光の性質
光の本質
光の性質
光学の流れ
BC5世紀
BC2世紀
BC1世紀
:
１７世紀
１８世紀
１９世紀
２０世紀
ピタゴラス［粒子論］
アルキメデス（凹面鏡による結像）
トレミー（屈折光学）
：
ガリレオ（望遠鏡）
ケプラー（レンズシステム）
スネル（屈折の法則）
ニュートン（スペクトル）［粒子説］
ホイヘンス（偏光）［波動説］
ヤング、ブリュースター（干渉）
フィゾー（光速度測定）
マクスウェル、ヘルツ（電磁波）
マイケルソン（エーテル否定）
アインシュタイン（光量子）
プランク（量子論）
光の性質
カテゴリー
幾何光学，波面光学，フーリエ光学
光線と波面を用いる
経験的に知られた実験法則に基づく
媒質中の光の進行の様子を記述する
光線，波面，色，照度，輝度，光束
視感度，測色，表色
量子光学，波動光学
光の性質
光波とフォトン
光波
フォトン
u ( z , t ) = Re ⎡⎣ A exp {−i (ωt − kz + ϕ )}⎤⎦
= A cos (ωt − kz + ϕ )
E = hν
E h
p= =
c λ
光の性質
波動性と粒子性
波動性
粒子性
マクスウェルの方程式，
波動方程式，位相速度，
群速度，偏光，分散，
スペクトル，波長，回折，
干渉，副屈折，旋光性，
モード
光子，運動量，
ドブロイ波，光速度，
光電効果，量子干渉，
エンタングル，エネルギー
マクスウェルの方程式
基本式
∂H
⎧
⎪∇ × E = − μ0 ∂t
⎪
⎪∇ × H = j + ε ∂E
⎪
0
∂t
⎨
⎪
ρ
∇
⋅
=
E
⎪
ε0
⎪
⎪⎩∇ ⋅ H = 0
⎧ D = ε E = ε 0E + P
⎪
⎨ B = μ H = μ0 H + M
⎪j = σ E
⎩
⎧ 2
∂E
∂2E
⎪⎪∇ E − σμ0 ∂t − εμ0 2 = 0
∂t
⎨
2
∂
∂
H
H
⎪∇ 2 H − σμ
− εμ0 2 = 0
0
⎪⎩
∂t
∂t
マクスウェルの方程式
ファラデーの法則、アンペールの法則
ファラデーの法則
=0
∇×E+ B
磁束密度の変化でウズ電流が発生する（発電機）
アンペールの法則
=j
∇×H −D
電束密度の変化で磁場が発生する（モーター）
マクスウェルの方程式
ベクトルの公式
⎛ ∂ ∂ ∂⎞
∂
∂
∂
∇≡⎜ , , ⎟=i +j +k
∂x
∂y
∂z
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
⎛ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ⎞
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∇ϕ ≡ grad ϕ = ⎜
=
+
+
,
,
i
j
k
⎟
∂x
∂y
∂z
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
∂Ax ∂Ay ∂Az
∇ ⋅ A ≡ div A =
+
+
∂x
∂y
∂z
⎛ ∂A ∂A ∂A ∂A ∂A ∂A ⎞
∇ × A ≡ rot A ≡ curl A = ⎜ z − y , x − z , y − x ⎟
∂z ∂z
∂x ∂x
∂y ⎠
⎝ ∂y
マクスウェルの方程式
波動方程式
真空中では
ρ = 0, j = 0
∂H
⎧
μ
∇
×
=
−
E
0
⎪
∂t
⎪
⎪∇ × H = ε ∂E
0
⎨
∂t
⎪
⎪∇ ⋅ E = 0
⎪∇ ⋅ H = 0
⎩
なので
⎧ 2
∂ 2E
⎪⎪∇ E = ε 0 μ0 ∂t 2
⎨
2
∂
2
⎪∇ H = ε μ H
0 0
⎪⎩
∂t 2
E(r, t ) = E0 exp ⎡⎣i ( k ⋅ r − ωt − ϕ ) ⎤⎦
マクスウェルの方程式
光速度
真空中では
c=
1
ε 0 μ0
ε 0 = 8.854 × 10−12 ⎡⎣C2 N -1m -2 ⎤⎦
μ0 = 4π × 10−7 ⎡⎣ Wb A -1m -1 ⎤⎦
光速度の定義
c = 299792458.0 ± 1.2 × 10−12 ⎡⎣ ms-1 ⎤⎦
時間基準（セシウム原子発信器）
ν = 9.19 [GHz ]
マクスウェルの方程式
電荷保存
⎧∇ ⋅ D = ρ
⎪
∂D
⎨
∇
×
=
+
H
j
⎪⎩
∂t
∂ρ
∇⋅ j = −
∂t
∂ρ
∫∫s j ⋅ Nds = − ∫∫∫v ∂t dv
単位体積、単位時間あたりの電荷の減少は
それを囲む表面からの電流に等しい
マクスウェルの方程式
エネルギー保存
∂B
⎧
E
∇
×
=
−
⎪⎪
∂t
⎨
⎪∇ × H = j + ∂D
∂t
⎩⎪
∂U
+ ∇ ⋅ S = −j⋅ E
∂t
1
(E ⋅ D + B ⋅ H)
2
S ≡ E×H
U≡
電磁波のエネルギー密度
ポインティングベクトル
マクスウェルの方程式
エネルギー保存
∂U
∫∫∫v ∂t dv + ∫∫s S ⋅ Nds = − ∫∫∫v j ⋅ Edv
左辺：第1項：S内部で電磁場のエネルギーが増加する割合
第2項単位時間にSを通って流れ出すエネルギー
右辺：S内部で電場の行った仕事
dEmech
≡ ∫∫∫ j ⋅ Edv
v
dt
dE field
∂U
≡ ∫∫∫
dv
v
∂t
dt
d
Emech + E field ) = − ∫∫ S ⋅ Nds
(
s
dt
位相速度と群速度
位相速度
1 ∂ 2U
∇U= 2 2
u ∂t
2
U : Ex , E y , Ez , H x , H y , H z
平面波：
U = U 0 cos ( k ⋅ r − ωt ) = U 0 ( k (n ⋅ r ) − ωt ) = Re ⎡⎣U 0 ei( k ⋅r −ωt ) ⎤⎦
球面波：
1
⎡ 1 i k ⋅r −ωt ) ⎤
U = U 0 cos ( k ⋅ r − ωt ) = Re ⎢U 0 e (
⎥⎦
r
⎣ r
等位相面：
n ⋅ r 一定の面
位相速度： u =
Δr ω ω
=
=
Δt
k
k
位相速度と群速度
群速度
２つの波のビート
U = U 0 Re ⎡⎣exp i {( k + Δk ) z − (ω + Δω ) t} + exp i {( k − Δk ) z − (ω − Δω ) t}⎤⎦
= U 0 Re ⎡⎣ei ( kz −ωt ) {ei ( zΔk +tΔω ) + e − i ( zΔk +t Δω ) }⎤⎦
