日心第70回大会（2006）
説明変数のある多母集団連続反応モデル
服部環
（筑波大学人間総合科学研究科）
key words : 連続反応モデル，MCMC，WinBUGS
Wang & Zeng（2000）は連続反応モデル（以下，CRM；
Samejima,1973）の母数を推定する周辺最尤法を提案し，荘島・
として 3 回のシミュレーションを行い，Gibbs サンプルの事後
豊田（2004）は CRM と他のモデルを混在させて母数を推定
平均をモデル母数の推定値とした（表 1）。期待通りに 3 回の
した。荘島（2003）は因子分析法を用いる推定方法を論じ，齋
実験とも，βl = 0(l = 1, 2, · · · , 5) と言える。
藤（2005）は周辺最尤推定法と因子分析法を用いた方法を概観
している。一方，服部（2006）は WinBUGS（Spiegelhalter,
Thomas & Best,2000）を用いて CRM を多母集団へ適用した
プログラムを書き，項目と受験者の未知母数を推定した。本稿
では，説明変数のある多母集団 CRM の未知母数を WinBUGS
によって推定した。
モデルと事前分布
モデル CRM は特性値 θi の受検者が項目 j で得点 x を取る
確率 P (Xj = x|θi ) を次式によって定義する。
P (Xj = x|θi ) = P (Xj ≥ x|θi ) − P (Xj ≥ x + 1|θi )
(1)
ここで，P (Xj ≥ x|θi ) は x 点以上を取る確率であり，本稿は
次式を用いた。ただし，D = 1.702 である。
P (Xj ≥ x|θi ) = [1 + exp(−Dbzi )]−1
µ
¶
1
x
ここで， bzi = aj θi − bj −
log
αj
Kj − x
(2)
bj は困難度，aj は識別力，αj は log x/(Kj − x) の尺度を θi
の尺度へ変換するための係数，Kj は項目 j の満点である。
さらに，θi を説明変数 wil (l = 1, 2, · · · , p) を用いて
θi = β0 +
p
X
βl (wil − w
¯ l ) + ei
バーンインのサンプル数を 1000，Gibbs サンプル数を 10000
表 1 母数の推定値（Gibbs サンプルの平均と標準偏差）
1 回目
2 回目
3 回目
母数真値
平均
SD
平均
SD
平均
SD
a1
1
1.16 0.23
1.16 0.23
1.16 0.23
a2
1
1.30 0.25
1.30 0.25
1.31 0.25
a3
1
1.05 0.20
1.04 0.19
1.04 0.19
a4
1
1.20 0.24
1.19 0.23
1.19 0.23
a5
1
0.80 0.14
0.80 0.14
0.80 0.14
b1
−2
−1.89 0.30
−1.89 0.31
−1.89 0.31
b2
−1
−1.06 0.21
−1.06 0.22
−1.06 0.22
b3
0
−0.25 0.18
−0.25 0.18
−0.26 0.18
b4
1
1.05 0.20
1.06 0.21
1.05 0.20
b5
2
2.15 0.33
2.18 0.34
2.15 0.32
α1
1
1.19 0.17
1.18 0.17
1.19 0.17
α2
1
1.06 0.14
1.05 0.14
1.06 0.14
α3
1
1.04 0.14
1.03 0.14
1.04 0.14
α4
1
1.04 0.14
1.03 0.14
1.03 0.14
α5
1
0.94 0.15
0.93 0.14
0.94 0.15
β1
0
0.09 0.12
0.09 0.13
0.08 0.12
β2
0
0.06 0.10
0.05 0.10
0.06 0.10
β3
0
0.19 0.12
0.19 0.12
0.20 0.12
β4
0
−0.09 0.11
−0.08 0.11
−0.08 0.11
β5
0
0.12 0.10
0.12 0.10
0.12 0.10
μ2
0.5
0.42 0.21
0.43 0.21
0.41 0.21
τ2
1.0
1.24 0.38
1.21 0.37
1.23 0.37
実データを用いた計算例全学共通教育 57 科目に対して実施
された授業評価に対する回答（服部・上殿・宇都宮・清水・徳
(3)
田・本橋 [2005]）を用いた。ここでは「授業内容（5 項目），授業
のように重回帰予測する。β0 は定数であるが，母数を識別する
計点を 0 点から 10 点の 11 カテゴリへ変換し，3 尺度の得点と
l=1
方法（4 項目），授業姿勢（3 項目）」の 3 領域に対する回答の合
ために 0 へ固定する。また，ei は予測誤差である。
した。説明変数は受講生の興味度（5 段階評定）である。回答
事前分布集団 g の受検者 i の egi の事前分布と超母数の事前
者は 875 名であった。バーンインのサンプル数を 5000，Gibbs
分布，また，項目母数，回帰係数の事前分布を以下の通りとし
サンプル数を 10000 として 2 回のシミュレーションを行い，
た。WinBUGS の表記法に倣い，τg と ψ は分散の逆数である。
Gibbs サンプルの事後平均を母数の推定値とした（表 2）。
P
θi の平均と pl=1 βl (wil − w
¯l ) の平均の相関は 0.384（R2 =
0.15）であり，興味の説明力が大きいとは言えない。しかし，
また，母数を識別するために，μ1 = 0，τ1 = 1 とする。
egi ∼ N ormal(μg , τg )
μg ∼ N ormal(0, ψ)
帰無仮説：β1 6= 0 を棄却でき（p < 0.01），興味度の高い受講
τg ∼ Gamma(3, 2)
表 2 実データの推定値（Gibbs サンプルの平均と標準偏差）
1 回目
2 回目
ψ ∼ Gamma(0.5, 0.5)
aj , αj ∼ Log − normal(0, 4)
bj , βl ∼ N ormal(0, 0.1)
計算例
人工データを用いた計算例母集団数を 2，各群の受検者数
を 50，項目数を 5 として CRM に従う人工データを発生し
た。母集団 1 の特性値の平均は 0，分散は 1，母集団 2 の平均
は 0.5，分散は 1.0，項目母数の真値は aj = 1，bj = j − 3，
αj = 1(j = 1, 2, · · · , 5) である。また，説明変数の数を 5 つと
し，標準正規乱数によって与えた。項目得点は 1 点刻みで 0 点
から 10 点までの 11 カテゴリとしたが，Gibbs サンプリングを
行う際には，0 点を 0.01 点，10 点を 9.99 点とした。
生ほど授業を肯定的に評価する傾向にあったと言える。
母数
平均
標準偏差
平均
標準偏差
a1
a2
a3
b1
b2
b3
α1
α2
α3
β1
ψ −1
1.95
2.13
1.78
−0.92
−0.51
−0.72
1.40
1.24
1.49
0.40
0.14
1.32
0.158
0.199
0.141
0.081
0.069
0.075
0.083
0.072
0.091
0.045
0.045
0.158
1.95
2.14
1.78
−0.91
−0.50
−0.71
1.41
1.24
1.49
0.40
0.14
1.31
0.165
0.188
0.145
0.083
0.071
0.077
0.086
0.071
0.093
0.044
0.043
0.160
τg−1 の平均
(HATTORI Tamaki)