解答 - 椎名

平成 26 年 1 月 27 日
物理学演習 C 電磁気学演習
画像科学科椎名
7．マクスウェルの方程式と電磁波
７．マクスウェルの方程式と電磁波レポート
学籍番号
名前
（１）地球は太陽から１m２当たり毎分 20kcal の放射熱を受けている。このとき地上での太陽光の電
8
場の強さを求めなさい。ただし、光速 c = 3!10 m / s 、真空中の誘電率 ! 0 = 8.8 !10
!12
F / m とする。
<>
Lecture12
演習問題４
（２）電球に供給される電力が全部放射として発射されるものとして、100W の電球から１m 離れた点
での電場の強さと磁場の強さの実効値を求めなさい。<>
S=
100
#
= 0 E2
2
4 "r
µ0
E = 54.8 [V /m]
H = 0.145 [A /m]
! 1kW の送信機から等方的に電波が出ている。衛星から 30km の場所
（３）人工衛星に積んである出力
!
におけるポインティングベクトルの平均値＜S>と電場振幅を求めなさい。<08T1415M><07T0654A>
< S >= W / 4πR 2 = 8.8 × 10 −8 [W / m 2 ]
< S >=
2 × 8.8 × 10 −8
= 8.1 × 10 −3 [V / m]
−3
2.7 × 10
ε 0 E0 より、 ε 0
= 2.7 × 10 −3 Ω −1 より、 E 0 =
µ0 2
µ0
（４）マクスウェルの方程式から波動方程式を導きなさい。<>
!
!
!
!
!
!
!
!
!2E
rotE = "!B / !t 、 rotB = "µ!E / !t とから、 rotrotE = " rotB = "#µ 2
!t
!t
!
!
!
!
!
2
2
divE = 0 より、 rotrotE = graddivE " ! E = " " ! E
"
"
2
2
"
したがって、上２式より、 # 2 E = !µ " E = 1 " E
"t 2
c 2 "t 2
(! c = 1 / !µ )
!
!
!
2
2
B についても同様にして、 " 2 B! = #µ ! B = 1 ! B
!t 2 c 2 !t 2
（５）電場が E x =
2.3
z
sin10 5 (t ! ) [V/m]で表される平面電磁波の空気中における磁場の強さを求めな
5
10
v
さい。<>
∂E x / ∂z = − µ 0 ∂H y / ∂t
− µ 0 ∂H y / ∂t = ∂E x / ∂z = −(ωE / v) cos(t − z / v)
∴ H y = (ωE / µ 0 v) ∫ cos ω (t − z / v)dt = ( E / µ 0 v) sin t − z / v)
= 2.3 /(4 × 3.14 × 10 −7 × 10 5 × 3 × 10 8 ) sin 10 5 (t − z / 3 × 10 8 )
= 6.1 × 10 −8 sin 10 5 (t − z / 3 × 10 8 )
r -14
[ A / m]
平成 26 年 1 月 27 日
物理学演習 C 電磁気学演習
画像科学科椎名
7．マクスウェルの方程式と電磁波
!
!
!
!
!2 E y !2 E y
= 2 （y 方向の電場）
（６）一様な金属中では、 D = ! E 、 E = ! i が成り立つ。このとき、 !µ
!t 2
!x
は次式となることを示しなさい。<>
!µ
!2 E y µ !E y !2 E y
+
= 2
!t 2 ! !t
!x
!
! ! !D
"E
"H z
より、 !
rotH = i +
=! y
!t
"x
"t
"E
"E 1
!H
! z = " y + iy = " y + E y より上式。
!x
"t
"t #
（７）ｚ軸方向に進む平面電磁波の電場ベクトルのｘ、ｙ成分が E x = E 0 x cos(ωt − kz ) 、
E y = E 0 y cos(ωt − kz ± π / 2) （ｎは整数）で表されるとき、電磁波の電場ベクトル、磁場ベクトルの先
端はどのような線を描くか答えなさい。<>
π
π
E y = E 0 x cos(ωt − kz ± ) =  E 0 x cos(ωt − kz )
E x = E 0 x cos(ωt − kz )
2
2
2
2
2
2
E x + E y = E 0 x (cos 2 (ωt − kz ) + sin 2 (ωt − kz )) = E 0 x
∴円偏光
ε0
π
2
E0x
∴ 磁場の変化も円偏光（電場の変化とずれる）
µ0
2
（８）図に示すように半径 R の円形導体板を間隔 d で向かい合わせたコンデンサに交流電圧
V (t) = V0 sin ! t をかけた。コンデンサの極板間の変位電流 I と中心から r（＜R）の距離での磁場の強さ
2
2
Hx +Hy =
B(r)を求めなさい。
R
Lecture 12 演習問題２
!
!
!
（９）平面電磁波の電場 E を複素数表示で、 E = E0 e
!!
i( k!r "! t )
d
!
!
（ E0 は定ベクトル）と表すとき、 divE = 0
!
から E が横波であることを示しなさい。< >
!
E0 = (E0 x , E0 y , E0 z ) とすると、
!!
! !
! !E !E !E
divE = x + y + z = i(kx E0 x + ky E0 y + kz E0 z )ei( k"r #!t ) = ik " E = 0
!x
!y
!z
! !
!
!
となり、k と E は直交する。k の向きは電磁波の伝搬方向に一致するから、E は横波である。
（１０）スカラー場 ! (r ) の勾配 "# 成分は次式で与えられることを示しなさい。<>
z
$#
1 $#
1 $#
("# ) r =
,
("# )% =
,
("# )& =
$r
r $%
dr
rsin% $&
rd#
rd#
!
右図の微小辺の扱いから導出。
θ
!
"
r -15
!
x
r
!
!
!
!
!
y
rsin#d"
rd#

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