= U 0 cos ( kz − ωt ) cos ( z Δk + t Δω )
carrier
envelope
位相速度と群速度
群速度
envelopeの速度
微分形式
Δω
ug =
Δk
ug =
dω
d ⎛ kc ⎞
du
=
=
−
u
λ
⎜
⎟
dk
dk ⎝ c ⎠
dλ
1
1 λ0 dn
=
−
ug
u
c dλ0
分散
ug =
dω
dk
位相速度と群速度
分散
Ne2
1
n =1+
m ε 0 (ω r 2 − ω 2 ) + iγ ω
2
N :電子の数
e:電子の電荷
m :電子の質量
ω r固有振動数
γ :減衰係数
Ne2
ωr2 − ω 2
R e ⎡⎣ n ⎤⎦ = 1 +
m ε 0 (ω r 2 − ω 2 ) + γ 2 ω 2
2
位相速度と群速度
分散
セルマイヤーの式
n = n∞
2
2
≈ A+
A′
B′
+ 2
+ 2
2
λ − λr
λ − λ r′2
B
λ
+
C
λ2
CaF2の場合
6 .1 2 × 1 0 − 1 5
5 .1 0 × 1 0 − 9
n = 6 .0 9 + 2
+
λ − 8 .8 8 × 1 0 − 1 5 λ 2 − 1 .2 6 × 1 0 − 9
2
位相速度と群速度
分散
line name
light source
color
wavelength (nm)
refractive index
t
Hg
IR
1013.98
1.50731
s
Cs
IR
852.11
1.50981
r
He
red
706.52
1.51289
C
H
red
656.27
1.51432
D
Na
yellow
589.30
1.51673
d
He
yellow
587.56
1.51680
e
Hg
green
546.07
1.51872
F
H
blue
486.13
1.52238
g
Hg
purple
435.84
1.52669
h
Hg
purple
404.66
1.53024
i
Hg
UV
365.01
1.53626
ベクトル波
波動方程式
1 ∂ 2U
∇U= 2 2
u ∂t
2
解 ∝ exp ⎡⎣i ( k ⋅ r − ωt ) ⎤⎦
マクスウェル方程式
⎧k × E = μω H
⎪k × H = −εω E
⎪
⎨
⎪k ⋅ E = 0
⎪⎩k ⋅ H = 0
k
H
E
E× H ∝ k
H =−
εω
k
E = −ε uE =
n
E = ZE
z0
ベクトル波
ポインティングベクトル
単位面積を通過するエネルギーの流れ
S = E × H = E0 cos ( k ⋅ r − ωt ) × H 0 cos ( k ⋅ r − ωt )
時間平均
S = E0 × H 0 cos 2 ( k ⋅ r − ωt ) =
S // k
1
( E0 × H 0 )
2
S = In
光強度（放射度: irradiance）
1
n
n ε0 2 1 ε 2
2
I = E0 ⋅ H 0 =
E0 =
E0
E0 =
2
2 z0
2 μ0
2 μ
ベクトル波
円偏光
⎧ Ax = Ay = A
⎪
⎨
π
⎪⎩δ = ± + 2mπ
2
右回り円偏光
左回り円偏光
⎧⎪ E x = A cos ( kz − ωt )
⎨
⎪⎩ E y = A sin ( kz − ωt )
δ=
π
2
δ =−
+ 2mπ
π
2
+ 2mπ
ベクトル波
楕円偏光
Case 2
Case 1
⎧ Ax = Ay
⎪
⎨
π
≠
≠
±
+ 2mπ
δ
π
,
δ
m
⎪⎩
2
⎧ Ax ≠ Ay
⎨
⎩δ ≠ mπ
δ=±
π
2
+ 2mπ
のとき
その他
2
⎛ Ex ⎞ ⎛ E y ⎞
⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = 1
⎝ Ax ⎠ ⎝ Ay ⎠
2
2
Ex E y
⎛ Ex ⎞ ⎛ E y ⎞
cos δ = sin 2 δ
⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ − 2
Ax Ay
⎝ Ax ⎠ ⎝ Ay ⎠
2
偏光表記法
ジョーンズベクトル
E = E0ei ( k⋅r −ωt )
⎛ E0 x ⎞
E0 = ⎜
⎟
E
⎝ 0y ⎠
⎧⎪ E0 x = E0 x eiϕ x
⎨
iϕ y
⎪⎩ E0 y = E0 y e
2
E0 x + E0 y = 1
2
偏光表記法
ジョーンズベクトル
⎛ E0 x ⎞
J≡⎜
⎟
⎝ E0 y ⎠
直線偏光
円偏光
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎝0⎠
⎛0⎞
⎜ ⎟
⎝1⎠
⎛ cos θ ⎞
⎜ sin θ ⎟
⎝
⎠
1 ⎛ 1⎞
⎜ ⎟
2 ⎝ 1⎠
垂直偏光
水平偏光
Θ方向直線偏光
45º偏光
1 ⎛1⎞
⎜ ⎟
2 ⎝ −i ⎠
左円偏光
1 ⎛ 1⎞
⎜ ⎟
2 ⎝i⎠
右円偏光
偏光表記法
ジョーンズベクトル
直交性
E1 ⋅ E2* = 0
E1 x E2 x * + E1 y E2 y * = 0
合成
分解
1 ⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎫ ⎛ 1 ⎞
⎨⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎬ = ⎜ ⎟
2 ⎩ ⎝ −i ⎠ ⎝ i ⎠ ⎭ ⎝ 0 ⎠
⎛ E x ⎞ − E x − E yi ⎛ 1 ⎞ − E x + E yi ⎛ 1⎞
+
⎜E ⎟ =
⎜
⎟
⎜i⎟
−
i
2
2
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ y⎠
偏光表記法
ストークスパラメータ
⎛ E 2+ E 2⎞
y
光強度
⎞
⎛ S0 ⎞ ⎜ x
⎟ ⎛
⎜
⎟
⎜S ⎟ ⎜
2 ⎟
2
水平直線偏光
⎟
S ≡ ⎜ 1 ⎟ = ⎜ Ex − E y ⎟ = ⎜
⎜ +45°直線偏光 ⎟
⎜ S2 ⎟ ⎜
⎟
⎟
⎜ ⎟ ⎜ 2 E x E y cos δ ⎟ ⎜
⎝ S3 ⎠ ⎜ 2 E E sin δ ⎟ ⎝ 右回り円偏光 ⎠
⎝ x y
⎠
完全偏光
S 0 = S + S 2 + S3
部分偏光
S0 2 > S12 + S 2 2 + S32
