ラプラス変換 - 情報制御数学

ラプラス変換
情報制御数学
ラプラス変換
情報制御数学
5/08
5/15
5/22
5/29
5.0 なぜラプラス変換を考えるのか
5.1 ラプラス変換の定義
5.2 基本的な時間関数のラプラス変換
(5.3 ラプラス変換とフーリエ変換)
5.4 ラプラス変換の性質
5.5 複素積分を用いない逆ラプラス変換
5.5 複素積分を用いない逆ラプラス変換
5.6 ラプラス変換と微分方程式
5.6 ラプラス変換と微分方程式
6/05 試験: 複素解析, ラプラス変換
ラプラス変換と微分方程式
5.6 ラプラス変換と微分方程式
教科書例題 5.10, 11 と同様のマス-バネ-ダンパ系:
d
k
.... .... .... ....
.. .............. ....... ..
.... .... ....
m
f (t)✲
x=0
✲
x
運動方程式:
バネはのびに比例した抵抗力: kx(t)
ダンパは速度に比例した抵抗力: dx(t)
˙
m¨
x(t) = f (t) − kx(t) − dx(t)
˙
ラプラス変換と微分方程式
5.6 ラプラス変換と微分方程式
運動方程式: m¨
x(t) + kx(t) + dx(t)
˙
= f (t)
ラプラス変換して:
X(s) =
1
F (s)
ms2 + ds + k
m
ms + d
x(0) +
x(0)
˙
+
2
2
ms + ds + k
ms + ds + k
d
k
.
.... ..... .... .....
.. ....... .............. ..
.... .... ....
x=0
m
f (t)✲
✲
x
ラプラス変換と微分方程式
5.6 ラプラス変換と微分方程式
✓
✏
✒
✑
f (t) = 0, x(0)
˙
= 0, x(0) = 1 かつ m = 1, d = 3, k = 2 の時の解
d
k
.... .... .... ....
.. ........................ ..
... ... ...
x=0
X(s) =
ms2
m
f (t)✲
✲
x
1
ms + d
m
F (s) +
x(0) +
x(0)
˙
2
2
+ ds + k
ms + ds + k
ms + ds + k
ラプラス変換と微分方程式
5.6 ラプラス変換と微分方程式
✓
✏
✒
✑
f (t) = 0, x(0)
˙
= 0, x(0) = 1 かつ m = 1, d = 3, k = 2 の時の解
d
k
.... .... .... ....
.. ........................ ..
... ... ...
x=0
X(s) =
ms2
m
f (t)✲
✲
x
1
ms + d
m
F (s) +
x(0) +
x(0)
˙
2
2
+ ds + k
ms + ds + k
ms + ds + k
s+3
s+3
1
1
=
=2
−
+ 3s + 2
(s + 1)(s + 2)
s+1
s+2
−t
−2t
x(t) = 2e − e
X(s) =
s2
d = 3 6= 0: 減衰あり
ms2 + ds + k = 0 が, 相異なる実数根 (s = −1, −2 をもつ場合)
ラプラス変換と微分方程式
5.6 ラプラス変換と微分方程式
✓
✏
✒
✑
f (t) = 0, x(0)
˙
= 0, x(0) = 1 かつ m = 1, d = 0, k = 4 の時の解
d
k
.
.... ..... .... .....
.. ....... .............. ..
... ... ...
x=0
X(s) =
m
f (t)✲
✲
x
1
ms + d
m
F (s) +
x(0) +
x(0)
˙
ms2 + ds + k
ms2 + ds + k
ms2 + ds + k
ラプラス変換と微分方程式
5.6 ラプラス変換と微分方程式
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✏
✒
✑
f (t) = 0, x(0)
˙
= 0, x(0) = 1 かつ m = 1, d = 0, k = 4 の時の解
d
k
.
.... ..... .... .....
.. ....... .............. ..
... ... ...
m
f (t)✲
✲
x
x=0
X(s) =
1
ms + d
m
F (s) +
x(0) +
x(0)
˙
ms2 + ds + k
ms2 + ds + k
ms2 + ds + k
s
s
=
+4
s + 22
x(t) = cos 2t
X(s) =
s2
d = 0: 減衰なし
ms2 + ds + k = 0 が, 虚数 (の共役) 根 (s = ±2j) をもつ場合
ラプラス変換と微分方程式
5.6 ラプラス変換と微分方程式
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✑
f (t) = 0, x(0)
˙
= 0, x(0) = 1 かつ m = 1, d = 2, k = 5 の時の解
d
k
.... .... .... ....
.. ... ...... ...... ... ..
... ... ...
. . .
x=0
X(s) =
ms2
m
f (t)✲
✲
x
ms + d
m
1
F (s) +
x(0) +
x(0)
˙
2
2
+ ds + k
ms + ds + k
ms + ds + k
ラプラス変換と微分方程式
5.6 ラプラス変換と微分方程式
✓
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✒
✑
f (t) = 0, x(0)
˙
= 0, x(0) = 1 かつ m = 1, d = 2, k = 5 の時の解
d
k
m
.... .... .... ....
.. ... ...... ...... ... ..
... ... ...
. . .
x=0
X(s) =
ms2
f (t)✲
✲
x
ms + d
m
1
F (s) +
x(0) +
x(0)
˙
2
2
+ ds + k
ms + ds + k
ms + ds + k
X(s) =
s2
s+2
s+2
=
+ 2s + 5
(s + 1)2 + 4
ラプラス変換と微分方程式
5.6 ラプラス変換と微分方程式
X(s) =
s2
s+2
s+2
=
+ 2s + 5
(s + 1)2 + 4
ω
(s + a)2 + ω 2
s+a
L[ e−at cos ωt ] =
(s + a)2 + ω 2
L[ e−at sin ωt ] =
s+2
(s + 1)2 + 4
2
1
s+1
+
=
2
2
(s + 1) + 2
2 (s + 1)2 + 22
1
x(t) = e−t cos 2t + e−t sin 2t
2
X(s) =
ラプラス変換と微分方程式
5.6 ラプラス変換と微分方程式
✓
f (t) = 0, x(0)
˙
= 0, x(0) = 1 かつ m = 1, d = 2, k = 5 の時の解
✒
d
k
... ... ... ...
.. .... ....... ....... ... ...
.... .... ....
. . .
x=0
X(s) =
m
f (t)✲
✲
x
ms + d
m
1
F (s) +
x(0) +
x(0)
˙
ms2 + ds + k
ms2 + ds + k
ms2 + ds + k
s+2
2
s+1
1
=
+
2
2
+ 2s + 5
(s + 1) + 2
2 (s + 1)2 + 22
1
x(t) = e−t cos 2t + e−t sin 2t
2
X(s) =
s2
d = 2 6= 0: 減衰あり
ms2 + ds + k = 0 が, 複素 (共役) 根 (s = −1 ± 2j をもつ場合)
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5.0 なぜラプラス変換を考えるのか
5.1 ラプラス変換の定義
5.2 基本的な時間関数のラプラス変換
(5.3 ラプラス変換とフーリエ変換)
5.4 ラプラス変換の性質
5.5 複素積分を用いない逆ラプラス変換
5.5 複素積分を用いない逆ラプラス変換
5.6 ラプラス変換と微分方程式
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