統計力学演習問題略解(11)

統計力学演習問題解答 (11)
[1]
(a) 各運動量成分について平方完成すると，以下のように書ける．
H=
N
∑
p2ix + p2jy + p2jz
j=1
=
N
∑
2m
[
j=1
(pjx + mωyj
2m
−
N
∑
(ωxj pjy − ωyj pjx )
j=1
)2
]
p2jz
(pjy − mωxj )2
mω 2 2
2
+
+
−
(xj + yj )
2m
2m
2
(b) 分配関数 Z を計算する．
N ∫
1 ∏ d3 rj d3 pj −βH
e
Z=
N!
(2π¯h)3
j=1
N ∫
N ∫
2
d3 p′j −β p′2
j
2 +y 2 ) ∏
1 ∏
β mω
(x
3
=
d rj e 2 j j
e 2m
3
N!
(2π¯h)
j=1
j=1
ここで，p′jx = pjx + mωyj ，p′jy = pjy − mωxj ，p′jz = pjz と変数変換した．積分を実行すると
∫
∫
d3 rj eβ
であるから
d3 p′j −β p′2
j
1
e 2m =
3
(2π¯h)
(2π¯h)3
mω 2
(x2j +yj2 )
2
= πR2 L
(
2
βmω 2 R
)
2πm 3/2
β
(
)
2 2
β mω2 R
e
−
1
2
[
)(
)3/2 ]N
(
mω 2 R2
1
mkT
2kT
Z=
πR2 L
e 2kT − 1
N!
mω 2 R2
2π¯h2
と計算できる．
(c) Helmholtz の自由エネルギー F と内部エネルギー U は Stirling の公式 ln N ! ≈ N ln N − N を用いて
1
ln Z
β
[
(
)]
mω 2 R2
3 mkT
πR2 L
2kT
≈ −N kT
ln
+ ln
+ 1 + ln
e 2kT − 1
2
2π¯h
N
mω 2 R2
∂
ln Z
U =−
∂β
F =−
mω 2 R2
5
mω 2 R2 e 2kT
≈ N kT − N kT
2 R2
2
2kT e mω2kT
−1
と計算することができる．
1
[2]
⟨n(r)⟩ = n
¯ (ρ) は以下のように求めることができる．
⟨n(r)⟩ =
N ∫
1 ∏ d3 rj d3 pj e−βH
n(r)
N!
(2π¯h)3 Z
j=1
N ∫
N ∫
∏
d3 p′j −β p′2
j
mω 2
2
2
1 1 ∏
2m
d3 rj eβ 2 (xj +yj ) n(r)
e
Z N!
(2π¯h)3
j=1
j=1


(
)3N/2 ∏
∫ 2π
∫ L
N ∫ R
2
mω
2
1
2πm
1 1

=
dρj
ρj dφj
dzj eβ 2 ρj 
3N
Z N ! (2π¯h)
β
0
0
j=1 0


N
∑
δ(ρ − ρj )

×
δ(φ − φj )δ(z − zj )
ρ
j=1
∫ R
∫ 2π
∫ L
mω 2 2
δ(ρ − ρ1 )
dz1
=N
dρ1
ρ1 dφ1
δ(φ − φ1 )δ(z − z1 )eβ 2 ρ1
ρ
0
0
0
[∫ R
]−1
∫ 2π
∫ L
2 2
ρ1
β mω
2
×
dρ1
ρ1 dφ1
dz1 e
=
0
n
¯ (ρ) =
0
0
mω 2 ρ2
2kT
N mω 2 R2 e
2 R2
πR2 L 2kT e mω2kT
−1
2

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