10月17日

光通信理論講義のポイント 10/17
講義 (10/10) の復習 Banach 空間の例
数列空間
関数空間
定理 1 X ノルム空間
(1) 中線定理
´
³
kx + yk2 + kx − yk2 = 2 kxk2 + kyk2
(2) 偏極化（極化等式）
´
1³
kx + yk2 − kx − yk2 + i kix + yk2 − i kix − yk2
hx, yi =
4
定義 2 内積 h•, •i
(1) hx, xi ≥ 0,
hx, xi = 0
⇔
x=0
(2) hx, yi = hy, xi
(3) hx, αyi = α hx, yi
(4) hx, y + zi = hx, yi + hx, zi
定理 3 内積空間 X に対して，k•k =
p
h•, •i はノルムである。
p
定義 4 内積空間 X に対して，ノルム k•k = h•, •i に関して完備な空間を
Hibert 空間という。
講義 (10/17) の内容
定理 5 シュワルツ（Schwarz）の不等式
内積空間 X に対して，
|hx, yi| ≤ kxk kyk
(∀x, y ∈ X)
定理 6 (３. ３) （グラム - シュミット（Gram-Schmidt）の直交化法）
{xn } ⊂ H を互いに線形独立な元の集合とする。このとき，
e1 =
en =
x1
，
kx1 k
n−1
X
yn
，yn = xn −
hek , xn i ek
kyn k
k=1
とおくと，{en ; n ∈ N} は H の ONS である。
(n = 2, 3, · · · )
定理 7 (３. ４) （1）ピタゴラス：
2
2
x⊥y ⇒ kx + yk = kxk + kyk
2
（2）有限な ONS {xk } (k = 1, 2, · · · , n) に対して，
°
°2
n
n
°
°
X
X
°
°
2
kxk = °x −
hxk , xi xk ° +
|hxk , xi| ．
°
°
2
k=1
k=1
（3）ベッセル（Bessel）の不等式：ONS{xn } ⊂ H に対し,
X
n
2
2
|hxn , xi| ≤ kxk ．
定理 8 (３. ５+α) （展開定理）ONS {xn } ⊂ H と任意の x, y ∈ H に対
し，次は同値である：
（1） {xn } が CONS
（2）フーリエ（Fourier）展開：x =
P
n
hxn , xi xn ．
（ここで hxn , xi を x の
フーリエ係数，右辺をフーリエ級数，この等式を CONS {xn } による
x のフーリエ展開という）．
（3） {xn } の一次結合全体は H で稠密である。
（4）パーセヴァル（Parseval）の等式：hx, yi =
P
n
hx, xn i hxn , yi．
2
（5）リース - フィッシャー（Riesz-Fischer）の等式：kxk =
P
n
|hxn , xi|2 ．

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