2
2
1
2
2
偏光表記法
ストークスパラメータ
水平直線偏光
右回り円偏光
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎜1⎟
⎜0⎟
⎜ ⎟
⎝0⎠
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎜0⎟
⎜0⎟
⎜ ⎟
⎝1⎠
Θ方向直線偏光
左回り円偏光
⎛ 1 ⎞
⎜
⎟
cos
2
θ
⎜
⎟
⎜ sin 2θ ⎟
⎜
⎟
⎝ 0 ⎠
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎜0⎟
⎜0⎟
⎜ ⎟
⎝ −1⎠
垂直直線偏光
自然光
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎜0⎟
⎜0⎟
⎜ ⎟
⎝0⎠
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎜ −1⎟
⎜0⎟
⎜ ⎟
⎝0⎠
偏光変換
ジョーンズマトリックス
線型な光学素子
入射光
出射光
⎛ A2 x ⎞ ⎛ T11 T12 ⎞ ⎛ A1x ⎞
⎜
⎟=⎜
⎜
⎟
⎟
⎝ A2 y ⎠ ⎝ T21 T22 ⎠ ⎝ A1 y ⎠
偏光変換
ジョーンズマトリックス
J 2 = TJ1
左回り円偏光を４５°直線偏光に変換する素子
1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1 0 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟=⎜
⎟
⎜ ⎟
2 ⎝1⎠ ⎝ 0 i ⎠ 2 ⎝ −i ⎠
偏光変換
ミュラーマトリックス
線型な光学素子
入射光
⎛ S0′ ⎞ ⎛ M 00
⎜ ′⎟ ⎜
⎜ S1 ⎟ = ⎜ M 10
⎜ S 2′ ⎟ ⎜ M 20
⎜ ⎟ ⎜
⎝ S3′ ⎠ ⎝ M 30
M 01
M 11
M 21
M 31
M 02
M 12
M 22
M 32
出射光
M 03
M 13
M 23
M 33
⎞ ⎛ S0 ⎞
⎟⎜ ⎟
⎟ ⎜ S1 ⎟
⎟ ⎜ S2 ⎟
⎟⎜ ⎟
⎠ ⎝ S3 ⎠
偏光変換
ミュラーマトリックス
S′ = MS
水平直線偏光を垂直直線偏光に変換する素子
⎛ 1 ⎞ ⎛1 0 0
⎜ ⎟ ⎜
⎜ −1⎟ = ⎜ 0 −1 0
⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 0 −1
⎜ ⎟ ⎜
⎝ 0 ⎠ ⎝0 0 0
0⎞⎛1⎞
⎟⎜ ⎟
0⎟⎜1⎟
0⎟⎜0⎟
⎟⎜ ⎟
1⎠⎝0⎠
偏光変換
偏光子（二色性）
x方向偏光子
⎛1 0⎞
T=⎜
⎟
⎝0 0⎠
直線偏光子
任意の偏光
または非偏光
水平直線偏光
⎛1
⎜
1
⎜
M=
⎜0
⎜
⎝0
1 0 0⎞
⎟
1 0 0⎟
0 0 0⎟
⎟
0 0 0⎠
偏光変換
偏光子（二色性）
θ方向偏光子
⎛ cos 2 θ
T=⎜
⎝ cos θ sin θ
cos θ sin θ ⎞
⎟
sin 2 θ ⎠
主透過率： p1 , p2
⎛ p1
T=⎜
⎝0
0⎞
p2 ⎟⎠
⎛ 1
⎜ cos 2θ
M=⎜
⎜ sin 2θ
⎜
⎝ 0
cos 2θ
sin 2θ
cos 2 2θ
cos 2θ sin 2θ
cos 2θ sin 2θ
sin 2 2θ
0
0
⎛ p12 + p2 2
⎜ 2
p1 − p2 2
⎜
M=
⎜
0
⎜⎜
0
⎝
p12 − p2 2
p12 + p2 2
0
0
0
0
2 p1 p2
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
2 p1 p2 ⎟⎠
0
0
0
0⎞
0 ⎟⎟
0⎟
⎟
0⎠
偏光変換
移相子
x方向進相軸４分の１波長移相子
iπ / 4
⎛e
T=⎜
⎝ 0
0 ⎞
⎟
e − iπ / 4 ⎠
⎛1
⎜
0
M=⎜
⎜0
⎜
⎝0
0⎞
⎟
1 0 0⎟
0 0 1⎟
⎟
0 −1 0 ⎠
⎛1
⎜
0
M=⎜
⎜0
⎜
⎝0
0⎞
⎟
1 0 0⎟
0 −1 0 ⎟
⎟
0 0 −1⎠
0
0
x方向進相軸２分の１波長移相子
⎛1 0 ⎞
T=⎜
⎟
−
0
1
⎝
⎠
0
0
偏光変換
旋光子（光学活性）
Θ回転
⎛ cos θ
T=⎜
⎝ sin θ
− sin θ ⎞
⎟
cos θ ⎠
0
⎛1
⎜
0 cos 2θ
M=⎜
⎜ 0 sin 2θ
⎜
0
⎝0
0
− sin 2θ
cos 2θ
0
0⎞
⎟
0⎟
0⎟
⎟
1⎠
Θ傾いた偏光素子
⎛ cos θ
T′ = R (θ )TR (−θ ) = ⎜
⎝ sin θ
− sin θ ⎞ ⎛ cos θ
⎟T⎜
cos θ ⎠ ⎝ − sin θ
sin θ ⎞
⎟
cos θ ⎠
フーリエ光学
フレネル回折
C
⎡ π
g ( xo , yo ) =
f ( xi , yi ) exp ⎢i
∫∫
iλ l
⎣ λl
{( x − x )
i
o
2
+ ( yi − yo )
2
}
⎤
⎥⎦ dxi dyi
たたみ込み積分
yi
yo
l
f ( yi )
g ( yo )
フーリエ光学
フレネル回折
g ( xo , yo ) = Cf ( xi , yi ) ∗ hl ( xo , yo )
⎡ π
2
2 ⎤
hl ( xo , yo ) =
exp ⎢i ( xo + yo ) ⎥
iλ l
⎣ λl
⎦
コンボリューション
1
f ( xi , yi )
hl ( xo , yo )
重み関数
g ( xo , yo )
フーリエ光学
フレネル回折
フーリエ空間
G (ν x ,ν y ) = F (ν x ,ν y )i H l (ν x ,ν y )
F (ν x ,ν y ) = F [ f ( xi , yi ) ]
G (ν x ,ν y ) = F [ g ( xo , yo ) ]
H l (ν x ,ν y ) = F [ hl ( xo , yo ) ] = exp ⎡⎣ −iλlπν x 2ν y 2 ⎤⎦
フーリエ光学
レンズの作用
⎡ π
−
2
2 ⎤
u = A exp ⎢i
x + y )⎥
(
⎣ λa
⎦
⎡ π 2
+
2 ⎤
u = A exp ⎢-i ( x + y ) ⎥
⎣ λb
⎦
1 1 1
+ =
