ラプラス変換 情報制御数学 05/07 5.0 なぜラプラス変換を考えるのか 5.1 ラプラス変換の定義 5.2 基本的な時間関数のラプラス変換 (5.3 ラプラス変換とフーリエ変換) 05/14 5.4 ラプラス変換の性質 5.5 複素積分を用いない逆ラプラス変換 05/21 5.5 複素積分を用いない逆ラプラス変換 5.6 ラプラス変換と微分方程式 05/28 5.6 ラプラス変換と微分方程式 ラプラス変換 情報制御数学 06/04 試験: 複素解析, ラプラス変換 複素積分を用いない逆ラプラス変換 複素積分を用いない逆ラプラス変換 5.5 複素積分を用いない逆ラプラス変換 5.5 複素積分を用いない逆ラプラス変換 ✓ 例題 1. ✒ ẋ(t) + 2x(t) = 0, x(0) = 3 の解を求める. 1 X(s) = 3 s+2 ✓ 例題 2. ẋ(t) + 2x(t) = u(t), x(0) = 3 の解を求める. X(s) = x(t) = 3e −2t ✑ L[ ẋ(t) ] = sX(s) − x(0) L[ e−at ] = ✏ 1 s+a ✏ 3s + 1 1 1 5 1 = + s(s + 2) 2 s 2 s+2 x(t) = ✒ 5 1 u(t) + e−2t 2 2 ✑ L[ ẋ(t) ] = sX(s) − x(0) L[ u(t) ] = 1 s L[ e−at ] = 1 s+a 複素積分を用いない逆ラプラス変換 複素積分を用いない逆ラプラス変換 5.5 複素積分を用いない逆ラプラス変換 5.5 複素積分を用いない逆ラプラス変換 ✓ 例題 3. める. ẍ(t) + 3ẋ(t) + 2x(t) = 0, ẋ(0) = 2, x(0) = 1 の解を求 ✏ ✓ 例題 4. める. s+5 1 1 X(s) = =4 −3 (s + 1)(s + 2) s+1 s+2 x(t) = 4e−t − 3e−2t ✒ L[ ẋ(t) ] = sX(s) − x(0) X(s) = ✑ ✓ L[ u(t) ] = ✏ ✒ L[ ẋ(t) ] = sX(s) − x(0) L[ ẍ(t) ] = s2 X(s) − sx(0) − ẋ(0) L[ e−at ] = L[ te −at 1 ]= (s + a)2 1 s+a tn−1 1 L[ e−at ] = (n − 1)! (s + a)n L[ ẍ(t) ] = s2 X(s) − sx(0) − ẋ(0) 1 s L[ e−at ] = 1 s+a 5.5 複素積分を用いない逆ラプラス変換 ✓ 例題 6. s+5 1 1 = +4 2 (s + 1) s+1 (s + 1)2 x(t) = e−t + 4te−t ✑ 複素積分を用いない逆ラプラス変換 ẍ(t) + 2ẋ(t) + x(t) = 0, ẋ(0) = 3, x(0) = 1 X(s) = 1 5 u(t) + 3e−t − e−2t 2 2 L[ ẋ(t) ] = sX(s) − x(0) 複素積分を用いない逆ラプラス変換 例題 5. ✒ 1 s+a 5.5 複素積分を用いない逆ラプラス変換 1 1 1 5 1 s2 + 5s + 1 = +3 − s(s + 1)(s + 2) 2 s s+1 2 s+2 x(t) = L[ ẍ(t) ] = s2 X(s) − sx(0) − ẋ(0) L[ e−at ] = ẍ(t) + 3ẋ(t) + 2x(t) = u(t), ẋ(0) = 2, x(0) = 1 の解を求 ✏ ✏ ẍ(t) + 2ẋ(t) + x(t) = u(t), ẋ(0) = 3, x(0) = 1 X(s) = ✑ 1 1 s2 + 5s + 1 = +3 s(s + 1)2 s (s + 1)2 x(t) = u(t) + 3te−t ✒ L[ ẍ(t) ] = s2 X(s) − sx(0) − ẋ(0) L[ ẋ(t) ] = sX(s) − x(0) L[ u(t) ] = L[ te−at ] = 1 (s + a)2 ✑ 1 s L[ e−at ] = L[ 1 s+a tn−1 1 e−at ] = (n − 1)! (s + a)n 複素積分を用いない逆ラプラス変換 ラプラス変換 5.5 複素積分を用いない逆ラプラス変換 ✓ 例題 7. める. ẍ(t) + 2ẋ(t) + 