通信システムのモデル
送信機
「コミュニケーション工学Ａ」第10章
「ディジタル変調」
送信メッセージ（例えば音声）をアナログまたはディジタル電気信
号に変換する．
通信路で伝送するのに適した周波数帯の信号波形へ変換（変
調）して送信する．
ディジタル伝送
受信機
基底帯域（ベースバンド）伝送
搬送波帯域（キャリアバンドパス）伝送
受信信号の周波数帯域以外の雑音をフィルタで除去し，処理し
やすい電圧まで増幅する．
もとの電気信号波形に変換し（復調），送信メッセージを復元する．
ディジタル変調器
被変調信号の波形
多値変調
被変調信号の周波数スペクトル密度
雑音
情報源
安達：コミュニケーション工学A
送信機
電気信号，光
電波
1
10.1 ディジタル伝送
受信信号
通信路
受信メッセージ
受信者
受信機
同軸ケーブル，光ファイバー
空間
2
安達：コミュニケーション工学A
基底帯域（ベースバンド）伝送
ベースバンド伝送で用いられるパルスには以下のような
ものがある．これらは通信路符号(Line code)と呼ばれる．
基底帯域（ベースバンド）伝送
符号“0”と“1”に対応したパルスをそのまま伝送する．
搬送波帯域伝送
“0” “1” “1” “0” “1” “0” “0” “1”
(a)オン－オフ
ベースバンド伝送におけるディジタル信号波形は零周波数付近
の周波数成分を持っている．
しかし，現実の大部分の通信路は零周波数付近を殆ど伝送する
ことができない帯域通信路である．電話回線や無線通信路はま
さにそういう通信路である．
ベースバンドディジタル信号を通信路で伝送するのに最適な周
波数帯域の信号波形へ変換する技術がディジタル変調である．
t
0 1T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T
(b)NRZ (Non
Return to
Zero)
(c)RZ (Return to
Zero)
(d)AMI (Alternate
Mark Inversion:
交互マーク反転)
(e)マンチェスタ
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送信信号
送信メッセージ
3
電力スペクトル
密度
直流成分
あり
f
0
図10.1 ベースバンド伝送路の
通信路符号
直流成分
なし
f
0
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4
搬送波帯域伝送
ディジタル変調の種類
ディジタル変調
変調
高い周波数帯の搬送波(carrier)の振幅や位相の変化に，送信情報を乗せ
るのが変調である．
送信したい情報を表す信号を変調信号(modulating signal)という．
変調された信号を被変調信号(modulated signal)という．
“0”と“1” の2値パルス系列によって，高い周波数の搬送波を変調す
るのがディジタル変調である．こうすれば直流成分を伝送できないア
ナログ電話回線（通過帯域は0.3-3.4kHz）を用いてディジタル信号を
伝送できる．
アナログ変調とディジタル変調
無線通信
変調信号が符号“0”と“1”を表すパルスであるときがディジタル変調である．
一方，変調信号がアナログﾞ波形であるのがアナログ変調である．
電波を用いれば，より遠くへディジタル信号を伝送できる．
電波を輻射したり受信するのがアンテナである．アンテナ長が波
長の10分の1以上でないと，効率的に電波が輻射できない．
1000kHz (1MHz)の電波では，波長は300mなので30m以上の長さ
のアンテナが必要になる．
携帯電話では800MHz帯と2GHz帯，PHSでは1.8GHz帯を使って
いる．周波数の高い搬送波を利用しているので，短いアンテナで
良い．
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ディジタル変調法
s (t )  Ac (t ) cos2f ct  (t ) 
アナログ変調と同じように3つある．
振幅変調: 振幅Acを変化させる
位相変調：位相を変化させる
周波数変調：瞬時周波数(1/2)d/dtを変化させる
5
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6
10.2 ディジタル変調器
ディジタル被変調波の表現．複素表現を用いると便利
ASK(Amplitude-Shift Keying）
s(t )  Ac (t ) cos2f c t  (t ) 
搬送波の振幅Acを変化させる
 Re[ Ac (t ) exp j ( 2f c t  (t ))]  ReAc (t ) exp j(t ) exp( j 2 f c t )　(10.1)
PSK（Phase-Shift Keying）
●別の表現
搬送波の位相を変化させる
s(t )  Ac (t ) cos (t ) cos2f c t   Ac (t ) sin (t ) sin 2f c t 　(10.2)
FSK（Frequency-Shift Keying）
ここで，Ac (t )  (t ) Acとおき（ただし，E[| (t ) |2 ]  1）
搬送波の周波数(1/2)d/dtを変化させる
ディジタル
振幅変調
位相変調
周波数変調
ASK(Amplitude shift keying)
PSK
(Phase shift keying)
FSK
(Frequency shift keying)
I (t )  (t ) cos (t )，　Q (t )  (t ) sin (t ) (10.3)
とすると
アナログ
s(t )  Ac (t ) cos (t )cos(2f c t )  (t ) sin (t )sin(2f c t )
 Ac I (t ) cos(2f c t )  Q (t ) sin(2f c t )
AM
 ReI (t )  jQ (t )Ac exp( j 2f c t )　(10.4)
PM
無変調信号
●等価低域表現
I (t )  jQ (t )はディジタル被変調信号の等価低域表現と言われる．
FM
●ディジタル変調器
I (t )とQ (t )を送信する2値符号系列{an }に対応させて変化させること
によりディジタル被変調信号を発生．
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7
安達：コミュニケーション工学A
8
10.3 被変調波の波形
最も簡単なディジタル変調が2値変調である．
ASK，2PSKと2FSKの例を以下に示す．
I (t )  jQ (t )
送信する2値符号系列に対応したI(t)とQ(t) を生成し，そ
れぞれ，cos(2fct)とsin(2fct) に乗積してディジタル被変
調信号を生成する．
図10.3 矩形パルス応答
s(t )  ReI (t )  jQ(t )Ac exp( j 2f ct)
 I
k
0
 jQk hT (t  kT ) (10.5)
k 
T
cos(2fct)
{Ik}送信フィルタ I(t)
2T
T
“1”
Ac
s(t)
1 d(t )
  f
2 dt
(c) 2FSK
- sin(2fct)
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図10.4 2ASK, 2PSKと2FSKの波形
9
安達：コミュニケーション工学A
10
0
1

