数学の基礎、期末試験問題（担当西澤）

数学の基礎、期末試験問題（担当西澤）
• 試験時間は 80 分、持ち込みは全て不可です。
• 求める過程の概略を書いてください。部分点を考慮する場合があります。また、解答だけでは点数を与えません。講義
で用いた記法は断りなしで用いて構いませんが、それ以外の記号、記法を用いるときは、その定義を明確にしてくださ
い。
問題
1. 次の問いに答えよ（20 点）。
(1) A を正則な n × n 行列とするとき、|t A| = |A| となることを証明せよ。ただし、「n × n 行列 T1 、· · · 、Tr に対し
t
(T1 · · · Tr ) = t Tr · · · t T1 であること」「T を基本行列とするとき |t T | = |T | であること」は、証明なしで用いてよい。
(2) A、B を正則な n × n 行列とするとき、|AB| = |A||B| となることを証明せよ。
2. 次の行列式を計算せよ（40 点）。
(1)
5 4
4 2
3 7
3 1 ,
7 3. 次の行列式の恒等式を示せ（10 点）。
0 x y z
x 0 z y
y z 0 x
z y x 0
(2)
4
2
3
2
−3 2 −4 3 −4 2 ,
−4 −4 6 −2 −3 4 (3)
4
7
3
−2
−3 2 3 3 8 9 9 5 4 8 3 2 = (x + y + z)(x + y − z)(x − y + z)(x − y − z)
4. 次の行列 Ai （i = 1, 2）について、Ui−1 Ai Ui が対角行列になる変換行列 Ui と、対角化された行列を求めよ。
（30 点）。
[
[
]
]
−17 −8
21 −12
(1) A1 :=
,
(2) A2 :=
40
19
24 −13

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