情報制御数学複素解析レポート5回目回答例

情報制御数学複素解析レポート５回目回答例
平成 26 年 5 月 22 日
課題 1 時間領域推移
L[x(t − τ )] = e−τ s L[x(t)] を示す．
L[x(t − τ )] =
∫
∞
0
x(t − τ )e−st dt
t − τ = a として，t = a + τ
{
∴ t:0→∞
a : −τ → ∞
∴ dx(t − τ )
dx(a)
=
dt
da
∫
∞
0
−st
x(t − τ )e
= e−τ s
= e−τ s
−τ s
∫
∞
−τ
∫
∞
−τ
{∫
=e
{[
=e
−τ s
=e
dt =
∞
x(a)e−s(a+τ ) da
−τ
x(a)e−sa da
x(t)e−st dt
0
−τ
−τ s
∫
x(t)e
−st
∫
dt +
−st
x(t)e
}
dt
0
1
x(t)( )e−st
−s
(
∞
∫
0+
∞
x(t)e
]0
−τ
−st
∫
+
∞
−st
x(t)e
0
)
dt
0
{
∴ t > 0 : x(t)
t≤0:0
= e−τ s L[x(t)]
1
}
dt
課題 2
1)
{
x1 (t) =
1 : (0 ≤ t < 1)
0 : (t < 0, t > 1)
∫
L[x1 (t)] =
1
e
−st
∫
0
[
∞
dt +
0e−st dt
1
]1
1 −st
=
e
−s
0
1
= − (e−s − 1)
s
1 − e−s
s
=
2)
{
x2 (t) =
L[x2 (t)] =
[
= t
(
t : (0 ≤ t ≤ 1)
0 : (t < 0, t > 1)
∫
1
−s
1
= − e−s −
s
=−
=
1
te−st dt
0
)
−st
]1
e
0
[
1 −st
e
s2
−
∫
1
0
(
1
−s
)
e−st dt
]1
0
e−s
1
− 2 (e−s − 1)
s
s
1 − e−s − se−s
s2
2

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