ポイント11 『三角形の合同条件』ア) 3辺の長さが等しい。イ) 2辺と挟む角が等しい。ウ) 1辺と両端の角が等しい。ア), イ), ウ) のどれかが成り立てばよい。 ※入試では、イ),ウ)の場合がほとんど全てです。また、直角三角形では a) 斜辺と1つの鋭角が等しい。 b) 斜辺と他の1辺が等しい。 a) または b) が成り立てばよい。 ※ 答案で直角三角形の合同条件を用いる場合は、その三角形が直角三角形であることを示す必要があります。基礎編練習34 長方形の紙ABCDを図のようにEFで折り返したとき、点C, 点Dはそれぞれ点C', D' に移動しました。このとき、AFとC'Eの交点をGとし、点GからEF, FC'にそれぞれ垂線GH, GIを引きました。 EG=GC'=AG であり、EG=6, EH=3, ∠EFC'=90°のとき、以下の問いに答えなさい。 (1) △EHGと△GIC' が合同であることを証明しなさい。 (2) ABの長さはいくつですか。 (3) 長方形ABCDの面積はいくつですか。基礎編練習34 解き方) 県入試によく登場する、折り返し図形の応用問題です。ポイントは、『折り返し図形であることの特徴(平行線の性質など)を使う』『相似な図形、合同な図形に着目する』です。なお、県入試では、辺の比が1： 2 である長方形を1回折った後に、さらにもう1回折るというパターンが続いています。 (1) △ EHGと △ GIC′ において ∠EHG = ∠GIC = 90° ・・・① ∠EFC′ = ∠GIC′ より EF//GI となるから、 ∠GEH = ∠C′GI ・・・② 平行線の同位角は等しい条件より GE = C′G ・・・③ ①, ②, ③ より直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しくなるから、 △ EHG ≡△ GIC′ である。 ※①がないと、直角三角形の合同条件を満たさないので注意。 (2) GE：EH = 2：1 より、 △ GEHは鋭角が30°, 60°の直角三角形になり、GH = 3 3 になる。 △ EC F ∽△ EGH より、C F = 2 × GH = 6 3 ∠EGH = ∠GC I であり、C E//D F であるから、 (※ 元々、長方形の向かい合う辺同士なので平行になります。) ∠GC I = ∠C FD = 30° となる。したがって、 △ C FD も鋭角が30°, 60°の直角三角形になり、 1 1 C D = ×C F= ×6 3=3 3 2 2 C D = CD = BA であるから、AB = 3 3 ・・・（答 (3) GH//C F であり、GはEC′の中点であるから、HはEFの中点になる。 (※中点連結定理より) よって、GHは∠EGFの二等分線となり、∠EGF = 60°であるから、 △ GEFは正三角形となり、GF = 6 である。 AD = AG + GF + FD であり、AG = GC = 6, GF = 6, FD = FD = 6 3 × AD = 6 + 6 + 9 = 21 以上より、長方形ABCDの面積 = AB × AD = 3 3 × 21 = 63 3 ・・・（答 3 = 9 より 2 ※この問題を通して学べることは・・・ □ (直角)三角形の合同条件 □ 三角形の相似 □ 二等辺三角形の頂角の二等分線 □ 平行線の性質 □ 特別な形の直角三角形 □ 中点連結定理今回は登場しませんが、三平方の定理が絡んでくる場合も多いです。 1つの問題で、少なくともこれだけ多くの内容を含むので、毎年のように出題されるのも何となく理解できる気がします。