! 第3章 関係
! 第4節 商集合
! 第4章 論理
! 第1節 命題とは
! 第2節 命題論理
定義3.5
を集合， を同値関係とする．
R ✓ A2
による の商集合 : 同値類 の集合
! 例3.8： を任意の自然数として，
関係 とする．
任意の
について，
とすれば，
! 例3.7：
2
R= = {(a, b) : a = b} ✓ R とすると，
! 問3.9：関係 R3 = {(a, b) : 3|(a
b)}
を 上
の同値関係とする． を求めよ．
3.3
R✓A
を集合， を同値関係とする．
このとき， は の分割である．
2
! 例3.9：
! 例3.10：例3.6の は の分割．
! 問3.11：関係R3 = {(a, b) : 3|(a
b)}を 上
の同値関係とする．
， が の
分割であることを確かめよ．
R= = {(a, b) : a = b} ✓ R2とする，
このとき， は の分割である．
定義4.1
一般にある事柄を述べたものを言明といい，それが（万
人にとって）正しければ真（true）であるといい，そうで
なければ偽（false）であるという．
定義4.2
「真（true）」か「偽（false）」のどちらか一方に一意
に定められる「言明」を命題という．
!
例4.1：以下は全て命題である．
! 問4.1：以下のうち，命題であるものはど
! 1たす1は2である．（真）
れか．
! 1たす1は3である．（偽）
! Aを集合，R A2を関係とした場合，A/RはAの分
割である．（定理3.3，真）
!
! 一次関数y=ax+bの直線は，(x,y)=(1,a+b)を
通る．
! xnをxについて微分した式はxn-1である．
以下は命題ではない．
! xについての二次方程式x2+ax+b=0は実数解
! 離散数学は難しい．
をもつ．
! x+y=1が成り立つ
真を1，偽を0と表す．0または1を値にとる
変数を論理変数(Boolean variable)という．
定義4.3
定義4.4
と を論理変数とする．
： と の論理和，意味「 または 」
： と の論理積，意味「 かつ 」
真理値表
： の否定，意味「 ではない」
論理変数，論理和，論理積，及び否定で表される式を，
命題論理による論理式，または単に論理式という．
厳密には，以下のように帰納的に定義される．
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1．論理変数自体は論理式である．
2． ， が論理式であるなら，以下は論理式である．
論理式 が論理変数
からなるとき，
を
上の論理式という．
!
例4.2：以下のものは全て論理式である．
! ! ! !
問4.2：以下の論理式の真理値表を示せ．
! ! !
注： は省略される場合がある．
! 第3章 関係
! 第4節 商集合
! 第4章 論理
! 第1節 命題とは
! 第2節 命題論理
! 第3章章末問題，第4章章末問題1
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