log(ex − e + 1)

¶
³
問次の極限を計算せよ。理由もきちんと書け。
³ log x ´ x1
1
x
(1) lim (e − e + 1) log x (2) lim
x→∞
x→1
x
µ
´
解答
(1)
x
log(e − e + 1)
1
log x
1
log(ex − e + 1)
x
=
log(e − e + 1) =
log x
log x
これは x → 1 の時 00 の不定形なのでロピタルの定理を使う。分子と分母を微分す
ると
{log(ex − e + 1)}0
=
(log x)0
ex
ex −e+1
1
x
e
xex
= x
e −e+1
これは x → 1 の時 e に収束するので答えは e
(2)
log
³ log x ´ x1
log
=
³ log x ´
x
=
log(log x) log x
−
x
x
x
x
log(log x)
log x
lim
と lim
は両方とも x → ∞ の時 ∞
∞ の不定形なのでロピタルの定
x→∞
x→∞
x
x
理を使う。
(log(log x))0
1
lim
=
x→∞
(x)0
x log x
log(log x)
log x
= 0。同様にして lim
= 0 となって答えは 1
x→∞
x→∞ x
x
なので lim
¶
考え方
³
指数関数の極限を対数関数を利用して計算する問題。対数を取らずに
xa = ea log x
を利用してもよい。(1) は 1∞ なので 1 になるように思う人もいるだろうがそうでは
ない。1 は何回かけても 1 であるが、1 に近い数字は積を取ると 1 からずれる。
µ
´

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