10月31日

光通信理論講義のポイント 10/31
講義 (10/17) の復習
定理 1 シュワルツ（Schwarz）の不等式
内積空間 X に対して，
|hx, yi| ≤ kxk kyk
(∀x, y ∈ X)
定理 2 (３. ３) （グラム - シュミット（Gram-Schmidt）の直交化法）
{xn } ⊂ H を互いに線形独立な元の集合とする。このとき，
e1 =
en =
x1
，
kx1 k
n−1
X
yn
，yn = xn −
hek , xn i ek
kyn k
(n = 2, 3, · · · )
k=1
とおくと，{en ; n ∈ N} は H の ONS である。
定理 3 (３. ４) （1）ピタゴラス：
x⊥y ⇒ kx + yk2 = kxk2 + kyk2
（2）有限な ONS {xk } (k = 1, 2, · · · , n) に対して，
°2
°
n
n
°
°
X
X
°
°
2
kxk = °x −
hxk , xi xk ° +
|hxk , xi| ．
°
°
2
k=1
k=1
（3）ベッセル（Bessel）の不等式：ONS{xn } ⊂ H に対し,
X
n
|hxn , xi|2 ≤ kxk2 ．
定理 4 (３. ５+α) （展開定理）ONS {xn } ⊂ H と任意の x, y ∈ H に対
し，次は同値である：
（1） {xn } が CONS
（2）フーリエ（Fourier）展開：x =
P
n
hxn , xi xn ．
（ここで hxn , xi を x の
フーリエ係数，右辺をフーリエ級数，この等式を CONS {xn } による
x のフーリエ展開という）．
（3） {xn } の一次結合全体は H で稠密である。
2
（4）リース - フィッシャー（Riesz-Fischer）の等式：kxk =
（5）パーセヴァル（Parseval）の等式：hx, yi =
P
n
P
n
2
|hxn , xi| ．
hx, xn i hxn , yi2 ．
証明. (1)⇒(2)：数列
(
m
X
k=1
)
2
|hxk , xi| ; m ∈ N
は，ベッセルの不等式
2
|hx1 , xi| ≤
2
X
k=1
m
X
2
|hxk , xi| ≤ · · · ≤
k=1
2
|hxk , xi| ≤ · · · ≤
∞
X
k=1
2
|hxk , xi| ≤ kxk
2
より，有界な単調増加列であるので収束列である．よって，
ym ≡
m
X
k=1
hxk , xi xk
とすると，
°2
°m
n
°
°X
X
°
°
2
kym − yn k = °
hxk , xi xk −
hxk , xi xk °
°
°
k=1
k=1
°2
° m
°
° X
°
°
=°
hxk , xi xk °
°
°
=
k=n+1
m
X
k=n+1
2
|hxk , xi| → 0
(m > n → ∞)
したがって，{ym ; m ∈ N} は，コーシー列であるから，H の完備性より，y ∈ H
が存在して，
ym → y
(m → ∞)
となる．また，任意の n に対して，
E
D
hxn , yi = xn , lim ym =
m→∞
*
xn ,
∞
X
k=1
hxk , xi xk
+
= hxn , xi
すなわち，
hxn , x − yi = 0
(∀n ∈ N)
ゆえに，{xn } が CONS であるから
x=y
である．
(2)⇒(3)：任意の x ∈ H に対して，
°
°
m
°
°
X
°
°
hxk , xi xk ° → 0
°x −
°
°
k=1
(m → ∞)
より，{xn } の一次結合の全体の中に x に収束するベクトル列 {ym } が存在す
る。よって，{xn } の一次結合の全体は H で稠密である。
2
講義 (10/31) の内容
定理 5 (３. ５+α) （展開定理）ONS {xn } ⊂ H と任意の x, y ∈ H に対
し，次は同値である：
（1） {xn } が CONS
（2）フーリエ（Fourier）展開：x =
P
n
hxn , xi xn ．
（ここで hxn , xi を x の
フーリエ係数，右辺をフーリエ級数，この等式を CONS {xn } による
x のフーリエ展開という）．
（3） {xn } の一次結合全体は H で稠密である。
2
（4）リース - フィッシャー（Riesz-Fischer）の等式：kxk =
（5）パーセヴァル（Parseval）の等式：hx, yi =
P
n
P
n
2
|hxn , xi| ．
hx, xn i hxn , yi．
H の線形部分空間を H の部分空間といい，H のノルム k·k で閉じている
部分空間を H の閉部分空間という．
K を H の任意の部分集合とすると，
K⊥ ≡ {x ∈ H; hx, yi = 0, ∀y ∈ K}
は H の閉部分空間となり，これを K の直交補空間という．
H の二つの閉部分空間 K，L において，
hx, yi = 0
(∀x ∈ K, ∀y ∈ L)
であるとき，K と L は互いに直交するといい，K⊥L で表す．
直和 K ⊕ L ≡ {x + y; x ∈ K, y ∈ L} も H の閉部分空間となる．
定理 6 (3.6) （最短距離定理）K が H の閉部分空間であるとき，x ∈ H に
対して d ≡ dist (x, K) ≡ inf {kx − zk ; z ∈ K} とおくと，y ∈ K が一意に存
在して d = kx − yk となる．
（このとき，x 7→ y を y ≡ PK x とおき，PK を
H から K への射影作用素という.）

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