a b f
t
a
b
u−
⎡ π
u+
2
2 ⎤
t = − = exp ⎢-i
x + y )⎥
(
u
⎣ λf
⎦
u+
フーリエ光学
レンズによるフーリエ変換
π
⎡ π 2
2 ⎤
u = f ( x, y ) ∗ i exp ⎢i ( x + y ) ⎥
λl
⎣ λl
⎦
−
u + = t i piu −
f ( xi , y i )
⎡ π
2
2 ⎤
exp ⎢i
g =u ∗
x + y )⎥
(
iλ f
⎣ λf
⎦
+
1
⎡ π
=
exp ⎢i
iλ l
⎣ λf
⎡ π
1
exp ⎢i
=
iλ l
⎣ λf
1
g ( xo , yo )
f
l
u−
u+
t ( x, y )i p ( x, y )
⎤
2
2
−
x
y
U
+
( o o )⎥ (ν x ,ν y )
⎦
⎛
⎛ x+ y⎞
l ⎞ ⎤ ⎛ xo + yo ⎞
⎜1 −
⎟⎥ F ⎜
⎟∗ P⎜
⎟
λ
λ
λ
f
f
f
⎝
⎠⎦ ⎝
⎠
⎝
⎠
フーリエ光学
フーリエ変換
座標変換
x
νx =
λf
y
νy =
λf
l = f なら
⎛ xo + yo ⎞
⎛ x+ y⎞
g ( xo , yo ) =
F⎜
⎟∗ P⎜
⎟
λ
f
iλ f ⎝ λ f ⎠
⎝
⎠
1
像側焦点面
①物体側焦点面のフーリエ変換
②瞳関数のフーリエ変換
フーリエ光学
フーリエ結像論
点の結像
点（幾何光学）
回折像（波動光学）
点の集合（収差像）（フーリエ光学・波面光学）
Qi′
O(u ′, v′)
dσ ′
Ki
Qi
I (u , v)
dσ
フーリエ光学
フーリエ結像論
たたみ込み積分
I (u , v) = ∫∫ O(ui , vi ) PSF(u − ui , v − vi )dui dvi
= ∫∫ O(u − ui , v − vi ) PSF(ui , vi )dui dvi
条件
①インコヒーレント光源（強度和）
②強度に対して線形
③アイソプラナティズム
PSF（Point spread function: 点増強度分布）が場所によらない
フーリエ光学
フーリエ結像論
y
線像強度分布（LSF: Line spread function)
O(ui , vi ) = δ (ui )
I (u ) = ∫∫ δ (u − ui ) PSF(ui , vi )dui dvi
= ∫ PSF(u , vi )dvi
= LSF(u )
たたみ込み積分（コンボリューション）
ϕ：アジムス
ϕ
z
x
y：ラジアル方向
z
x：タンジェンシャル方向
フーリエ変換
フーリエ光学
正弦波格子
物体
O(ui ) = A + B cos ( 2π rui )
r：空間周波数
像
I (u ) = ∫ { A + B cos ( 2π r (u − ui ) )} LSF(ui )dui
= A + B C 2 + S 2 cos ( 2π ru − ϕ )
⎧C ≡ LSF(ui ) cos ( 2π rui ) dui
∫
⎪
⎨
⎪⎩ S ≡ ∫ LSF(ui ) sin ( 2π rui ) dui
⎛S⎞
ϕ = arctan ⎜ ⎟
⎝C ⎠
フーリエ光学
正弦波格子
I max − I min
M=
I max + I min
モジュレーション（コントラスト）
物体
B
Mo =
A
像
⎛B⎞
Mi = C + S ⎜ ⎟ = C2 + S 2 Mo
⎝ A⎠
2
2
フーリエ光学
空間周波数特性
物体に依存しない，光学系固有のもの
M i (r )
M i = 0：解像限界
M i < 0：反転
I = A (1 + M i cos(2π ru − ϕ ) )
ϕ = ±π
I = A (1-M i cos(2π ru ) )
１
ｇ線
0.5
C線
0
r
lines/mm
フーリエ光学
基準波長
wavelength
(nm)
light
source
color
t
Hg
IR
1013.98
s
Cs
IR
852.11
r
He
red
706.52
C
H
red
656.27
D
Na
yellow
589.30
d
He
yellow
587.56
e
Hg
green
546.07
F
H
blue
486.13
g
Hg
purple
435.84
h
Hg
purple
404.66
i
Hg
UV
365.01
line name
光学系の空間周波数特性
たたみこみ積分
フーリエ変換
⎧ G (ν ) = +∞ g (α )e − iνα dα
∫−∞ 1
⎪ 1
⎨
+∞
⎪G2 (ν ) = ∫ g 2 (α )e − iνα dα
−∞
⎩
たたみこみ積分（コンボリューション）
p (α ′) = ∫
+∞
−∞
g1 (α ) g 2 (α ′-α )dα
光学系の空間周波数特性
たたみこみ積分
P(ν ) = ∫
+∞
=∫
+∞
=∫
+∞
−∞
−∞
−∞
p (α ′)e − iνα ′dα ′
∫
+∞
−∞
− iνα ′ − iνα iνα
′
g1 (α ) g 2 (α -α )e e e dα dα ′
g1 (α )e
− iνα
dα ∫
+∞
−∞
g 2 (α ′-α )e
− iν (α ′ −α )
= G1 (ν )G2 (ν )
たたみこみ積分のフーリエ変換（スペクトル）は個々のスペクトルの積
dα ′
光学系の空間周波数特性
たたみこみ積分
1
⎧
⎪⎪ g1 (α ) = 2π
⎨
⎪ g (α ) = 1
⎪⎩ 1
2π
∫
+∞
∫
+∞
−∞
−∞
G1 (ν )eiνα dν
G2 (ν )eiνα dν
積のスペクトルは個々の
スペクトルのコンボリューション
+∞
g1 (α ) g 2 (α )} e − iν ′α dα
{
−∞
H (ν ′) = ∫
1
=
2π
1
=
2π
1
=
2π
∫
+∞
∫
+∞
∫
+∞
−∞
−∞
−∞
G1 (ν )e dν ∫
iνα
+∞
−∞
G1 (ν )dν ∫
+∞
−∞
g 2 (α )e − iν ′α dα
g 2 (α )e − i(ν ′−ν )α dα
G1 (ν )G2 (ν ′ −ν )dν
光学系の空間周波数特性
たたみこみ積分
i ( r , s ) = o(r , s ) R ( r , s )
光学系は物体のスペクトルに対する空間周波数フィルターとして働く
o(r , s：物体のスペクトル
)
R(r , s：点像のスペクトル