10x(t) = 0, ẋ(0) = −1, x(0) = 1 の解を求 X(s) = 情報制御数学 05/07 5.0 なぜラプラス変換を考えるのか 5.1 ラプラス変換の定義 5.2 基本的な時間関数のラプラス変換 (5.3 ラプラス変換とフーリエ変換) 05/14 5.4 ラプラス変換の性質 5.5 複素積分を用いない逆ラプラス変換 05/21 5.5 複素積分を用いない逆ラプラス変換 5.6 ラプラス変換と微分方程式 05/28 5.6 ラプラス変換と微分方程式 s+1 s+1 = s2 + 2s + 10 (s + 1)2 + 32 x(t) = e−t cos 3t ✒ ✏ L[ ẋ(t) ] = sX(s) − x(0) ✑ L[ ẍ(t) ] = s2 X(s) − sx(0) − ẋ(0) ω (s + a)2 + ω 2 s+a L[ e−at cos ωt ] = (s + a)2 + ω 2 L[ e−at sin ωt ] = 06/04 試験: 複素解析, ラプラス変換 ラプラス変換と微分方程式 ラプラス変換と微分方程式 5.6 ラプラス変換と微分方程式 5.6 ラプラス変換と微分方程式 運動方程式: mẍ(t) + kx(t) + dẋ(t) = f (t) 教科書 例題 5.10, 11 と同様のマス-バネ-ダンパ系: d k .... ..... .... ..... .. ....... .............. .. ... ... ... m f (t)✲ x=0 ラプラス変換して: X(s) = ms2 ✲ x 1 F (s) + ds + k m ms + d x(0) + ẋ(0) + ms2 + ds + k ms2 + ds + k 運動方程式: バネはのびに比例した抵抗力: kx(t) ダンパは速度に比例した抵抗力: dẋ(t) mẍ(t) = f (t) − kx(t) − dẋ(t) d k ... ... ... ... .. .... ...... ..... ..... .... .... .... . . . x=0 m f (t)✲ ✲ x ラプラス変換と微分方程式 ラプラス変換と微分方程式 5.6 ラプラス変換と微分方程式 ✓ f (t) = 0, ẋ(0) = 0, x(0) = 1 かつ m = 1, d = 3, k = 2 の時の解 ✒ ✑ d k .... .... ... .... .. ... ...... ...... ... .. .... .... .... . . . m 5.6 ラプラス変換と微分方程式 ✓ f (t) = 0, ẋ(0) = 0, x(0) = 1 かつ m = 1, d = 3, k = 2 の時の解 ✒ k .... .... ... .... .. ... ...... ...... ... .. .... .... .... . . . ✲ x m f (t)✲ ✲ x x=0 1 ms + d m F (s) + x(0) + ẋ(0) ms2 + ds + k ms2 + ds + k ms2 + ds + k X(s) = ✏ ✑ d f (t)✲ x=0 X(s) = ✏ 1 ms + d m F (s) + x(0) + ẋ(0) ms2 + ds + k ms2 + ds + k ms2 + ds + k s+3 s+3 1 1 = =2 − + 3s + 2 (s + 1)(s + 2) s+1 s+2 −t −2t x(t) = 2e − e X(s) = s2 d = 3 ̸= 0: 減衰あり ms2 + ds + k = 0 が, 相異なる実数根 (s = −1, −2 をもつ場合) ラプラス変換と微分方程式 ラプラス変換と微分方程式 5.6 ラプラス変換と微分方程式 ✓ ✏ ✒ ✑ f (t) = 0, ẋ(0) = 0, x(0) = 1 かつ m = 1, d = 0, k = 4 の時の解 d k .... .... ... .... .. ... ...... ...... ... .. .... .... .... . . . x=0 X(s) = m 5.6 ラプラス変換と微分方程式 ✓ ✏ ✒ ✑ f (t) = 0, ẋ(0) = 0, x(0) = 1 かつ m = 1, d = 0, k = 4 の時の解 d