-
I
10.4 多値変調
3/2
-/2
“1”
4T
“0”
(t)
0
3T
ak=“0”
(b) 2PSK
HT(f)
変調
送信シンボル
パルス
（記号）
{an;n=..,-1,0,1,..} 生成器 {Qk}送信フィルタQ(t)
HT(f)
図10.2 ディジタル変調器
kT  t  (k  1)T
Q
a3=“1”
t
2値
パルス系列

a2=“1”
t
(a) 2ASK 0
1
I(t)およびQ(t)の生成
I (t )  jQ(t ) 
a1=“0”
a0= “1”
hT(t)
 Ac I (t ) cos(2f ct )  Q(t ) sin(2f ct )　(10.3)

2値送信
データ
1
1
0
0
1
2PSKでは取り得る位相は0とであるが，位相の数をM個
にし，T秒間でlog2Mビットの伝送をするのが多値PSK．
多値PSKの送信シンボルIk+jQkの集合（信号点配置）
1
4PSKでは取り得る位相は(2m+1)/4, m=0~3, の4個である．
log24=2なので， T秒間で2ビット伝送できる．
8PSKでは取り得る位相はm/4, m=0~7,の8個である．log28=3な
ので， T秒間で3ビット伝送できる．
Q
“010”
0
t
0
T
0
2T
1
0
f・T=0.5
MSKの位相遷移
3T
4T
1
“01”
0
1
0
“0”
“011”
“110”
I
“111”
“001”
“1”
“00”
1
(a) 2PSK
-3
図10.5 MSKの位相遷移
1
“11”
“10”
(b) 4PSK
“000”
“101”
“100”
(c) 8PSK
図10.6 2PSK, 4PSK，8PSKと16QAMの信号点配置
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11
安達：コミュニケーション工学A
12
I (t )  jQ (t )
PSKのI(t)とQ(t)の波形
(a) 2PSK
I k  jQk , kT  t  (k  1)T
“01”
1
“0”
I(t)
“010”
Q
“011”
“11”
I
“111”
“001”
“1”
“00”
(a) 2PSK
“10”
“000”
(b) 4PSK
“101”
“100”
“01”
“11”
“01”
“00”
t  1/ 2
t
T
“110”
(c) 8PSK
13
1
 1/ 2
I(t)
Q(t)
(c) 8PSK
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“11”
“1”
“0”
t
(b) 4PSK
Q
I
1
t
T
Q(t)
“110”
kT  t (k  1)T
送信データ
“1” “1” “0” “1” “0” “0”
“010”
“100”
I(t)
t
Q(t)
t
T
図10.7 I(t)とQ(t)の波形
“10”
“00”
“011”
 1/ 2
 1/ 2
“110”
“001”
1
“000”
“111”
“101”
“100”
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14
被変調波の周波数スペクトル密度
●ディジタル被変調信号s(t )は
T秒間で4ビット伝送する16PSKの位相点の数は16個であ
り，隣接信号点間の位相差は/8しかない．このため，送
信された位相と異なる位相が送信されたと誤ってしまう確
率が2PSKや4PSKより高い．
そこで，隣接信号点間の距離を長くするように，位相だけ
でなく振幅も変化させ，16個の信号点を用いるようにした
のが16QAM（Quadrature Amplitude Modulation:直交振
幅変調）．  3 / 10  1/ 10 1/ 10 3 / 10
“11”
“00” “10”
“00”
“01”
(d) 16QAM
のように表される．
●s(t )をフーリエ変換すると
S ( f ) 


