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第２回
•微分方程式表現に基づくブロック線図作成
•伝達関数
抵抗回路の方程式表現
R1
u
関係式：
u(t)  i(t)  (R1  R2)
y(t)  i(t)  R2
i
R2
y
R2
y(t) 
u(t)
R1  R2
抵抗回路のブロック線図
R2
y(t) 
u(t), R1  30, R2  10
R1  R2
u(t)
y(t)
抵抗回路のステップ応答
ＲＣ回路（微分方程式表現）
R
関係式：
u
i
C
y
i(t)  Cy(t)
u(t)  Ri(t)  y(t)
RCy(t)  y(t)  u(t)
y(t)   y(t)  u(t) / RC
微分方程式に基づくブロック線図の作成
1. 入力・出力を配置
（変数名を設定）
2. 積分器を配置
（微分・積分に着目。変数名を設定）
3. 定数を配置
（変数名を設定）
4. ブロックを接続
（乗除算を直列結合）
5. ブロックを接続
（加減算を並列・フィードバック結合）
6. ブロックを整理（整列、反転、移動）
ＲＣ回路のブロック線図(1/4)
y(t)   y(t)  u(t) / RC, RC  2
1.入力・出力を配置
2.積分器を配置
ＲＣ回路のブロック線図(2/4)
y(t)   y(t)  u(t) / RC, RC  2
3.定数を配置
ＲＣ回路のブロック線図(3/4)
y(t)   y(t)  u(t) / RC, RC  2
4.乗除算を直列結合
ＲＣ回路のブロック線図(4/4)
y(t)   y(t)  u(t) / RC, RC  2
u(t)
y(t)
y(t)
5.加減算を並列・フィードバック結合
ＲＣ回路のステップ応答
初期条件: y(0)  0
積分器のパラメータ設定
質量・ばね・ダンパ系（微分方程式表現）
y
K
C
u
M
関係式：
My(t)  Cy(t)  Ky(t)  u(t)
y(t)   Cy(t)  Ky(t)  u(t) / M
質量・ばね・ダンパ系のブロック線図(1/4)
y(t)   Cy(t)  Ky(t)  u(t) / M
1.入力・出力を配置
2.積分器を配置
質量・ばね・ダンパ系のブロック線図(2/4)
y(t)   Cy(t)  Ky(t)  u(t) / M
3.定数を配置
質量・ばね・ダンパ系のブロック線図(3/4)
y(t)   Cy(t)  Ky(t)  u(t) / M
4.乗除算を直列結合
質量・ばね・ダンパ系のブロック線図(4/4)
y(t)   Cy(t)  Ky(t)  u(t) / M
u(t)
y(t) y(t)
y(t)
5.加減算を並列・フィードバック結合
質量・ばね・ダンパ系のステップ応答
初期条件: y(0)  0, y(0)  0
積分器のパラメータ設定
ＤＣサーボモータ
L
R
i
u
逆起電力：
モータートルク：
(t)  K2i(t)
v1(t)  K1y(t)
電気回路の関係式：
u(t)  Ri(t)  Li(t)  v1(t)
J C
y
回転運動の関係式：
Jy(t)  (t)  Cy(t)
ＤＣサーボモータの微分方程式表現
L
R
i
J C
u
y
y(t)   K2i(t)  Cy(t) / J
i(t)   Ri(t)  K1y(t)  u(t)  / L
ＤＣサーボモータのブロック線図(1/4)
y(t)  (K2i(t)  Cy(t))/ J
i(t)  (Ri(t)  K1y(t)  u(t))/ L
1.入力・出力を配置
2.積分器を配置
ＤＣサーボモータのブロック線図(2/4)
y(t)  (K2i(t)  Cy(t))/ J
i(t)  (Ri(t)  K1y(t)  u(t))/ L
3.定数を配置
ＤＣサーボモータのブロック線図(3/4)
y(t)  (K2i(t)  Cy(t))/ J
i(t)  (Ri(t)  K1y(t)  u(t))/ L
4.乗除算を直列結合
DCサーボモータのブロック線図(4/4)
y(t)  (K2i(t)  Cy(t))/ J
i(t)  (Ri(t)  K1y(t)  u(t))/ L
u(t)
i(t) i(t)
y(t) y(t) y(t)
5.加減算を並列・フィードバック結合
ＤＣサーボモータのステップ応答
初期条件: y(0)  0, y(0)  0, i(0)  0
積分器のパラメータ設定
ラプラス変換
ラプラス変換：

F(s)  L [f(t)] :  f(t)e dt
st
0
時間微分のラプラス変換：
 dnf(t) 
n
L  n   s F(s)
 dt 
 f(0) 
 f(0)
のとき
時間積分のラプラス変換：
t
1


L  f()d  F(s)
 0
 s
f
(n 1)
0

ラプラス変換表（１）
f(t)
F(s)  L [f(t)]
(t)
1
us(t)( 1)
1
s
1
2
s

2
2
s 
s
2
2
s 
t
sin t
cos t
ラプラス変換表（２）
f(t)
e
at
at
e sin t
at
e cos t
F(s)  L [f(t)]
1
sa

