OU秋期講座（図形の面積を測る．積分の定義）10月25日

ＯＵ秋期講座（図形の面積を測る．積分の定義）１０月２５日
問題
1. 関数 f (x) = 3χ[2,3) (x) + 4χ[5,8] (x) + 5χ{11} (x) + 12χ(−3,−2) (x) − 2χ(−3,2) (x) に対して，
∫
f (x) dx を計算せよ．
R
問題 2. f (x) = χ[3,4) (x) + 10χ[2,8] (x) + 100χ(4,67) (x) + 10000χQ (x) + 100000χ{5,28} (x) を R 上
積分すると，積分値はいくらか？
問題 3. α ∈ R として xα が区間 (0, 1) 上で可積分になる実数 α の条件を求めよ. すなわち，
∫ 1
xα dx < ∞ となる α ∈ R を求めること．
0
問題 4. f が [1, ∞) 上で定義された連続関数のとき，広義リーマン積分は
∫
∫
∞
f (t) dt = lim
R→∞
1
∫
∞
で定義される．次の積分 Ja =
1
めよ．
問題 5. fn (x) = x
n
∑
R
f (t) dt
(0.1)
1
dt
を (i)a = 1, (ii)a > 1, (iii)a < 1 のときに場合分けして求
ta
e−kx , x ≥ 0 とおく．
k=1
∫
∞
fn (x) dx を計算せよ．
(1)
0
∫
∞
(2)
0
x
dx を計算せよ．
ex − 1
【追記】1 +
1 1
1
π2
+ +
+ ··· =
は断りなしに用いて構わない．
4 9 16
6
問題 6. fn (x) = 1 + x2 + · · · + x2n−2 , gn (x) =
χ(0,1−n−1 ) (x)
, 0 < x < 1 とおく．
1 − x2
(1) lim fn (x) を求めよ．
n→∞
∫
1
gn (x) dx を求めよ．
(2)
0
∫
1
(3)
0
1
dx を求めよ．
1 − x2
1 1
1
+ + ··· +
+ · · · を計算せよ．
3 5
2n − 1
∫
∫
sin2 (hx)
2
問題 7. 正値可測関数 f : R → [0, ∞) につき， x f (x) dx < ∞ と sup
f (x)
dx < ∞
h2
h>0 R
R
は同値であることを示せ．
(4) 1 +
問題 8.
1
(1) 次の条件を両立する R を定義域，値域とする連続関数の列 {fj }∞
j=1 を与えよ．
(A) 各 j につき，適当な a(j) が存在して，{fj (x) > 0} = (a(j), a(j) + 2) の形をしている．
(B) 各点収束の意味合いで lim fj (x) = 0
j→∞
∫ ∞
fj (x) dx = 1
(C)
−∞
(D) fj (x) ≥ 0 がすべての j = 1, 2, . . . と x ∈ R につき成り立つ．
(2) この関数列 {fj }∞
j=1 の存在を参考に，ファトゥの補題の結論に関する注意点を与えよ．
問題 9. fn (x) = 1 − x3 + · · · + (−x3 )n−1 , 0 < x < 1 とおく．
∫
1
(1) I =
0
(2) S = 1 −
∫
【追記】
1
dx を求めよ．
1 + x3
(−1)n−1
1 1
+ − ··· +
+ · · · を計算せよ．
4 7
3n − 2
dx
1
1
1
2x − 1
= log(x + 1) − log(x2 − x + 1) + √ tan−1 √
+ C.
+1
3
6
3
3
x3
2
問題 1. 3 × 1 + 4 × 3 + 12 × 1 − 2 × 5 = 17
問題 2. 1 + 60 + 6300 = 6361
問題 3. α ̸= −1 のとき,
∫
∫
1
1
α
x dx = lim
ε→0
0
[
1
x dx = lim
xα+1
ε→0 α + 1
]1
α
ε
= lim
ε
ε→0
1
(1 − εα+1 ).
α+1
ここで α + 1 > 0 のときは lim εα+1 = 0 より収束する. α + 1 < 0 のときは lim εα+1 = ∞ で発
散. 次に α = −1 のとき,
∫
1
ε→0
x−1 dx = lim
0
ε→0
∫
ε→0
ε
1
x−1 dx = lim [log x]1ε = − lim log ε = ∞.
ε→0
ε→0
よって，α > −1 のとき，xα は [0, 1] 上でリーマン可積分である.
問題 4. (i) J1 = ∞, (ii) Ja =
1
a−1 ,
(iii) Ja = ∞.
問題 5.
(1)
n
∑
1
k2
k=1
(2)
π2
6
問題 6.
1
1 − x2
−1 (
)
∫
∫
)
1 1−n
1
1
1(
(2)
gn (x) dx =
+
dx =
log n + log(2 − n−1 ) .
2 0
1−x 1+x
2
(1)
(3) ∞
(4) ∞
∫
∫
∫
sin2 (hx)
問題 7. sin2 (hx) ≤ h2 だから， x2 f (x) dx < ∞ ならば，sup
f (x)
dx
≤
x2 f (x) dx <
2
h
h>0 R
R
R
3
∫
∞ である．逆に，sup
h>0
sin2 (hx)
dx < ∞ とすると，ファトウの補題により，
h2
R
∫
∫
x2 f (x) dx =
lim m2 f (x) sin2 (m−1 x) dx
R
R m→∞
∫
=
lim inf m2 f (x) sin2 (m−1 x) dx
R m→∞
∫
≤ lim inf
m2 f (x) sin2 (m−1 x) dx
m→∞ R
∫
sin2 (hx)
≤ sup f (x)
dx
h2
h>0 R
f (x)
<∞
が得られる．
問題 8.
(1) a(j) = j − 1 として，fj (x) = max(0, 1 − |x − j|) とする．
(2) ファトゥの補題の結論に現れる両辺が一致しないことがあるので注意を要する．
問題 9. (1) I =
1
π√
1
π√
log 2 +
3 (2) S = log 2 +
3
3
9
3
9
4

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