初級者のための材料力学技術部開発課田辺稔博

初級者のための材料力学
技術部開発課田辺稔博
• はり
u
トラス
部材に曲げの入らない構造
各接点はピン接合にて接合される
P
• はり
u
トラス
2
RR = RH + R V
2
= 200 2 + 100 2 = 223.6N
P × l 100 × 100
RH =
=
= 200N
h
50
RV=100N
E = 200000 MPa
A = 10 mm2
P = 100 N
PV=100N
E=200000MPa
A=10mm2
P=100N
50mm (h)
RH =
P × l 100 × 100
=
= 200N
h
50
RV=100N
100mm (l)
• はり
u
ビーム
曲げにより荷重を伝達する構造
P
R
R
• はり
u
ビーム
P=100N
P × b 100 × 80
=
l
100
= 80N
E = 200000 MPa
A = 10 mm2
P = 100 N
R1 =
20mm
(a)
B.M.D.
(Bending Moment Diagram)
S.F.D. (Shear Force Diagram)
P × a 100 × 20
=
l
100
= 20N
R2 =
80mm (b)
100mm (l)
MMAX = R1 × a = R2 × b
= 80 × 20 = 1600Nmm
Sb = R2 = 80N
Sa = R1 = 80N
• はり
u
フレーム構造（ラーメン）
曲げにより荷重を伝達するはりの組合せ
各接点は剛結合
P
R
R
RH
R
V
V
H
• はり
u
フレーム構造（ラーメン）
-M
l=50mm
+M
h=100mm
RH =
P 100
=
= 50 N
2
2
RV =
P=100N
M=
E = 200000 MPa
A = 10 mm2
P = 100 N
P × h 100 × 100
= 5000 Nmm
=
2
2
RH =
P 100
=
= 50 N
2
2
P × h 100 × 100
P × h 100 × 100
=
= 100 N
=
= 100 N R V =
2×l
2 × 50
2×l
2 × 50
B.M.D.
(Bending Moment Diagram)
• はり
u
断面二次モーメント
u
断面二次モーメント
中立軸
引張応力
圧縮応力
曲げモーメント
曲げモーメントを受けるはり
曲げモーメント
• はり
u
断面二次モーメント
p
s’
m
s1
y
n1
平行
p
n
m
曲率半径
r
o
中立軸
∆non1∽∆s1n1s’
s'×s1 y
ε=
=
n × n1 r
σ
E=
ε
E× y
∴σ = E× ε =
r
• はり
u
断面二次モーメント（続き）
梁の断面に分布している内力は外力Mと釣合う
P
x
x
M
R
内力
（応力分布）
外力
• はり
u
断面二次モーメント（続き）
微小面積dA上の力は応力σx×dA
∴
Y
Z n
nZ
y
dA
Y
E× y
dA = PdA
r
断面全体に分布する内力はモーメントを構成
するが、x方向の合力は0でなければならない。
∫
E× y
E
dA = ∫ ydA = 0
r
r
応力の分布は直線で、合計は0だから、中立
軸は断面の中心を通る
• はり
u
断面二次モーメント（続き）
ここで、図形の中心座標を( yC, zC)で表わすと
Y
Z n
nZ
y
dA
Y
1
ydA
A∫
1
zC = ∫ zdA
A
yC =
この点では、曲げモーメントによる応力は０と
なる。なお、中立軸はこの点を通る。
• はり
u
断面二次モーメント（続き）
微小断面積dAに働く力の中立軸に関するモーメントは
MdA = PdA × y = σ x × dA × y =
Y
Z n
nZ
y
dA
Y
E× y
E
× dA × y = y 2dA
r
r
このMdA の断面積全体の総和は曲げモーメントMに等
しい。
E 2
∫ r y dA = M
M
σ
IZ = M ∴ σ = y
IZ
y
この式の断面に関係する物を抜き出すと
Iz = ∫ y 2dA
このIZを断面二次モーメントと呼ぶ。
• はり
u
断面二次モーメント（続き）
例）矩形断面を考える
Y
Z n
y
dA
Y
b
E× y
bE 2
× y × b × dy =
y dy
r
r
h2
h2
h2
bE 2
bE
bE h3 E
σ
2
M = ∫ MdA = ∫
y dy =
y dy =
= IZ = IZ
∫
r
r −h 2
r 12 r
y
−h 2
−h 2
MdA = σ x × y × b × dy =
nZ
h
h2
bh3
∴ Iz = b ∫ y dy =
12
−h 2
2
• はり
u
柱の座屈
柱に圧縮荷重を加えていくと挫けるように折れ曲る現象
（昔の漢字では挫屈と書いた）
柱が長いほど折れ曲りやすい
柱の上下端の支持条件によって曲がり方が違う
• はり
u
柱の座屈
柱の端末条件による変形の違い
自由
ピン支持
ピン支持
固定
固定
ピン支持
固定
固定
• はり
u
柱の座屈
柱の座屈荷重
π2 × E × I
P=
l2

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