海洋底を伝播する表面波について市川 S1 . 政治水 ( 1) 海洋底を伝播する表面波については Browmicih ，S t o n e l ey ( 2 )， Sezawa∞ らにより論ぜられている。一方大陸，太平洋，大西洋等を通過して来た表面波の分散は犬分異るということが Gu も enberg及び R i c h t e rにより発見された。この分散り相違は地殻構法の相違f持に中間庭の厚さの相遣によるものであるとされている D 最近 Ewing，P r e s s及び、 T o l s もo y∞らにより海洋底を通過する RayleighWave 型の表面波についての計算がなされた。かれらはこの波を Airy-phase と名やけ，脈動と結びつけている白さら 6)は大西洋干の沈澱物居と地殻上居とに I . i n e h a n くのにより発見された T phase を J . Coulomb( の System を伝播する LoveWave であるとしている口 i f ，中間居，下}昔の=}母より友る Sys 色目立を伝播する R a y l e i g hWave型の表商波の特著者は液l 性方程式を求め，二つの場合について分散曲線を求めた。 S2 . 問題を二失元に限九三子 1図の止うに中間!蒼と下居の聞に原点をゐき水平方向に必軸，鉛底上方に c軸をとり，上から各居のそれぞれの常教に 1 ，2 ， 3の脚符をつ抄てゐのゐのを区別する。 μ， W ，z ， ; q ZZ Fig.l U1こを夫々 m成分 z成分。変位及てs 歪力とすると，各居での変位及び、歪力はそれ'ぞれ下のごとく表わされる D i 4α(φ11c o sγlZ+φ1~ s i nγ1字) e (1 J t+伽〉 101 =γ 1 (ー φ11sinγ1什ー φ1~ c o s γ1Z)ei l J t+伽〉 u2={iα(φ:~1 c o sγ z ヨ十 φ 22s i nγ2Z ) +ι( -¥ I ! ' 2 1s i nCs十 ¥ l ! ' 2 2COSε s)}ei(1Jt+aX) 10 ェニ {γ2(-φ21s i nγ2Z十φ2 ¥ I ! ' 2 1COSεs+ 守口 2COS"/s)-iα( s i nε2 : Z:)}θi C P t+仰〉印 ) ' l ' 3e e i c l 1 t+仰〉 γsz十 ε U ' 3ニぐ4αφ36 3 3=(γ a φ3 P ， i '3Ziα. ¥ I ! ' g et3Z) i(1J t+仰〉 10 2 φ1 2 φu s h1 1COSγ ZZlニ(-'A l Z ) . . lh1 i n γ1Z)ei，Pt+仰〉 1 ZX1= 0 ZZ ， l := = { 一 C I ' v ! . h ， /十2 μ 2 " / . / ' ) ( φ 2 1COSγ2Z+φ : ! 2s i nγ2Z) 1 -2iαμzε2(-¥ I ! ' 幻 s i nε2Z牛耳' 2 2COSε2Z)} e i， 1t-+aX) ZX2==μ 2{2iαγAー φ:Hs i nγ2Z+φ22COSγ2Z)十 ( α 2ー εi ) (' l ' 2 1 COSε 2Z十 ' l ' 2 2s i nε2Z)}eiCP什伽〉 2 ) φ 3 θi zs={(2 μ 3 γ 3 2一入品3 ' 3<-2iαεsμ3' l ' s eeSZ} e i(1t 1+仰〉 g *! r r;A!気象台地震諜 : -77- (1) 何震報験時 γ3Z十 ( 3=μ3{2iαγ3φ3e α2+εl ) ' l ! s e印 } e {(1Jt+a :X ) φt1 .~ ' l "tj は常数乙与で 3 27C 21T pこす， α = i--(T: 週期， L: 波長) h1 2 == 空~ri_ ん2=_~'1J2_ ho2==__1 主ーの2 ， A1 .L-' ~入2 十 2μ^s 十 2μ K22=fLP23K32=fL132 μ 2 μ 2 h12=α2+γ123 ん 2 2ニ α2十γ . /，hS2=αγ;iz ん2_α2+ε:!.2， k32=a2ー ε 3 2 RayleighWave型の表商波に対する境界条件は z==K zz=0 z==H Z Z lニ Z Z ; !