s(t ) exp(  j 2ft )dt

A 
A
A 
c
1 / 10
“11”

 Ac
3 / 10
“10”
“01”
s(t )  Ac I (t ) cos(2f c t )  Q (t ) sin(2f c t )　c
 1 / 10
 3 / 10
c
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15





I (t ) cos(2f c t ) exp(  j 2ft )dt
Q (t ) sin(2f c t ) exp(  j 2ft )dt
exp(  j 2f c t )  exp(  j 2f c t )
exp(  j 2ft )dt

2

exp(  j 2f c t )  exp(  j 2f c t )
Q (t )
exp(  j 2ft )dt

2j
I (t )
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16

Ac  
I (t ) exp( j 2( f  f c )t )dt   I (t ) exp( j 2( f  f c )t )dt 



2   


A
 j c   Q(t ) exp( j 2( f  f c )t )dt   Q(t ) exp( j 2( f  f c )t )dt 


2   
A
A
 c H I ( f  f c )  H I ( f  f c )  j c H Q ( f  f c )  H Q ( f  f c )
2
2
Ac
Ac
(10.11)
H I ( f  f c )  jH Q ( f  f c ) 
H I ( f  f c )  jH Q ( f  f c ) 
2
2
正の周波数領域　負の周波数領域
● f cを中心とする正の周波数領域の周波数スペクトル密度







被変調波の等価低域表現I (t )  jQ (t )のフーリエ変換
をH ( f )とする．
(10.13)
H ( f )  H I ( f )  jH Q ( f ) これより
H I ( f  f c )  jH Q ( f  f c )  H ( f  f c ), f  0　(10.14)
S(f)
ここで，H I ( f )およびH Q ( f )は，それぞれI (t )およびQ(t )のフーリエ変換である．
 H ( f )   I (t ) exp( j 2ft )dt

 I
(10.12)


 H Q ( f )   Q(t ) exp( j 2ft )dt


f
-fc
周波数スペクトル密度
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正の周波数領域
●以上より，S ( f )は次式のように表せる．
f
-fc
はどのように表せるだろうか？
0
S ( f ) 
+fc


Ac
H ( f  f c )  H  ( ( f  f c )) ,
2
f    f　（f  0なのでf   0であることに注意）とおくと
(10.15)
H I ( f  f c )  jH Q ( f  f c )  H I (  f   f c )  jH Q (  f   f c ) H I (  f ) 
f ), H Q (  f ) 
-   f  　(10.18)
S(f)
フーリエ変換の性質より
H Q (
Ac 
H ( ( f  f c ))
2
f ) (10.16)
H(f)
位相
Ac
H ( f  fc )
2
であるから　f
H I ( f  f c )  jH Q ( f  f c )  H I (  f   f c )  jH Q (  f   f c )
 H I ( f   f c )  jH Q ( f   f c )
 H I ( f   f c )  jH Q ( f   f c ) 


18
S(f)
負の周波数領域
H I ( f  f c )  jH Q ( f  f c ), f  0
H I (
+fc
0
17
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● f cを中心とする負の周波数領域の
正の周波数領域
負の周波数領域
-fc

0
+fc
図10.8 ディジタル被変調信号の周波数スペクトル密度

 H ( f   f c )  H (  f  f c ), f  0　(10.17)
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19
安達：コミュニケーション工学A
20
● H ( f )は I ( t )  jQ ( t )のフーリエ変換

