アブストラクト

Almost sure global well-posedness for the periodic fourth order
Sch¨odinger equation
加藤孝盛（名古屋大学高等研究院）
以下の 4 次 Schr¨
odinger 型方程式を考える.
i∂t u + c0 ∂x4 u = c1 |u|4 u + α¯
u(∂x u)2 + 2βu|∂x u|2 + βu2 ∂x2 u¯ + (α + β)|u|2 ∂x2 u.
(1)
ここで c0 , c1 , α, β ∈ R, c0 ̸= 0 及び u : R × T → C. 本研究では u(0, x) = φ(x) と
して初期値問題を考察する. スケール変換 u(t, x) → |8c1 /3c0 |1/4 u(t/c0 , x) によって
c0 = 1, c1 = −3γ/8 とできるため, 以下この条件を仮定する. ただし γ = −1, 0 ま
たは 1. (1) は, 渦糸の運動を記述するモデルとして 2000 年に Fukumoto-Moﬀatt に
よって提唱された. また解が十分滑らかな場合, (1) は次の 3 つの保存量を持つ.
∫
∫
1
1
2
E1 (u) :=
|u| dx, P (u) :=
Im u¯∂x u dx,
2π T
2π
T
∫
1
γ
H(u) :=
|∂ 2 u|2 + |u|6 + (α + β)|u|2 |∂x u|2 + β Re u¯2 (∂x u)2 dx.
4π T x
8
特に係数が (α, β, γ) = (±3/2, ±1/2, 1) を満たすとき, (1) は可積分系とよばれ無限
個の保存則を持つことが知られている. 本研究の目的は, 初期値を確率変数で与え
た場合に Gibbs 測度が (1) の ﬂow の下で不変であることと a.s. 意味で大域適切性
(GWP) が成立することを証明することである. ここで Gibbs 測度とは, 形式的には
上述のハミルトニアン H(u) = H(u, u
¯) を用いて, e−H(u,¯u) dud¯
u と定義される測度を
正規化したものを指す. これを定数 Z を用いて Z −1 e−H(u,¯u) dud¯
u と書く. このハミ
ルトニアンから誘導される初期値の確率変数 φω : Ω → H s (T) は
ω 7→ φω :=
∑ gn (ω)
einx + a, (a : 定数)
n2
n∈Z\{0}
で与える. ここで {gn } は独立同分布の複素数値ガウス型確率変数である. ω を固定
するごとに φω が定義できる空間は, H s (T), s < 3/2 であることに注意する. そこ
で H s (T), s < 3/2 で局所適切性 (LWP) を示す. この際に逐次近似法を用いてある
意味で「良い」評価を構成することができれば, 1994 年に Bourgain([Bo]) が構築し
た手法を応用することができ, Gibbs 測度の不変性を証明できる. 一方 LWP をエネ
ルギー法で導き, その際に得られるアプリオリ評価だけではこの手法を適用するこ
とが難しい.
まず (1) の LWP を逐次近似法で示す. この証明のアイデアは津川光太郎氏の概要
に詳細なものが書かれているため, ここでは簡単に述べる. T 上では線形部分から従
う平滑化効果が存在しないため, (1) には可微分性の損失が生じる. そのためどのよ
うな H s (T), s ∈ R に対しても直接的な逐次近似法は機能しない. この問題を解消す
1
るため, 保存量 E1 と P を用いて (1) を以下の方程式に書き換えることによって最も
評価の難しい微分の損失を持つ「共鳴部分」を相殺する.
i∂t u + ∂x4 u − (α + β)E1 (φ)∂x2 u − 2i(α − β)P (φ)∂x u
(2)
3
= − γ|u|4 u + N (3) (u, ∂x u, ∂x2 u) − (α + β)E1 (u)∂x2 u − 2i(α − β)P (u)∂x u.
8
ここで N (3) (u, ∂x u, ∂x2 u) = α¯
u(∂x u)2 + 2βu|∂x u|2 + βu2 ∂x2 u¯ + (α + β)|u|2 ∂x2 u. 方程
式の対称性に着眼して, (2) に「normal form reduction」を用いることで本質的に微
分の損失を含まない以下の方程式に帰着できる.
∫ t
[ ′
]t
′
Gφ,L (v(t′ )) dt′
v(t ) + Fφ,L (v(t )) 0 =
0
ここで v は解 u の線形作用素による引き戻しである. また Fφ,L (v) は 5 次以下, Gφ,L (v)
は 9 次以下の非線形項であり, 本質的に微分の損失を含まないため Sobolev の埋め込
みによって以下の評価が得られ, 逐次近似法から s ≥ 1 で LWP を証明できる.
命題 1. s ≥ 1 とする. このとき, ある a, b > 0 が存在し, 次の評価が成立する.
(
)
Fφ,L (v1 (t′ )) − Fφ,L (v2 (t′ )) s ≤ CL−a 1 + ∥v1 ∥H s + ∥v2 ∥H s 4 ∥v1 − v2 ∥H s ,
H
(
)
′
′
Gφ,L (v1 (t )) − Gφ,L (v2 (t )) s ≤ CLb 1 + ∥v1 ∥H s + ∥v2 ∥H s 8 ∥v1 − v2 ∥H s .
(3)
H
定理 2. s ≥ 1 とする. 初期値を φ ∈ H s (T) としたとき T = T (∥φ∥H 1 ) > 0 が
存在し, (2) の解 u ∈ C([−T, T ] : H s (T)) が一意的に存在する. さらに ﬂow map
H s (T) ∋ φ 7→ u(t) ∈ H s (T) が一様連続である.
この結果と Bourgain([Bo]) の結果を組み合わせることによって, L2 cut-oﬀ を施
した Gibbs 測度 ρ := Z −1 e−H(u,¯u) χ{∥u∥L2 ≤R} dud¯
u が X := ∩1≤s<3/2 H s (T) において
確率測度として厳密に定義することができ, 次の主定理が得られる.
定理 3. X 上の測度 ρ は, (2) の ﬂow の下で不変である. さらに ρ に関して a.s. の
意味で (2) の GWP が成立する.
この証明の概要は, まず SN (φ)(x) =
∑
|n|≤N
einx φ(n)
b
によって定義される射影作
用素 SN を (2) に施すことで, 有限次元の ODE に近似する. 次にこの有限次元の近
似方程式の Gibbs 測度が不変であることを Liouville の定理を用いて証明する. そ
してこの不変性と (3) を組み合わせることによって a.s. の意味で (2) の局所解を時
間大域的に延長することができ, Gibbs 測度 ρ の不変性を示すことができる. この
証明の中で有限次元に近似された方程式の解が (2) の解に一様収束することが鍵と
なり, それを得るために (3) のような「良い」評価を構築する必要がある.
参考文献
[Bo] Bourgain, Periodic nonlinear Schr¨odinger equation and invariant measures,
Comm. Math. Phys. 166 (1994), 1–26.

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