪大学基礎工学部 2014 年度後期数学 C 講義ノート
1 フーリエ級数
周期 2π をもつ関数 f (x) : R → R （すなわち，f (x + 2π) = f (x) を任意の x ∈ R に対して満たす関数）
が，次の三角級数で表されるとする．
f (x) = a0 +
∞
∑
(an cos nx + bn sin nx) .
n=1
ここで，a0 , an , bn (n ∈ N) は定数である．このとき，定数 a0 , an , bn (n ∈ N) は f (x) からどのように決まる
かを考えてみる．
そのためにまず次の補題を準備する．
補題 1. (i)
∫
∫
π
π
cos nxdx = 0,
−π
cos nxdx = 0
−π
(n ∈ N).
(ii)
∫
{
π
cos nx cos mxdx =
−π
∫
{
π
sin nx sin mxdx =
−π
(ii)
∫
π （n = m のとき）,
0 （それ以外）,
π （n = m のとき）,
0 （それ以外）.
π
cos nx sin mxdx = 0
−π
証明. (i)
∫
π
[
1
cos nxdx =
sin nx
n
−π
]π
=
−π
(n, m ∈ N).
1
1
sin nπ − sin(−π) = 0.
n
n
(ii) 加法定理 cos(n ± m)x = cos nx cos mx ∓ sin nx sin mx を思い出すと，
∫
∫
π
π
1
(cos(n + m)x + cos(n − m)x) dx
2
−π
∫ π
∫
1
1 π
=
cos(n + m)xdx +
cos(n − m)xdx
2 −π
2 −π
cos nx cos mxdx =
−π
を得る．ここで，n ̸= m のときは，n + m ̸= 0，n − m ̸= 0 だから，(i) より上式右辺は２項とも 0．一方
n = m のときは，n + m ̸= 0，n − m = 0．従って，
∫ π
∫
1 π
cos nx cos mxdx = 0 +
dx = π.
2 −π
−π
残りの主張の証明は演習問題とする．
さて，定数 a0 , an , bn (n ∈ N) を順に決定していこう．
1
a0 の決め方：
f (x) = a0 +
∞
∑
(an cos nx + bn sin nx) .
n=1
の両辺を [−π, π] で積分する．ここで無限和と積分の順序は自由に交換できると仮定すると，上の補題を用
いて，
∫
∫
π
[
π
f (x)dx =
−π
a0 +
−π
∫
= a0
π
]
∞
∑
(an
n=1
∞ [
∑
dx +
−π
cos nx + bn sin nx) dx
∫
an
−π
n=1
∫
π
cos nxdx + bn
]
π
sin nxdx
−π
= 2πa0
と計算できる．従って，
∫
1
a0 =
2π
π
f (x)dx.
−π
an の決め方：
f (x) = a0 +
∞
∑
(an cos nx + bn sin nx) .
n=1
の両辺に cos mx を掛けて，[−π, π] で積分すると，
∫
∫
π
[
π
f (x) cos mxdx =
−π
a0 +
−π
∫
= a0
∞
∑
]
(an cos nx + bn sin nx) cos mxdx
n=1
π
cos mxdx +
−π
∞ [
∑
∫
an
n=1
∫
π
−π
cos nx cos mxdx + bn
= πam .
従って，
am =
1
π
∫
π
f (x) cos mxdx
−π
を得る．
bn の決め方：
f (x) = a0 +
∞
∑
(an cos nx + bn sin nx) .
n=1
の両辺に今度は sin mx を掛けて [−π, π] で積分すると，上と同様にして
bm =
1
π
∫
π
f (x) sin mxdx
−π
となることが分かる．詳細は演習とする．
まとめると，周期 2π をもつ関数 f (x) が
f (x) = a0 +
∞
∑
(an cos nx + bn sin nx) .
n=1
2
π
−π
]
sin nx cos mxdx
と表されるとき，係数 a0 , an , bn (n ∈ N) は
∫ π

1


a0 =
f (x)dx,


2π −π


∫ π

1
am =
f (x) cos mxdx,
π

−π

∫


1 π


bm =
f (x) sin mxdx
π −π
(1)
で与えられる．これらの係数 (1) を f (x) のフーリエ係数という．
一般に，周期 2π の関数 f (x) に対して，f (x) のフーリエ係数 (1) を用いた三角級数
a0 +
∞
∑
(an cos nx + bn sin nx)
n=1
を f (x) のフーリエ級数といい，このことを
f (x) ∼ a0 +
∞
∑
(an cos nx + bn sin nx)
n=1
と表す．
「=」ではなく「∼」と書く理由は，一般には「=」が成立しない点 x が存在するからである．
f (x) にどのような条件があればフーリエ級数は収束してもとの f (x) に一致するのかは重要な問題である
が，これについては後で議論する．
3

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