)
（点像強度分布のフーリエ変換）
i (r , s：像のスペクトル
)
光学系の空間周波数特性
OTFの定義（１）
(a) 正弦波格子
MTF(r )
(Modulation transfer function)
モジュレーションの比(Modulation transfer factor)を
空間周波数の関数で表したもの
PTF(r )
(Phase transfer function)
格子像の横ずれ（一周期=2π），位相シフト
OTF(r )=MTF(r ) ⋅ e
iPTF( r )
光学系の空間周波数特性
OTFの定義（２）
(b) 点像
点像のフーリエ変換を規格化
R (r , s ) = ∫∫ PSF(u, v)e − i2π ( ru + sv ) dudv
R(r , s)
OTF(r , s )=
R(0, 0)
MTF(r , s ) = OTF(r , s )
PTF(r , s ) = arg [ OTF(r , s ) ]
光学系の空間周波数特性
OTFの定義（３）
(c) 線像
OTF(r , s ) = ∫ LSF(u )e − i2π ru du
= ∫ LSF(u ) cos(2π ru )du − i ∫ LSF(u ) sin(2π ru )du
= C − iS
= C 2 + S 2 ⋅ e − iϕ
MTF(r , s ) = C 2 + S 2
PTF(r , s ) = ϕ
光学系の空間周波数特性
瞳関数
Q’ R”
P’ Q”
R’
O
O’
P
Q
R
入射瞳，射出瞳，開口絞り
光学系の空間周波数特性
瞳関数
瞳関数(Pupil function)
f ( x, y )
⎧ S ( x, y )eikW ( x , y )
f ( x, y ) = ⎨
0
⎩
U (u , v)
瞳内
瞳外
P
R
⎧ S ( x, y ) 瞳の形状および振幅分布
⎨
⎩W ( x, y ) 位相分布　光学系の空間周波数特性
点像の振幅分布(ASF)
点像の回折による振幅分布は瞳関数のフーリエ変換
⎡ ik
⎤
U (P) = C ∫∫ f ( x, y ) exp ⎢ − (ux + vy ) ⎥ dxdy
⎣ R
⎦
= ASF(u, v)
ASF: amplitude spread function
PSF(u, v) = ASF(u, v) ⋅ ASF* (u, v)
= C 2 ∫∫ ϕ ( x′, y′) exp ⎡⎣i ( x′u + y′v ) ⎤⎦dx′dy′
u=
ϕ ( x′, y′) = ∫∫ f ( x2 − x′, y2 − y′) f * ( x2 , y2 )dx2dy2
k
k
u , v = v, x′ = x2 − x1 , y′ = y2 − y1
R
R
光学系の空間周波数特性
瞳関数とOTF
R(r , s ) = ∫∫ PSF(u, v) exp ⎡⎣-i2π ( ru + sv ) ⎤⎦dudv
⎛ 2π CR ⎞
=⎜
⎟ ϕ (r , s )
⎝ k ⎠
2
r = λ Rr , s = λ Rs
R(r , s ) ϕ (r , s )
OTF(r , s ) =
=
R(0, 0) ϕ (0, 0)
1
= ∫∫ f ( x − r , y − s ) f * ( x, y ) dxdy
A
1
= ∫∫ S ( x − r , y − s ) S ( x, y ) eikV dxdy
A
A = ∫∫ f ( x, y ) dxdy
2
V ( x, y , r , ) = W ( x − r , y − s ) − W ( x, y )
光学系の空間周波数特性
OTF
W ( x, y ) = 0 → V = 0
OTF(r , s ) =
1
S ( x − r , y − s ) S ( x, y ) dxdy
∫∫
A
OTFは瞳関数の自己相関関数
（OTFは点像強度分布のフーリエ変換）
円形開口
OTF(r , s ) =
1
π
(2θ − sin 2θ )
r2 +s2
cos 2θ =
2a
光学系の空間周波数特性
遮断周波数
インコヒーレント系
OTF(rˆ, ϕ )
rˆ = r 2 + s 2 , tan ϕ =
rmax
s
r
2a
2a
=
λR
R
rmax
1
=
λ (F N )
R
F N=
2a
光学系の空間周波数特性
コヒーレント光学系
インコヒーレント：像の強度分布は物体の強度分布と点像強度分布の畳み込み積分
コヒーレント
像の振幅分布は物体の振幅分布と点像振幅分布の畳み込み積分
A(r , s ) = ∫∫ ASF(u, v)e −i 2π ( ru + sv ) dudv
ASF(r , s ) = C ∫∫ f ( x, y )e
k
− i ( ux + vy )
R
dxdy
A(r , s)
ATF(r , s) =
= f (−r , − s )
A(0, 0)
遮断周波数
rmax
a
=
λR
ATFは瞳関数そのもの
光学系の空間周波数特性
ATFとOTF
ATF
OTF
−2a
−a
0
a
2a
光波コヒーレンスとＯＴＦ
相互コヒーレンス
1
I (Q) =
T
∫
T
0
V1 (t ) + V2 (t ) dt
= V1 (t )
2
2
+ V2 (t )
+ V1 (t )V2* (t ) + V1* (t )V2 (t )
2
= I1 + I 2 + 2 Re V1 (t )V2* (t )
Q1′
l1
Q
相互コヒーレンス
光源
Γ12 (τ ) = V1 (t + τ )V2 (t )
*
l2
Q2′
光波コヒーレンスとＯＴＦ
相互強度
準単色光の場合
Γ12 (0) = V1 (t )V2* (t ) = J12
⎧ Γ11 (0) = V1 (t )V1* (t ) = J11 = I1
⎪
⎨
*
Γ
=
(0)
V
(
t
)
V
⎪⎩ 22
2
2 (t ) = J 22 = I 2
I (Q) = I1 + I 2 + 2 Re [ J12 ]
光波コヒーレンスとＯＴＦ
複素コヒーレンス度
μ12 =
J12
=
J11 J 22
1
V1 (t )V2* (t )
I1 I 2
I (Q) = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 Re [ μ12 ]
⎧ μ12 = 0
インコヒーレント
⎪
⎨0 < μ12 < 1 部分コヒーレント
⎪ μ =1
