解析II レポート No.1

解析 II レポート No.1
学籍番号名前 1 次の極限が存在すれば求めよ.
x2 + xy + y2
(1)
lim
√
(x,y)→(0,0)
x2 + y2
xy
(2)
lim
(x,y)→(0,0) x2 + y2
解析 II レポート No.2
学籍番号名前 1 次の関数は，原点で連続であるか調べなさい
.
 2 2

x
−y


 x2 +y2 ((x, y) , (0, 0) のとき),
(1) f (x, y) = 


0
((x, y) = (0, 0) のとき)
 2

xy


 x2 +y2 ((x, y) , (0, 0) のとき),
(2) f (x, y) = 


0
((x, y) = (0, 0) のとき)

2
2

xy(2x −3y )


((x, y) , (0, 0) のとき)
 2x2 +y2
2 f (x, y) = 
について, f xy (0, 0) = fyx (0, 0) は成り立つかどうか判別


0
((x, y) = (0, 0) のとき)
しなさい.
解析 II レポート No.3
学籍番号名前 1 次の関数は原点で全微分可能かどうか調べよ.
(1) f (x, y) = 
x 3 + y2 + x + y

x3 +y3


 x2 +y2 ((x, y) , (0, 0) のとき)
(2) f (x, y) = 


0
((x, y) = (0, 0) のとき)
解析 II レポート No.4
学籍番号名前 1 z = f (x, y) は x, y について, x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v) は u, v についてそれぞれ２回偏微分可能とす
る. このとき，以下の問いに答えよ.
(1) zu を z x , zy , xu , yu を用いて表しなさい.
(2) zuu を z x , zy , z xx , z xy , zyx , zyy , xu , yu , xuu , yuu を用いて表しなさい.
(3) z = x3 + y2 , x = u + 2v, y = sin u + cos v のとき, zuu を u, v を用いて表しなさい.
解析 II レポート No.5
学籍番号名前 1
(1)
(2)
1
f (x, y) = e x cos y について以下の問いに答えよ.
f (x, y) の 3 次偏導関数までをすべて求めよ1 .
f (x, y) の剰余項を含めて 3 次の項までのマクローリン展開を求めよ.
全部で 9 個あることに注意
解析 II レポート No.6
学籍番号名前 1
2
f (x, y) = x3 − 3x + y2 + xy + y の極値を取る点をすべて求めよ2 .
今回は極値そのものは求めなくてよいものとする
解析 II レポート No.7
学籍番号名前 ∫∫
1 a > 0 は定数とし, D = {(x, y)|
x +y ≤ a ,
2
2
2
y ≤ 0} 上の積分 I =
x2 ydxdy を考える. このと
D
き，以下の問いに答えなさい.
(1) D を横線領域と縦線領域に表しなさい.
(2) D を横線領域に表した結果を用いて I を計算せよ.
(3) D を縦線領域に表した結果を用いて I を計算し, (2) の結果と一致することを確認せよ
.
∫∫
2 D を 2 つの直線 y = x, x = 1 と x 軸で囲まれる領域とし, I =
(x2 − y2 )dxdy を考える. このとき，
D
以下の問いに答えなさい.
(1) D を横線領域と縦線領域に表しなさい.
(2) D を横線領域に表した結果を用いて I を計算せよ.
(3) D を縦線領域に表した結果を用いて I を計算し, (2) の結果と一致することを確認せよ.
解析 II レポート No.8
学籍番号名前 1 f (x, y) は以下の重積分の積分領域において連続であるとする. このとき，次の 2 つの積分の順序
交換をせよ（縦線領域上の積分は横線領域上の積分に，横線領域上の積分は縦線領域上の積分に直しな
さい.）.
∫ ∫
2
(1)
x
I1 =
f (x, y)dydx
1
1
∫ 1∫
(2)
I2 =
0
−y+1
y−1
f (x, y)dxdy +
∫ 0 ∫ √1−y2
−1
−
√
1−y2
f (x, y)dxdy
解析 II レポート No.9
学籍番号名前 1 次の重積分を計算せよ
.
∫∫
√2 2
(1) I =
(x2 + y2 )e x +y dxdy, D = {(x, y)| 4 ≤ x2 + y2 ≤ 9}.
∫ ∫D
(2) I =
(x − 2y) cos(x + 2y)dxdy, D = {(x, y)| 0 ≤ x − 2y ≤ π, 0 ≤ x + 2y ≤ π2 }.
∫ ∫D
(3) I =
(ax2 + by2 )dxdy, D = {(x, y)| x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0}. (ここで, a, b は定数とする.)
D
解析 II レポート No.10
学籍番号名前 1 次の広義積分の値を求めよ
.
"
dxdy
, D = {(x, y)| x + y ≤ 1, x ≥ 0,
(1) I1 =
√
1
−
x
−
y
D
"
dxdy
(2) I2 =
, D = {(x, y)| x ≥ 0, y ≥ 0}.
4
"D (x + y + 1)
2
2
(3) I3 =
x2 e−x −y dxdy.
"R 2
√2 2
(4) I4 =
(x2 + y2 )e− x +y dxdy.
R2
y ≥ 0}.
解析 II レポート No.11
学籍番号名前以下, a > 0 は定数とする.
1 G = {(x, y, z)|
$
x + y + z ≤ a } とするとき, I =
2
2
2
2
(x2 + y2 + z2 )dxdydz を計算せよ.
$
z ≥ 0} に対して, I =
xyzdxdydz を計算
G
2 G = {(x, y, z)|
x2 + y2 + z2 ≤ a2 ,
x ≥ 0,
y ≥ 0,
G
$
せよ.
3 次の (1)∼(3) の集合 G に対して, I =
(1) G = {(x, y, z)|
(2) G = {(x, y, z)|
(3) G = {(x, y, z)|
x2 + y2 + z2 ≤ a2 ,
x2 + y2 + z2 ≤ a2 ,
x2 + y2 + z2 ≤ a2 ,
z ≤ 0,
x ≤ 0,
x ≥ 0,
(x + y + z)dxdydz を計算せよ.
G
y ≤ 0}.
y ≥ 0, z ≤ 0}.
y ≥ 0, z ≤ 0}.

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