＝＝ザイリキプリント（十回目）＝＝ 4章 10-1 はりの応力 (p.59) M0 M0 はり［ちぢむ］＝押す力が発生する。曲げモーメントの作用［のびる］＝引張る力が発生する。図Ａ（第３章で学んだ曲げモーメントとその力学解析） §4.1 曲げ応力(p.59)  はりの中に力が発生する。  曲げ応力が発生する。  はりの内部で応力が分布する。曲げモーメント「曲げ」を力学解析しよう！せん断力そのために必要な仮定を記す。  仮定(3)：フックの法則に従う。断面二次モーメント、  仮定(2)：応力は単軸応力になる。断面係数、曲げ剛性（p.26,§2.1 をみよ）  仮定(1)：変形前に平面だった横断面は、変形後も平面を保つ。はりが変形すると O 点を中心にした円弧状になる。 O 中立軸、中立面、垂直ひずみ  . A'B'C'D'は変形後の形。 M , N:変形前に中立軸があったところ M 'N' : 変形後の中立軸中立軸では伸び縮みなし垂直ひずみ伸縮量 ( r  y )d  r0d  y =  0  もとの長さ r0 d r0 d r0 A' y B' M' p.60.図 4.1(c) ハリを横からみた。 N' 中立面、中立軸 M 解析手順 (4.1), (4.2) r 0 が長い＝曲がりにくい r 0 が短い＝曲がりやすい N C' y r0 曲げ応力： = E = E D' 上図の A'B', C'D'は円弧になっていませんが、実際の変形では r0 がとっても長く A'B', C'D'を円弧とみなせます。軸方向の合力＝ゼロ. y MN より上：[ちぢむ] A → E × 重心 N yG M 圧縮力をうける MN より下：[のびる] → C G xG 図 4.1(d) 断面をみた。軸方向の合力＝ゼロ. ・・・  dA  0   E 断面引張力をうける圧縮力 x 断面 y dA r0 偶力と図Ａの M0 が同じだから・・・ M 0   y dA  断面つまり、 ydA =0 E E 2  y dA  I r0 断面 r0 1  曲率(r 0)と曲げモーメント(M0)の関係： 1  M 0 (4.10)・・・ r0 r0 EI [軸方向の合力] ＝ゼロと引張力・・この組合せは偶力！この偶力は図Ａの M0 のことです。 S=  ydA ・・S は断面一次モーメント単位：[m3] (4.5) I=  y dA ・・I は断面二次モーメント(4.9) 単位：[m4] ※半径 r 0 を曲率、O 点を曲率中心と呼ぶ。 2 (4.7),(4.8) ・・よくしなっている ・・あまりしなっていない・・しなりにくい EI ・・しなり易い (1/r 0)と(EI)は反比例している。（p.78,§5.1, (5.5)式で登場する。）  曲げ応力()と曲げモーメント(M0) の関係：   M 0 (4.11)・・・ y I ・・曲げ応力が減少あまり伸縮しない I ・・曲げ応力が増加 よく伸縮する場する。）  曲げ剛性(EI)・・・曲がり易さ、曲がりにくさを示す。単位：[Nm2]。  e1、e2(中立軸-表面距離)、Z 1, Z 2(断面係数)：Z 1=( I/ e1) Z 2=( I/ e2) (4.14) （p.71,§4.3, 1 の導出で登 ≪ p.63 表 4.1 にいろんな I(ｱｲ)がある。≫ ・・・断面係数の逆数が最大応力と最小応力を与える。 ※ S=  ydA について dA が断面全部の積分でないときは S0 である ⇒ p.71, §4.3 応力の分布では S0 の場合が登場する。断面全部で積分すると S=0。 h ▽Today's WORK : ① (4.10)式の右横の四角内の意味を、図を書いて説明しなさい。② (4.22)式において、なぜ、  y ' dA = 0 とな 0 るのか理由を示せ。③底辺の長さが b, 高さが h の三角形の断面をしたハリがある。底辺を軸とした断面二次モーメント Ix を求めよ。底辺から三角形の図心（重心と思ってください）G までの高さを(h/3)として、定理Ⅰが成立することを示せ。 §4.2 ＝＝ザイリキプリント（十回目）＝＝断面二次モーメント及び断面係数(p.64) 10-2 【定理Ⅰ】 ―平行軸の定理― Ix = IX+yg2 A (4.15) Ix (断面二次モーメント), IX (断面二次モーメント), yg (重心までの高さ) ・・・図Ｂ参照。【定理Ⅱ】 ―直交軸の定理― （省略）【定理Ⅲ】 ―名前なしの定理―（よく使う） Itotal = I1+ I2 + I3 + I4 + ・・・・ (4.16) ただし、I1, I2 , I3 , I4・・・・とも同じ軸の周りに回転させたモーメント。 IX y ● 重心 yg のはり面断 I x x まわす ※注意!! 断面一次モーメント、断面二次モーメント、ともに「軸の周りのモーメント」である。一年生で登場した「（点の周りの）力のモーメント」、「（軸の周りの）慣性モーメント」 Ixは軸周りのﾓｰﾒﾝﾄを思い出せい！ IXは点線軸周りのﾓｰﾒﾝﾄ ▽ 図Ｂ平行軸の定理と Ix , IX 。断面が長方形のハリで定理Ⅰをたしかめてみる。【Situation】Ix は x 軸周りの断面二次モーメントで、IX は X–X 軸周りの断面二次モーメントで、yg が重心までの高さである。 y と y'は変数、yg は定数 ←ここに気をつけろ！ x y を変数にして X–X 軸周りのモーメントを求める。：断面にわたって積分する＝ –(h/2)<y<(h/2)で積分する。 dA=bdy 斜線部分の断面二次モーメント＝ y2×dA . y を変数にして x 軸周りのモーメントを求める。断面にわたって積分する / c＜y＜c+h で積分する。(c は任意定数) y 斜線部分の断面 dA=bdy 二次モーメント＝ y2×dA . h dy G X c=0 とする。 0 < y <h の積分だから、 –(h/2)<y<(h/2)の積分だから、 y h X IX  ( h / 2) y' 2  y dA h ( h / 2 ) y (dA=b×dy ) ∴IX=(bh3 / 12) b I x   y 2 dA G 0 ∴IX=(bh3 / 3) yg p.65 図 4.3(b) b h h h h h 0 0 0 0 0 y = y' + yg だから、 I x   y 2 dA =  ( y ' yg )2 dA =  y ' 2 dA +2yg×  y ' dA + yg2  dA h h h 0 0 0 x p.65 図 4.3(b), X–X 軸を消して見え易くした。 (4.22) 2  y ' dA  I X 、  dA  A 、  y ' dA = 0 となることに気をつければ、「Ix = IX+yg2 A」が導ける。「重心を通る軸周りの断面二次モーメント」の方が Ix よりも求め易いことが、平行軸の定理の特徴です。 ――――――――――――――――――――――＜きりとりせん＞―――――――――――――――――――――――――― ここにパンチで穴をあける《ザイリキプリント版》 ○ 月日番号(二桁)：氏名