コヒーレント
⎩ 12
光波コヒーレンスとＯＴＦ
等価光源(Effective source)
J12 (Q1′, Q2′ ) = ∫ I ( S )
S
e
Q1′
ik ( l1′ − l2′ )
l1′l2′
I (S )
⎧
⎪ J11 (Q1′) = ∫S l ′2 dS
⎪
1
⎨
⎪ J (Q′ ) = I ( S ) dS
⎪⎩ 22 2 ∫S l2′ 2
dS
dS
光源
l1′
l2′
D
Q2′
光波コヒーレンスとＯＴＦ
相互コヒーレンス
Van Citter-Zernikeの定理
μ12
∫
=
S
I ( S )e
∫
S
=
ik ( l1′ −l2′ )
dS
I ( S )dS
eikφ ∫ I ( xs , ys )e
S
∫
S
i
k
{( X1′ − X 2′ ) xs + (Y1′−Y2′ ) ys }
D
dxs dys
I ( xs , ys )dxs dys
１次光源の強度分布の空間周波数スペクトルがコヒーレンス度
コヒーレンス度をフーリエ変換すれば光源の強度分布
光波コヒーレンスとＯＴＦ
部分的コヒーレント光学系
J12 ( X D′ ) =
1
(2π )
∫∫ o( x )o ( x ) R( x , x )e
*
2
1
2
1
ik ( x2 − x1 ) X D
2
dx1dx2
光源 → 物体面 → 射出瞳面 → 像面
o( x1 ) = ∫ O ( X D′ )eikx1 X D dx1
ikx2 X D
′
o( x2 ) = ∫ O( X D )e
dx2
O( X D′ )
x′
X D′
x
XD
光波コヒーレンスとＯＴＦ
部分的コヒーレント光学系
R( x1 , x2 ) = 1 なら
1
1
⎡
⎤
⎡
⎤
ikx1 X D
-ikx2 X D
*
J12 ( X D′ ) = ⎢
o
x
e
x
o
x
e
x
(
)
d
(
)
d
1
1⎥ ⎢
2
2⎥
∫
∫
⎣ 2π
⎦ ⎣ 2π
⎦
= O( X D )O ( X D ) = O( X D )
*
理想結像
2
光波コヒーレンスとＯＴＦ
Transmission cross-coefficient
4
⎛R⎞
R (r , s ) = (2π ) C ⎜ ⎟ ∫∫ sE ( x, y ) f ( x − r , y − s ) f * ( x, y )dxdy
⎝k⎠
1
i(xX D + yYD )
f ( x, y ) =
X
Y
e
ASF(
)
ASF(
)
dX D dYD
D
D
∫∫
2π C
4
2
R(r , s )
OTF(r , s ) =
R (0, 0)
=
*
s
(
x
,
y
)
f
(
x
r
,
y
s
)
f
( x, y )dxdy
−
−
∫∫ E
∫∫ s
E
( x, y ) S ( x, y )dxdy
光波コヒーレンスとＯＴＦ
部分的コヒーレント光学系のOTF
R(r , 0) = (2π C ) 2 ∫ sE ( x) f ( x − r ) f * ( x)dx
コヒーレント光学系
R(r ,0) = (2π C ) 2 ∫ δ ( x) f ( x − r ) f * ( x)dx
= (2π C ) f (− r ) f (0)
2
R(r , 0)
= f (−r )
OTF =
R(0, 0)
*
光波コヒーレンスとＯＴＦ
部分的コヒーレント光学系のOTF
インコヒーレント光学系
R(r , 0) = (2π C )
2
∫ f (x − r ) f
R(r , 0)
*
OTF =
= ∫ f ( x − r ) f ( x)dx
R(0, 0)
*
( x)dx
光波コヒーレンスとＯＴＦ
等価光源，瞳，OTF
y
y
A
A’
r
(a)
(瞳の半径)＞(等価光源の半径)
インコヒーレント照明
x
A’
A
r
(b)
(瞳のずらし量)
＜(瞳の半径)－(等価光源の半径)
x
光波コヒーレンスとＯＴＦ
等価光源，瞳，OTF
y
y
A
r
A’
(c)
(瞳の半径)－(等価光源の半径)
＜(瞳のずらし量)
＜(瞳の半径)＋(等価光源の半径)
x
A
r
A’
(d)
(瞳のずらし量)
＞(瞳の半径)＋(等価光源の半径)
x
光波コヒーレンスとＯＴＦ
OTF
コヒーレント照明
1
部分的コヒーレント照明
インコヒーレント照明
0
a-b
r
a+b
2a
光波コヒーレンスとＯＴＦ
OTF
−1
⎧
sin
(σ sin(θ ) ) r sin θ ⎫⎪
1⎪
−
OTF(r , 0) = ⎨θ +
⎬
π ⎩⎪
σ ⎭⎪
2
ただし
⎛ 1−σ − r ⎞
sin θ = ± 1 − ⎜
⎟
2
σ
r
a
⎝
⎠
ex. インコヒーレント
2
2
2
σ≡
⎛ σ = 1　なら
⎞
⎜
⎟
2
⎜ sin θ = 1 − ( ra 2 )
⎟
⎜
⎟
⎜ OTF = 1 π ( 2θ − sin 2θ ) ⎟
⎝
⎠
b 等価光源の半径
≡
瞳の半径
a
光波コヒーレンスとＯＴＦ
OTF
1
OTF
0.8
σ=0.2
0.8 0.6 0.4
1.0
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ra
1.2
1.4
1.6
1.8
2
光線収差と波面収差
OTFの求め方
Ｂ
波面光学
瞳関数
自己相関
Ａ
Ｃ
レンズデータ
光線追跡
ＯＴＦ
Ｂ’
ｽﾎﾟｯﾄﾀﾞｲﾔｸﾞﾗﾑ
ＰＳＦ
フーリエ変換
光波コヒーレンスとＯＴＦ
軸上物体の波面収差と横収差
W = QQ '
R
R
X a = ξ + α , Ya = η + β
a
a
Qにおける波面の方向余弦
(α , β , γ )
R ∂W
R ∂W
, Ya = − 2
Xa = − 2
na ∂ξ
na ∂η
光波コヒーレンスとＯＴＦ
軸対称光学系
y
メリジオナル面
ρ ϕ
⎧ρ = x + y
⎨ 2
⎩σ = Yy = Y ρ cos ϕ
2
2
2
W = ∑ wl ,m,n ρ Y σ
2l
2m
= ∑ 2l + m w2 n + m ,m ρ
Y
x
X
2n
2l + m
Y
2n+m
cos ϕ
m
光波コヒーレンスとＯＴＦ
次数
N = 2(l + m + n) − 1
１次の収差
⎧a1 ρ ≡ W100 ρ
像点縦移動
⎪
⎨a2 ρ cos ϕ ≡ W010 ρ cos ϕ 像点横移動
⎪a Y 2 ≡ W Y 2
（収差ではない）
3
001
⎩
2
2
光波コヒーレンスとＯＴＦ
