情報制御数学複素解析レポート3回目回答

情報制御数学複素解析レポート３回目回答
平成 26 年 4 月 2 日
課題 1
f (z) = f (x + jy) = e−y (cos x + j sin x)
(i)
f (z) = e−y cos x + je−y sin x
u(x, y) : e−y cos x
v(x, y) : e−y sin x
(ii)
ux = −e−y sin x
vx = e−y cos x
uy = −e−y cos x
vy = −e−y sin x
ux = vy , uy = −vx
より, Cauchy-Riemann の関係式をみたすので微分可能である.
f ′ (z) = ux + jvx = uy − jvy
f ′ (z) = −e−y sin x + je−y cos x = e−y (− sin x + j cos x)
1
課題 2
1
π
f (z) = ， C = C1 + C2 ， C1 : z(t) = t t : 1 → 5， C2 : z(t) = 5ejt t : 0 →
z
4
∫
∫
f (z)dz =
C1
C1
∫ 5
1
1
dz(t)
dz =
1dt ∴
=1
z
dt
1 t
= [log t]51 = log 5
∫
∫
f (z)dz =
C2
C2
∫
1
1
dz(t)
4
j5ejt dt ∴
dz =
= j5ejt
jt
z
dt
0 5e
π
= [log 5ejt ]04 = log(5(cos
π
π
π
+ j sin )) − log(5(cos 0 + j sin 0))
4
4
1
π
= log( √ (1 + j)) = j
4
2
∫
∴
5
π
f (z)dz = log( √ (1 + j)) = log 5 + j
4
C
2
2

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