，Z X 1ニ Z X ; ! .，1 0 1= ='102 gニ o (2) 0 X3 Z Z2 .= = Z Z 3，Z ら =Z ，U 2ニ ι t3 ，'10孟ニ 1 3 であたえられる o 上記の境界条件 (2) に各居に於ける変位及び歪力 (2) を代入すると下のようになる。 ( i )， Al h 1 2 X { ( φ 1 1十， Alhl2YK φ]2=0 Y1 ( ii ) 一 γl 'φ11十 γ1 Xl 'φ12こト仇 Y : ! . φ21一弘X2 ' φ22十 4αX ' ' l ! : . n 十4 α Y/' l " 2 ' ! .ニ O 2 2 φ: 2X 2Y/φ12一 ( h1 h1 n' (iii)λl 1 'φ11+ ， Al A ， ' 2hl+2 μグ2 ' )X 2 一 (À，ihl+2μ/'/2)Y2 φ ~2 十 2iαμ2éY， Y2' l " 21-2 i α μ: ! eZX2' l " ' 22 二 0 2 φ2 φ2 ( iv ) 2 i α仰れ Y2 1+2iαμ{ 1' ' ! . X lα2__εl)X2 守2 1十 μ: lα ε2 )Y: I .' l ! : ! . : ! .= =_ 0 2 + μ: 2 (v)αφ21 十 ε~l'l"22 -ia φ3-ε3' l " 3 = =0 α' (vi)γ2φ口 i α' l ! 2 1一 %φ3+i l ' 3 = =0 ( v i i ) ー 2 i i α μ 2 ε: ( A ，' ! . h l十 2仰 γl)φ:n-2 . ! ' l ' 2z-(2 μ 3 γl ， AS h 3 ) φ 3+2 ' l ' 3 = =0 α μ s ε3 ( v i i i ) 2 i α μt l 2 φ22+μ2(αε l )'l!幻 -2iαμ3γ3φs一μn(ε32+α2)' l '3 ニ (3) o と Lで hto=以 ε t 3)，g iニ云一 ( iニ 2， 3) XK=-COSγ lK， YK ニ s i nγlK X1 ' = =c o sγlH ， Y1 '=s i nγl H 二 C X2 O Sγ2H ， Y2= =s i nγ: ! . H o sε2H ， X : ! . ' = =c Y2 '=s i nε 1日上の(i}-{viii) の式中 φ~.J， ' l " v のすぺてが O となることたく，定まるためには失の行列式 A '7 8ー海洋底を伝揺する'表面波について一一市i}I J が 0となれぽ良い。すなわちム= 2 h1 A . ・ 1 h 1 2 X KA .1 YK γ 仇l ' γ 仇1孟是; i ' 十一 Yl ← 1 似α X 2 ' 一γ 仇' 1 .X: ! γ: . : Y : . : 。。 o o 唱 O 1 iaY/ L 刈刈 i ム 1 ム山ムム川ん i β 主ムな吋 X 不収 2 ' lM 叫九A ム1 丸正 O o 。 o o 一2 到i a μ2 グ γ'1.YZ 封 2tαμ詰Jγ2X~ 。 z α リ。、 μi α2 一 ε主i)X'1. μAα2 一 ε 凸;2)Y2 ε 2 。。。。。、。。 o γ 2 ー n=一子一一 μ " ' 1 -γiα 凸一生24mμsε3 一 ⋮ μ ' 3 μ 2 7 九二一一一 -ε3 -2 叫z ( ) 2iαμzγ2μA α2ナ εi ) =0 -~α 。 -~α ( A .: . : h l + 2 μ 2 γ 2 2 ) O ヨ穴に，。。。。。。 o -2iαμsγ3 一μ 3 ( ε 32 十α 2 ) (4) ー十戸2 ω a ゆ u 一一 2-2 μ 3 γ 3 2 1( ， ht¥2 入' 2h i十 2μ2γ♂ 入品3 α 1ニヲーは)， α戸 2 α 3こ 2 μ 3a 2 2}1>"!， a ε 3 ----b Qー 2 2 a と置き上式を展開す?