３次収差
⎧b1 (W101 )Y ρ
⎪
3
(
)
ρ
cos
ϕ
b
W
Y
2
011
⎪⎪
4
⎨b3 (W200 ) ρ
⎪b (W )Y ρ 3 cos ϕ
⎪ 4 110
2
2
⎪⎩b5 (W020 ) ρ cos ϕ
2
2
像面湾曲
歪曲
球面収差
コマ収差
非点収差
光波コヒーレンスとＯＴＦ
３次収差
m=0
像面彎曲
(010)
非点収差
(020)
コマ収差
(110)
n=3
n=4
m=2
歪曲
(011)
n=1
n=2
m=1
球面収差
(200)
光波コヒーレンスとＯＴＦ
５次収差
⎧ c1 (W102 )Y 4 ρ 4
⎪
5
(
)
ρ cos ϕ
c
W
Y
⎪ 2 012
⎪ c3 (W 201 )Y 2 ρ 2
⎪
3 3
(
)
ρ cos ϕ
c
W
Y
⎪ 4 111
⎪
4 2
2
(
)
ρ
cos
ϕ
c
W
Y
⎨ 5 021
⎪ c (W ) ρ 6
⎪ 6 300
⎪ c7 (W 210 )Y ρ cos ϕ
⎪
2 4
2
(
)
ρ
cos
ϕ
c
W
Y
⎪ 8 021
⎪⎩ c9 (W 030 )Y 3 ρ 3 cos 3 ϕ
像面湾曲
歪曲
像面湾曲
コマ収差
非点収差
球面収差
コマ収差
非点収差
光波コヒーレンスとＯＴＦ
５次収差
m=0
n=1
n=2
像面彎曲
(102)
(030)
非点収差
(120)
コマ収差
(210)
球面収差
(300)
m=3
非点収差
(021)
像面彎曲
(201)
n=5
n=6
m=2
コマ収差
(111)
n=3
n=4
m=1
歪曲
(012)
光波コヒーレンスとＯＴＦ
ニーボアの分類
W = ∑ glmnY
2l + m
ρ cos(mϕ )
n
mについて正規直交系
ｍ：収差の種類
0: 球面収差（回転対称）
1: コマ収差（１回対称）
2: 非点収差（２回対称）
l: 収差図形の大きさ
光波コヒーレンスとＯＴＦ
ニーボアの分類
N
1
3
5
n
1
2
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
m=0
m=1
(012)
m=2
m=3
(102)
(111)
(201)
(020)
(210)
(300)
(211)
(301)
(320)
(312)
(402)
(221)
(413)
(500)
(230)
光波コヒーレンスとＯＴＦ
ツェルニケのCircle Polynomial
Rnm =
( n−m) 2
∑
k =0
(n − k )!r n − 2 k
(−1)
⎛n+m
⎞ ⎛n−m
⎞
k !⎜
− k ⎟ !⎜
− k ⎟!
⎝ 2
⎠⎝ 2
⎠
m，ｎについて正規直交系
W = ∑ R (r ) cos mϕ
m
n
m ,n
m=0：
1:
2:
3:
4:
像面湾曲
コマ収差
非点収差
（三つ葉型）
（四つ葉型）
光波コヒーレンスとＯＴＦ
ツェルニケのCircle Polynomial
n=0
m=0
1
n=1
－
n=2
6r 4 − 6r 3 + 1
n=3
－
6r 4 − 6r 3 + 1
n=4
m=1
m=2
m=3
－
r
－
－
－
－
r2
－
－
3r 3 − 2r
－
－
4r 4 − 3r 2
15r 5 − 12r 3 + 3r
－
－
6
4
3
15r 6 − 20r 4 + 6r 2
n=6 20r − 30r + 12r − 1
－
n=5
r3
－
5r 5 − 4 r 3
－
光波コヒーレンスとＯＴＦ
ツェルニケのCircle Polynomial
m=0
n=0
m=1
m=2
m=3
-
-
-
n=1
-
歪曲
-
-
n=2
像面彎曲
-
非点収差
-
n=3
-
コマ収差
-
n=4
球面収差
-
n=5
-
n=6
-
-
-
光波コヒーレンスとＯＴＦ
最良像点
波面収差
1 ⎛
Δf 2 A1 4 ⎞
W = 2 ⎜ a0 −
h + h ⎟
2
4 ⎠
f ⎝
⎛2 ⎞
∫0 ⎜⎝ λ W ⎟⎠ dp = 0
1
となるように
a0
を選ぶ
2
⎛
⎛h⎞ ⎞
⎜ ただし　p = ⎜ ⎟ ⎟
⎜
⎝ h0 ⎠ ⎟⎠
⎝
適用範囲：レーリーの限界
波面収差は1/4波長を超えない．
⎡ 1 ⎧⎪ 1 ⎛ 2 ⎞
照度：　I = ⎢ ∫ ⎨1 − ⎜ W ⎟
⎢⎣ 0 ⎪⎩ 2 ⎝ λ ⎠
2
⎫⎪ ⎤
⎬ dp ⎥
⎪⎭ ⎥⎦
2
光波コヒーレンスとＯＴＦ
マレシャルの評価法
適用範囲：マレシャルの限界
波面収差は1/8波長を超えない．
⎡ 2π
I > ⎢1 − 2
λ
⎣
2
⎤
∫∫ W dω ⎥⎦
2
2
光波コヒーレンスとＯＴＦ
共心系の収差
球面収差
コマ収差
⎧ x = m1 ρ 3 sin ϕ
⎨
3
=
y
m
sin ϕ
ρ
1
⎩
非点収差
⎧ x = m3Y 2 ρ sin ϕ
⎨
2
y
m
Y
ρ sin ϕ
=
3
⎩
⎧ x = m2Y ρ 2 sin 2ϕ
⎨
2
=
y
m
Y
sin 2ϕ
ρ
2
⎩
歪曲
⎧x = 0
⎨
3
y
=
m
Y
4
⎩
光波コヒーレンスとＯＴＦ
平行平板（球面収差）
n′2 − n 2 n h12 n 2 − n′2 h2 2
Δs2′ = −
−
2nn′ n′ s01
2nn′ s02
h1 = h2 = h,
h
θ =−
s01
(n′ − n )nd 2
2
θ ∝θ
Δs2′ =
3
2n′
2
2
光波コヒーレンスとＯＴＦ
平行平板
非点隔差
d ⎛
cos 2 i ⎞
Δp2′ =
1−
⎜
⎟
n′ cos i′ ⎝ cos 2 i′ ⎠
歪曲
n′2 − 1 3
θ d
Δh = −
2n′
像面湾曲
1⎞ d
⎛
Δs2′ = ⎜1 − ⎟
⎝ n′ ⎠ cos θ ′
光源
インコヒーレント光源
熱放射光源
（黒体輻射）
B (T ) =
2hc 2
1
λ 5 exp ( hc λ kT ) − 1
(J ⋅ s-1 ⋅ m -2 ⋅ str -1 )
1E+15
相対強度
1E+12
300K
600K
1000K
2000K
3000K
6000K
10000K
1E+09
1E+06
1000
0.1
1
10
波長　λ(μm)
100
光源
インコヒーレント光源
ガス放電光源
line
name
wavelength
(nm)
refractive
index
light
source
color
t
Hg
IR
1013.98