I ( t )  jQ ( t ) 
 I
k
 jQ k hT ( t  kT )
●送信シンボル I k  jQk により生成された被変調信号の
k  
等価低域表現
I (t )  jQ (t )  I k  jQk hT (t  kT )
であるから
 


I k  jQ k  exp( j 2 f  k  T )  (10 .19 )
H ( f )  H T ( f )




k


●hT ( t )が高さ1で長さ Tの矩形パルス応答のとき

H T ( f ) 
{an}
H(f)
 sin( fT ) 
 exp  jfT 　(10 .20 )
hT ( t ) exp(  j 2 ft ) dt  T 

 fT 
cos(2fct)


{Ik}送信フィルタ I(t)
2値
パルス系列
 H ( f )  I k  jQk H T ( f ) exp  j 2 fkT 
Ac
HT(f)
変調
パルス
生成器 {Qk}送信フィルタQ(t)
S(f)
hT(t)
変調
1
s(t)
図10.9 H(f)
0
T
1 
H ( f  f c )
2
- sin(2fct)
0

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21
f
1
1

T
T
1
H ( f  fc )
2
fc1/T
fc1/T
t
図10.3 矩形パルス応答
HT(f)
図10.2 ディジタル変調器
 sin( fT ) 
 exp jfT 　H T ( f )  T 
(10.20)
 fT 
fc1/T
fc1/T
fc
0
fc
f
図10.10 被変調信号の周波数スペクトル密度
安達：コミュニケーション工学A
22
●I (t )  jQ (t )のフーリエ変換
 

I k  jQk exp( j 2f  k  T )  H ( f )  H T ( f )
(10.19)

 k  

●k  0のときの送信シンボルがI k  jQk  0  j 0で，k  0のとき

変調波の周波数スペクトルが広がっていると，無線通信で
は他チャネルへ干渉を与えてしまう．そこで，周波数スペ
クトルの広がりを抑えるような送信フィルタが用いられる．
I 0  jQ0  1  j 0であるときのH ( f )
H ( f )  H T ( f )
S( f )  T
被変調信号s(t )の周波数スペクトル密度S ( f )
A
S(f)
S ( f )  c H T ( f  f c )  H T   f  f c 
2


sin fT
fT
H(f)
1.0
帯域制限する
送信ﾌｨﾙﾀ
HT(f)
図10.10 被変調信号の周波
数スペクトル密度
1
H  f  fc 
2
1 
H   f  f c 
2
fc1/T
fc1/T
fc
0

+ fc1/T
+fc1/T
+fc
安達：コミュニケーション工学A
H(f)
0
f
23

f
1
T

0
1
T
f
1
1

T
T
安達：コミュニケーション工学A
24
ディジタル被変調波の電力スペクトル密度
電力スペクトル密度P ( f )は自己相関関数R ()のフーリエ変換であることを用いる．

Ps ( f )   Rss () exp(  j 2f)d
2PSKを例に，帯域制限する送信フィルタを用いるときの
I(t) の波形を見てみよう．常にQ(t)=0．
 矩形応答フィルタの出力
送信
ﾃﾞｰﾀ
“1” “1” “0” “1” “0” “0”

ディジタル被変調波s (t )の自己相関関数R(t )は
lim
1 NT
s (t ) s (t  )dt
Rss () 
N   2 NT  NT
で求まる．これに
s (t )  I (t ) cos(2f c t )  Q(t ) sin(2f c t )
1
t
を代入する．
I(t)
1
I (t ) I (t  )  Q(t )Q(t  )cos(2f c )  1 I (t )Q(t  )  I (t  )Q(t )sin(2f c )
2
2
1
 I (t ) I (t  )  Q(t )Q(t  )cos(4f c t  2f c )
2
1
 I (t )Q(t  )  I (t  )Q(t )sin(4f c t  2f c )
2
であり，周波数2 f c の項は積分でゼロになるから，
s (t ) s (t  ) 
1
T
 I(t)の変化を滑らかにするような送信フィルタを用いれ
ば周波数スペクトルの広がりを抑えることができる．
 lim
1
Rss ()  Re 
N


2
NT

t
I(t)
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
NT
 NT

1
I (t )  jQ(t ) I (t  )  jI (t  )dt  exp( j 2f c )
2


25
安達：コミュニケーション工学A
26
フーリエ変換を適用して電力スペクトルP( f )を求めると
ここで
I (t )  jQ (t ) 