ると， ( ? n-1) - m) ( b2 α' -mb3 )]Xt n ( a " ) . b : . : ) f d 3 ) ( b2 j 3 r i 3十 (1半 m め [ t f . b ) ( f. α3 十n ) } f 3 g 3 仇- m )+α ' . g " T'1.( ， ! "-mb ， ! " [一 { ぐι+m)(m-b2 3 ; m b3 ) (α - m i) ( 1十 m(3)}]X X1 X2 α3)+α:T'1.( 一{(b-mb3 r . ' ， ! " ， ! " ， n f x f " ) . [ 十m αTlb l)( γ3]XtX2Y;/ ) ( b3 1 ) g : : : ) g 3 = ( α s十 1 α z十 1 ， ! "- _f 2 g (1-b'1.) [(1-=mb3 )(1十 ηω3)一(m-l)2faggJY1Y ; . jX/ ' l . ρ1 -m α t ( b Y2 Yγ g 3 ， ! "-l )2(何十 1}Y1 h .2 ー(b2-1)(α3十 l)jずの]X1Y2X / [T2(a2+1 ) ( bg 十m n f lめ α -1)fl 十 nfl[{- α~Þ '2 (α :!+m)(m-b;J 十ん 2 g }(m-1 )2 }f3ga ー α Þ :l 町一仰向 )(b "!， -mbB) 一 g 2 2 ]X1 (l-mba )(l十mα3)ん2 Y2 Y2 ' 1)( αェ十 1 ) ( ba -1) 十 mαlb X2 f 2 g X/ J ， . "Y1 ' 1 .悦二b ) f " ! ' [ ( -mb3 ) ( α2-r b2 X2 +α ll-b2 α3 n ) ]Y1 的十 m)( Y/= 0 )!3g2+( 2 =COSγl(K-Hλ Y =S111γ l(K~H) 、X1 こ Lで 1 特に A . t( t=μ i=2， 3) の~きは - 79ー (5) 守報ぃ -bl日骨与石菜、験か屯， 3) とl tJ，ぉ=??とゐくと上式は -2 n a d d ; ; . g . J(m-1)(α=十 m)!sgs十 (1十仰向)(α"}.-mαa)}X1 十n . ) 仏g 2 [ { α-mα;)2十 α" } . 2 ( m α 3十 1) 2 } 一 {(α'"十m)2十α/(α，"}.-mαS)}f3g3]X1X X2'，十悦nfd α2十1)(α3十1){α.}g3+!3(2.-1)}]X1X"}.Y;/ ! l 事 ! l J.[( ， 1 : 忽 2 x 十αIIιトαJg(l一一一 )[(m α 3十 1) 2-(m 1) 2 f 3 g a ]Y1 Y2 X/ ' 3 ; l . 十判判 m州， α 向2 汁附叩 : 刊 +1 1 ，1 ) 2( 向 α3 叩 3 2 x 十n]l[(l十mα3) 2(X2-1)(1一一一 )ー α2( αュ- m α3Y 3 l . ， 1 : X: . J -{(m-1 ) 2(x2-1)(1一一一 )-α}(αけ -m)2}f3ga]X Y，1:Y : / 1 8 十mαl(α1王十)2(α3-1ーめんのf3Y1X';!.X 十0'1(1'+αρh [(α2十m)弘gs一( α ! l ' - mα3YJY1 X2 Y2 ' ， 1 : (6) =0 となる D i .上の (6)式がこの表面波の分散曲線をあたえる特性方程式であるが，これを他の場合の特性方程式と比較してみよう D 先す~ K-H=O @Ilち液居を無くすると，上式中 X1=l， Y1=0 となれ変形，整頓するととによりおzawaの表商波の特性方程式 (7) 手( 2一日一手 ( 吋7 円三} C h ∞ づ伊(与;乙+テ ( 2 -予) } C h r ' H山 + 令 ( 一千十テ ( 2 4 ) ) 1 "H 4 r ' 2 8 ' 2 . . I k ' 2¥ 1 sh1 ・， H. COS8 'H +<ー←一一ーと +12 一二~ h 9~sh Il f4 ~ I ¥ ] 2 } ' 'J 〆 H'sin s8'H s'H=0 と Lで、 ~ 2 J c'2 伊ニ一一ーで μJ 4r ・ 8(μF¥2 2r ・ s(μ ， ¥ =一一一一一 s =p ~;.