f (t)✲ k ✲ x 1 ms + d m F (s) + x(0) + ẋ(0) ms2 + ds + k ms2 + ds + k ms2 + ds + k .... .... ... .... .. ... ...... ...... ... .. .... .... .... . . . m f (t)✲ ✲ x x=0 X(s) = 1 ms + d m F (s) + x(0) + ẋ(0) ms2 + ds + k ms2 + ds + k ms2 + ds + k s s = +4 s + 22 x(t) = cos 2t X(s) = s2 d = 0: 減衰なし ms2 + ds + k = 0 が, 虚数 (の共役) 根 (s = ±2j) をもつ場合 ラプラス変換と微分方程式 ラプラス変換と微分方程式 5.6 ラプラス変換と微分方程式 ✓ ✏ ✒ ✑ f (t) = 0, ẋ(0) = 0, x(0) = 1 かつ m = 1, d = 2, k = 5 の時の解 d k . .... ..... .... ..... .. ....... .............. .. .... .... .... m ✓ ✏ ✒ ✑ f (t) = 0, ẋ(0) = 0, x(0) = 1 かつ m = 1, d = 2, k = 5 の時の解 d f (t)✲ x=0 X(s) = 5.6 ラプラス変換と微分方程式 k ✲ x ms + d m 1 F (s) + x(0) + ẋ(0) ms2 + ds + k ms2 + ds + k ms2 + ds + k m . .... ..... .... ..... .. ....... .............. .. .... .... .... ✲ x x=0 X(s) = ms + d m 1 F (s) + x(0) + ẋ(0) ms2 + ds + k ms2 + ds + k ms2 + ds + k X(s) = s2 s+2 s+2 = + 2s + 5 (s + 1)2 + 4 ラプラス変換と微分方程式 ラプラス変換と微分方程式 5.6 ラプラス変換と微分方程式 5.6 ラプラス変換と微分方程式 s+2 s+2 X(s) = 2 = s + 2s + 5 (s + 1)2 + 4 ω L[ e sin ωt ] = (s + a)2 + ω 2 s+a L[ e−at cos ωt ] = (s + a)2 + ω 2 ✓ ✏ ✒ ✑ f (t) = 0, ẋ(0) = 0, x(0) = 1 かつ m = 1, d = 2, k = 5 の時の解 d −at s+2 (s + 1)2 + 4 2 1 s+1 + = 2 2 (s + 1) + 2 2 (s + 1)2 + 22 1 x(t) = e−t cos 2t + e−t sin 2t 2 X(s) = f (t)✲ k .... .... .... .... .. .................. ... .. .... .... .... x=0 X(s) = m f (t)✲ ✲ x ms + d m 1 F (s) + x(0) + ẋ(0) ms2 + ds + k ms2 + ds + k ms2 + ds + k s+2 2 s+1 1 = + 2 2 + 2s + 5 (s + 1) + 2 2 (s + 1)2 + 22 1 x(t) = e−t cos 2t + e−t sin 2t 2 X(s) = s2 d = 2 ̸= 0: 減衰あり ms2 + ds + k = 0 が, 複素 (共役) 根 (s = −1 ± 2j をもつ場合) ラプラス変換 情報制御数学 05/07 5.0 なぜラプラス変換を考えるのか 5.1 ラプラス変換の定義 5.2 基本的な時間関数のラプラス変換 (5.3 ラプラス変換とフーリエ変換) 05/14 5.4 ラプラス変換の性質 5.5 複素積分を用いない逆ラプラス変換 05/21 5.5 複素積分を用いない逆ラプラス変換 5.6 ラプラス変換と微分方程式 05/28 5.6 ラプラス変換と微分方程式 06/04 試験: 複素解析, ラプラス変換
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