証明

証明
２．証明
１．証明とそのしくみ
復習：∠ＡＯＢの二等分線ＯＲを作図して下さい。
Ａ
①点Ｏを中心として円弧を書きＯＡ，ＯＢとの
交点をＰ，Ｑとする。
②点Ｐ，Ｑを中心として同じ半径で円弧を書き
交点をＲとする。
③ＯＲを結ぶ
Ｏ
Ｂ
例題：上記の方法で∠ＡＯＲ＝∠ＢＯＲとなることを証明しなさい。
あることがらが成り立つことを、筋道を立てて明らかにすることを
を結びます。
元の図に補助線を追加
するときは、必ず書く
において
どこの三角形を使って
証明を進めるかを書く
作図から（コンパスの半径として書いたので）
最初から与えられて
ＯＰ
＝
（
）
①
ＰＲ
＝
（
）
②
分かっている条件を
等しくなる理由と
等しい内容と
共通な辺なので（自分で探し出した等しい条件）
番号を書きます
ＯＲ
＝
（
）
③
①②③より
２つの三角形は
ので
△
したがって、∠
∴
∠
合同条件を書きます
≡△
ＰＯＲ
＝∠
ＡＯＲ
＝∠
仮定から導こうとしていること、導いたことを
1
証明
2
問１．次のことがらについて、
仮定と結論をいいなさい。
○○○ ならば △△△ である
仮定
結論
(ｱ)△ ＡＢＣ ≡ △ ＤＥＦならば、ＡＢ＝ＤＥである。
仮定
結論
(ｲ)• // m ， m // n ならば、 • // n である。
仮定
結論
(ｳ)正三角形ならば、三辺が等しい。
仮定
結論
問２．四角形ＡＢＣＤで、ＡＢ＝ＡＤ，ＢＣ＝ＤＣならば∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣである。
このことを証明しなさい。
Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｂ
ＡＣを結んで
△ＡＢＣと△（
（
）において
）より
（
ＡＢ
＝（
） …
①
ＢＣ
＝（
） …
②
ＡＣ
＝（
） …
③
）なので
①，②，③より（
△（
）がそれぞれ等しいので
）≡△（
）
合同な図形では、対応する角の大きさは等しいから、
∠（
）＝∠（
）
証明
問３．線分ＡＢと線分ＣＤが点Ｏで交わっているとき、
Ｄ
Ａ
ＡＯ＝ＢＯ，ＣＯ＝ＤＯならば、ＡＣ＝ＢＤで
Ｏ
あることを次のように証明しました。 ① ,② ,③ に
当てはまる根拠を下のア～エから選びなさい。
Ｂ
Ｃ
△ＯＡＣと△ＯＢＤで、
ＡＯ＝ＢＯ
ＣＯ＝ＤＯ
∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ
①
②
△ＯＡＣ≡△ＯＢＤ
③
ＡＣ＝ＢＤ
ア）平行線の性質
イ）合同な図形の性質
ウ）三角形の合同条件
エ）対頂角の性質
２．合同条件と証明の進め方
線分の長さや角の大きさの等しいことを証明したい場合
1)直接、線分や角の等しいことはほとんどいえないので、
証明する線分や角を含んでいて、なおかつ合同になりそうな２つの三角形をさがす。
2)次に、結論以外の要素で、２つの三角形が合同になるような条件をさがす。
3)合同が証明されたら、合同な図形では、
対応する線分の長さや、対応する角の大きさが等しいことを利用し結論を導く。
D
A
B
E
C
F
3
証明
4
問４．∠ＤＡＢ＝∠ＡＤＣ，∠ＢＤＡ＝∠ＣＡＤ
ならば、ＤＢ＝ＡＣであることを証明したい。
Ａ
Ｄ
(ｱ)どの三角形とどの三角形の合同をいいますか。
(ｲ)等しいことが分かっている辺や角を書きなさい
Ｂ
Ｃ
(ｳ)使う三角形の合同条件を書きなさい。
(ｴ)結論を書きなさい。
l
Ａ
問５．ＡＢ ¥ＣＤの折れ線ＡＢＣＤで、線分ＢＣの
中点Ｏを通る直線 l が、ＡＢ，ＣＤと、それぞれ、
Ｐ
点Ｐ，Ｑで交わっている。このとき、
ＢＰ＝ＣＱである。このことを、証明しなさい。
Ｂ
＜仮定＞
Ｏ
Ｃ
＜結論＞
（
//
）
（
＝
）
（
＝
）
Ｑ
Ｄ
＜証明＞
（△
ＢＰとＣＱを辺にもち合同になりそうな三角形をさがす。
△（
）と△（
）と（△
）
）において
←
場所を指定
ＯはＢＣの中点なので
（
）＝（
）… ①
←
与えられている条件
）＝∠（
）… ②
←
与えられている条件
）＝∠（
） … ③
←
自分で見つけた条件
ＡＢ //ＣＤなので、錯角が等しいから
∠（
対頂角は等しいので
∠（
①，②，③より（
△（
）が、それぞれ等しいので ←
）≡△（
合同な図形では、対応する辺の長さが等しいから
ＢＰ＝ＣＱ
三角形の合同条件
）
←
合同な図形の性質
証明
問６．右の図で、 l¥m とする。
このとき、ＡＢの中点Ｍを通る直線が l， m と交わ
る点を、それぞれ、Ｐ，Ｑとする。点Ｍは、ＰＱの
Ｐ
l
Ａ
中点にもなることを証明しなさい。
仮定（
）
（
）
結論（
）
Ｍ
m
証明
△（
）と△（
仮定より（
）において
）＝（
（
）…①
）は等しいので
∠
ＰＭＡ
l¥m より（
← 対頂角の性質
＝∠（
）…②
）は等しいので
∠（
← 平行線の性質
）＝∠（
）…③
①，②，③より（
△（
）ので
）≡△（
（
← 三角形の合同条件
）
合同な図形では、対応する辺の長さが等しいから
∴
Ｑ
Ｂ
）＝（
← 合同な図形の性質
）
したがって、点ＭはＰＱの中点になる。
復習．次の図において、 ∠ x の大きさを求めなさい。（ l¥m ）
(ｱ)
(ｲ)
(ｳ)
20°
35°
40 °
l
100 °
110°
x
m
x
x
30 °
5

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