1.50731
s
Cs
IR
852.11
1.50981
r
He
red
706.52
1.51289
C
H
red
656.27
1.51432
D
Na
yellow
589.30
1.51673
d
He
yellow
587.56
1.51680
e
Hg
green
546.07
1.51872
F
H
blue
486.13
1.52238
g
Hg
purple
435.84
1.52669
h
Hg
purple
404.66
1.53024
i
Hg
UV
365.01
1.53626
光源
インコヒーレント光源
フィルター
・バンドパスフィルタ（ＢＰＦ）
特定の波長帯の光を透過させ、それ以外を吸収する。
・ショートパスフィルタ（ＳＰＦ）
短波長側の光を透過させ、それ以外を吸収する。
・ロングパスフィルタ（ＬＰＦ）
長波長側の光を透過し、それ以外を吸収する。
・ＮＤフィルタ
ある波長域において入射光量を一様に吸収する。
・干渉フィルタ
干渉効果で透過波長帯と反射波長帯に分離する。
光源
コヒーレント光源
レーザー光源
反射鏡
反射鏡
レーザー媒質
レーザー発振
励起
光源
コヒーレント光源
縦モード（発振波長間隔）
Δλ ≅
λ2
2n L
横モード（ガウスモード）
⎡ ⎛ r ⎞2 ⎤
f (r ) = a exp ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣ ⎝ r0 ⎠ ⎥⎦
光源
コヒーレント光源
固体レーザー
ルビーレーザー、Nd: YAGレーザー等。
ガスレーザー
炭酸ガスレーザー、ヘリウム・ネオンレーザー、アルゴンイオンレーザー、
エキシマレーザー等。
半導体レーザー
レーザーダイオード（LD）とも呼ばれる。レーザーポインターやパソコン内
でのCD・DVDの読み取りなどに使用。
光源
コヒーレンス
1
I (Q) =
T
∫
T
0
V1 (t ) + V2 (t ) dt
= V1 (t )
2
2
+ V2 (t )
2
+ V1 (t )V2* (t ) + V1* (t )V2 (t )
= I1 + I 2 + 2 Re V1 (t )V2* (t )
相互コヒーレンス
Γ12 (τ ) = V1 (t + τ )V2* (t )
Q1′
l1
Q
光源
l2
Q2′
検出器
点型センサー
１．光電子増倍管
高感度（0.1～100μA/mW）
安定
広ダイナミックレンジ
２．光導電セル
CdS, CdSeなど
大面積
線型性
応答遅い
３．起電力セル
半導体p-n接合
シリコンフォトセル，太陽電池など
検出器
イメージセンサー
１．ビジコン
光電効果＋電子ビーム走査
赤外，可視，紫外，X線
高感度
２．固体イメージセンサー
光電変換＋電荷直積
CCD型
MOS型
長さの計測
干渉法
１．合致法
複数の波長の干渉縞から端数が合致するように次数を決める
L=
λk
2
( Nk + ε k )
k = 1, 2," M
２．計数法
参照アームの反射鏡の移動による明暗を計数する
ΔL =
λ
2
N
長さの計測
干渉法
１．合致法
複数の波長の干渉縞から端数が合致するように次数を決める
λ
L = k ( Nk + ε k )
k = 1, 2," M
2
２．計数法
参照アームの反射鏡の移動による明暗を計数
λ
ΔL = N
2
３．ヘテロダイン法
わずかに周波数の異なる２光波を干渉させ光ビートの位相を計測
I = A1 exp ⎡⎣ −2π i (ν 1t + L1 λ1 ) ⎤⎦ + A2 exp ⎡⎣ −2π i (ν 2t + L2 λ2 ) ⎤⎦
{
2
}
= A12 + A2 2 + 2 A1 A2 cos 2π ⎡⎣(ν 1 −ν 2 ) t + ( L1 − L2 ) λ1 + L2 (1 λ1 − 1 λ2 ) ⎤⎦
長さの計測
モアレ法
規則性のあるパターン（格子）を２枚重ねる
1⎛
2π
I1 = ⎜1 + cos
2⎝
p1
1⎛
2π
I 2 = ⎜1 + cos
2⎝
p2
⎞
x⎟
⎠
⎞
x⎟
⎠
1⎛
2π
2π
2π
2π
I = I1 × I 2 = ⎜1 + cos
x + cos
x + cos
x ⋅ cos
4⎝
p1
p2
p1
p2
=
⎞
x⎟
⎠
⎛ 1
⎛ 1
1 1
2π
1
2π
1
1 ⎞
1
1 ⎞
+ cos
x + cos
x + cos 2π ⎜ − ⎟ x + cos 2π ⎜ + ⎟ x
4 4
4
8
8
p1
p2
⎝ p1 p2 ⎠
⎝ p1 p2 ⎠
モアレ成分
長さの計測
長距離の測定
１．光パルス法
光パルスを対象物に照射し，反射光の遅れ時間を計測
cΔt
L=
2n
２．変調法
強度が正弦的に変調された光を照射し，反射光の位相遅れを計測
c
Λ=
nf
変調正弦波の波長
N + φ1 2π )
(
L=
Λ
2
形状の計測
主な計測法
測定法
光触針法
点計測
三角測量法
光切断法
干渉計測法
面計測
モアレ法
ステレオ法
特徴
稿感度，小型
大型物体計測，低感度
大型物体計測
高感度
中低感度
大型物体
形状の計測
光触針法
１．臨界角法
２．非点収差法
ｼﾘﾝﾄﾞﾘｶﾙﾚﾝｽﾞ
A B C
C B A
ビーム断面
PSD
形状の計測
干渉計測法
１．トワイマン-グリーン干渉計
参照鏡
コリメータレンズ
被検物体
準単色光源
結像レンズ
干渉面
形状の計測
干渉計測法
２．フィゾー干渉計
半透明
参照鏡
準単色光源
被検物体
コリメータレンズ
干渉面
形状の計測
干渉計測法
３．変調干渉法
3.1 ヘテロダイン干渉法
3.2 縞走査法
I ( x, y , δ i ) = I 0 {1 + γ cos [φ ( x, y ) + δ i ]}
φ ( x, y ) = tan −1
I1 − I 3
I0− I2
3.3 キャリアフリンジ法
I ( x, y ) = I 0 {1 + γ cos ⎡⎣ 2πα x + φ ( x, y ) ⎤⎦}
β
I i ( x, y ) = ∫ I ( x, y )dx
α
φ ( x, y ) = tan −1
I1 − I 3
I0− I2
形状の計測
モアレ法
１．格子照射型モアレトポグラフィー
hn =
bnp
l − np
l:基線長，p:基準格子のピッチ，n:次数
２．格子投影型モアレトポグラフィー
hn =
al
p(n + δ )
a:節点・像面間距離，δ:格子間の位相差