 (I
k  
k
Ps ( f ) 
 Qk )hT (t  kT )

であること，送信データは独立で偏りがないとすると，
lim
1 NT 1
I (t )  jQ(t ) I (t  )  jI (t  )dt
N   2 NT  NT 2
2
1   2P 

hT (t )hT (t  )dt  exp( j 2( f  f c ))d







4  T

ここで，
  1
  T

1 

hT (t )hT (t  )dt  exp( j 2f)d   hT (t )  hT (t  ) exp( j 2f)d dt



 

T



1
1
2
 H ( f )  hT (t ) exp( j 2ft )dt   H ( f )
 

T
T
を用いると
2
 Qk の平均に等しい．また，
1 
 hT (t )hT (t  )dt  1
T 
以上より，ディジタル被変調波の自己相関関数は
Rss () 
1   2P 

hT (t )hT (t  )dt  exp( j 2( f  f c ))d

4   T 


lim
1 NT 1 N
2
2
  ( I k  Qk )hT (t  kT )hT (t    kT )dt
N   2 NT  NT 2 k   N
lim 1 1 N
2
2 1 NT

( I k  Qk )  hT (t )hT (t  )dt

N   2 N 2 k  N
T  NT

P
  hT (t )hT (t  )dt
T 
ここで，Pは平均電力で I k
1   2P 

hT (t )hT (t  )dt  cos( j 2f c ) exp( j 2f)d

2   T 




Ps ( f ) 
1
P( f  f c )  P( f  f c )
4
ここで，
1  2P 

hT (t )hT (t  )dt  cos( j 2f c )

2  T 

P( f ) 
となる．
安達：コミュニケーション工学A
27
2P
2
HT ( f )
T
安達：コミュニケーション工学A
28
別解
式（4.27）より
lim 1
2
Px ( f ) 
XT ( f )
T  T
 sin(fT ) 
であるので
(2) H T ( f )  T 
 fT 
2
2
PT  sin( ( f  f c )T )   sin(( f  f c )T )  
  
 

Ps ( f ) 
2  ( f  f c )T   ( f  f c )T  


を用いると，時間区間[ NT , NT ]のディジタル被変調波の周波数スペクトル密度は
1
S ( f )  [ H ( f  f c )  H  ( f  f c )]
2
より
Ps ( f ) 
lim 1 1
lim
1 1 1
1
2
2
2
S( f ) 
H ( f  fc )  H ( f  fc ) 
N   2N T
NT   2 N 4  T
T

ここで
 N

H ( f )  H T ( f )  ( I k  jQk ) exp( j 2fkT ) 
 k  N

であるから
lim
1 1
1
2
2
H ( f )  HT ( f )
NT   2 N T
T


N
N
lim
1  N

2
2
  | I k |  | Qk |    ( I k  jQk )( I k   jQk  ) exp( j 2f (k  k )T )
NT   2 N k   N
k   N k   N

k



{}内の第2項はゼロになる．また，
ここで，データが独立で偏りがないものとすると，


P 

lim
1 1 N
 | I k | 2  | Qk | 2
NT   2 N 2 k   N


は平均電力であり，
lim
1 1
2P
2
2
H( f ) 
H T ( f )  P( f )
NT   2 N T
T
安達：コミュニケーション工学A
29
となる．以上より
1
P (f)
P( f
f ) P( f
f )
安達：コミュニケーション工学A
30
第１１章予定
「ディジタル伝送における最適受信」
まとめ
基底帯域（ベースバンド）伝送
ディジタル情報の0,1に対応したパルスをそのまま伝送す
る．
搬送波帯域（キャリアバンドパス）伝送
信号判定時点のS/N
整合フィルタ
整合フィルタの伝達関数
整合フィルタのインパルス応答
整合フィルタの実現法
ディジタル変調を用いてディジタル信号の周波数スペクトルを高
周波帯域へ移して伝送する．
ディジタル変調方式にはASK，FSK，PSKがある．これらのうち，
PSKがもっともポピュラーである．
ディジタル携帯電話とPHSでは4PSKが用いられている．
安達：コミュニケーション工学A
2PSK伝送系のモデル
ナイキスト基準
送受信フィルタの設計
31
安達：コミュニケーション工学A
32