(s  a)2  2
sa
2
2
(s  a)  
伝達関数
出力のラ
プラ
ス
変換
伝達関数: 
入力のラプラス変換
「すべての初期値を０とする」
Y(s)
G(s) : 
U(s)
( 入力 : u(t), 出力: y( t ) )
Y(s)  G(s)U(s)
抵抗回路の伝達関数
R1
u
関係式：
u(t)  i(t)  (R1  R2)
y(t)  i(t)  R2
i
R2
y
ラプラス変換
Y(s)  I(s)  (R1  R2)
Y(s)  I(s)  R2
R2
Y(s)
G(s) : 

U(s) R1  R2
抵抗回路のブロック線図
R2
G(s) 
R1  R2
u(t)
y(t)
ＲＣ回路の伝達関数
R
関係式：
i(t)  Cy(t)
u(t)  Ri(t)  y(t)
u
i
C
y
ラプラス変換
I(s)  CsY(s)
U(s)  RI(s)  Y(s)
Y(s)
1
G(s) : 

U(s) RCs  1
ＲＣ回路のブロック線図
1
G(s) 
, RC  2
RCs  1
u(t)
y(t)
伝達関数ブロックのパラメータ設定
1
G(s) 
2s  1
初期条件: y(0)  0
質量・ばね・ダンパ系の伝達関数
関係式：
My(t)  Cy(t)  Ky(t)  u(t)
ラプラス変換
Ms Y(s)  CsY(s)  KY(s)  U(s)
2
Y(s)
1
G(s) : 

U(s) Ms2  Cs  K
質量・ばね・ダンパ系のブロック線図
1
G(s) 
M  1, K  2, C  3
2
Ms  Cs  K
u(t)
y(t)
伝達関数ブロックのパラメータ設定
1
M

1,
K

2,
C

3
G(s) 
2
Ms  Cs  K
初期条件:
y(0)  0, y(0)  0
積分器の数だけ設定
(＝分母多項式の次数)
ＤＣサーボモータの伝達関数
u(t)  Ri(t)  Li(t)  v1(t), v1(t)  K1y(t)
Jy(t)  (t)  Cy(t), (t)  K2i(t)
ラプラス変換
U(s)  RI(s)  LsI(s)  V(s)
, V(s)
 K1sY(s)
1
1
2
Js Y(s)  (s)  CsY(s), (s)  K2I(s)
K2
Y(s)
G(s) :

U(s) (JLs2  (JR  LC)s  RC  K1K2 )s
DCサーボモータのブロック線図
K2
G(s) 
2
(JLs  (JR  LC)s  (RC  K1K2 ))s
u(t)
y(t) y(t)
J  1, L  1, K1  1, K2  1, R  2, C  3
伝達関数ブロックのパラメータ設定
K2
G(s) 
2
(JLs  (JR  LC)s  (RC  K1K2 ))s
初期条件: i(0)  0, y(0)  0
積分器の数だけ設定
(＝分母多項式の次数)
J  1, L  1, K1  1, K2  1, R  2, C  3
演習１：RL回路の応答
L
R
u
y
• 微分方程式表現からブ
ロック線図を作成し、ス
テップ応答を求めよ。
（適当にパラメータ設定）
• 伝達関数を求めよ。
関係式：
u(t)  Ry(t)  Ly(t)
• 伝達関数からブロック線
図を作成し、ステップ応答
を求めよ。
（適当にパラメータ設定）
演習２：RLC回路の応答
L
R
i
u
C
y
• 微分方程式表現からブ
ロック線図を作成し、ス
テップ応答を求めよ。
（適当にパラメータ設定）
• 伝達関数を求めよ。
関係式：
• 伝達関数からブロック線
図を作成し、ステップ応
答を求めよ。
（適当にパラメータ設定）
i(t)  Cy(t)
d
u(t)  Ri(t)  L i(t)  y(t)
dt
演習３：初期状態の変更
• テキスト中の各システムについて、初期状態を
変更しながらステップ応答を求め、初期状態に
ついて考察せよ。
演習４：質量×２・ばね・ダンパ系の応答
u M
1
関係式：
x
y
K
C
M2
Mx(t)
 u(t)  C(y(t)  x(t))  K(y(t)  x(t))
1
M2y(t)  C(y(t)  x(t))  K(y(t)  x(t))
• 微分方程式表現からブロック線図を作成し、
ステップ応答を求めよ。
• 伝達関数を求めよ。
• 伝達関数からブロック線図を作成し、
ステップ応答を求めよ。
演習５：ＲＣＲＣ型回路の応答
R2
R1
u
C1
i1
e1
C2
i2
u(t)  R1i1(t)  e1(t)
• 微分方程式表現から
ブロック線図を作成し、
ステップ応答を求めよ。
y•
伝達関数を求めよ。
• 伝達関数からブロック
線図を作成し、ステッ
プ応答を求めよ。
t
1
i
(

)d

R2i2(t)  y(t)  e1(t)  0 y(t) 
2
C2 0
t
1
e1(t) 
(i1()  i2())d

C1 0

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