，- ( 一一一1:-} )-a η β 一仰コ ¥ μ ~~'"/ P¥μ 1) ノ ¥ J ‘ 2 2〆(，>- p¥ 月 μ :(n l c ' 2¥ 2 {}=~子 8 -γα= ←一一 12 一一一! β==~(2 一一一) μ ¥ μ ' ('>_ k'2¥ ( n j 2) '， -μ¥ k:.J¥ 2 7 l " 27T pノ (2 一一一ト (2-~ )， P=~J f = = ; : - T: 週期，L . : 波長 μ¥ f2) ¥ ] 2J ' . J : ' T L J とゐなじになる o 次に中間居の厚ーさを j 尽くするすなわち H ニ O とすると Airyphaseの特性方程式，..- 80ー J (7) 海洋底を伝播する表面波について一ー市川i 二子竺ゾ告y1()1-(ま Y . J 弓f Y 十一 ( おy } ) 3 ; ゾベ匂 γlK 1 (8) に友る。また V 3 > 怒 3>V2> 5.ß~>Vl>V V3 . s3>V2>V1>5 >5 . s2>V V3 . s3>V1>V2>5 . s2>V >5 ' i の時ずtx.わち各居で、のそれぞれの実体波の速度中の最低のものよりもこの表面波の速度の方が公そ →∞いいかえれば、3 上のごいような時は，主モ中の Xi， Yi は総て双曲線函数となる D この時 kR j 膏の夫々の厚さに比して波長が極〈短い時は (6)式は [α1(1 十 α， :Jん +nfl( α:!.~-':'h の)]・[んの (1 十 mα3 )2 +(α'， :!+m α3 〉 2 十 (α .I + m ) 明。3 ' -(m-1)~んの!3g3 十 m(l 十 (('2)(1+α"3) ( d s ) ]= 0 1 2 g S+g 自日ち 2 [α/1十 α 2 ) 1 2 + η ; ! 1 ( α 2 ] 0 ーんめ) 又は 3 ) 2 ' : ( α2-mα3)2+(α2十 m?f1g3 1 " i / ，α j U 2 ( 1十 [ J = 一 (9) ( m ' lア J ; )(l+α3)( J I s ) ]ニ o 3 g 3十 m(l+a & 3十g; ムU;d ， ]' (10) の二式に分解される。 (9)式は液}母と中!前j 昔の境界を伝揺する境界波の特性方程式であり， (10)式は中間居と下居との， ; もo n e l e yWaveの S t o n e l e yWave) の特性方程式で Sezawa の求めた S '境界面を伝癒す忍境界波 ( 、特性方程式 (8) 2 r ~_J 丘'-(。 -王立。 ) 0 1 Y 丘二 / 。左目 ( ¥ 12 一p -生ど乙/丘二 _ p ) k i J tμγ- -¥-~ j2) lμγ p) ~ J p ¥ μ リ十区 [2L_(2-~と ìr+ 工 fL21fyk+ff 斗. - μ ¥ p) f 2l )ー 4¥P Ij2 J 4μ1 了と書き直す ζ とができる o この式は中間居と下居の密度及び、弾性常数の間にある関係が存在するときのみ満足される D またれ > 5 . ss>V2>恕2>Vとれのときは 6 ' )式は x=l kR →∞に対して ( (V=V1 )の1/寺満足され， Airyphase と同様水中音速度で伝播することに友る o 以 tの結果よりこの表商波は上の二庶の厚さに比して波長が極〈短い時は，各居の実体波の速度分布により ( i ) 水中音速度で伝播する。 ) 液居と中立U 昔の 1 ( ii 日の境界波の速度で伝播する。 J n i ) 中間居と下居のIhの境界波の速度で伝播する D ( ii の三つに別れる。不問は:( i )， ( i i ) の様な迷度で、伝播する速度分布H J ¥ 態について分散曲線を求めた。 -81- 験 1 寺震ヰ民 S3 . m (i)γ1=1.5kmfs，V! l= 4.3kmfs，V3=6.1kmfs， a :=2.5kmfs ，怒3=3.5km/s P1= -P -P3， 1=2p'; =μ3， μ2==λ2，μ) 3=A3) ( ; 一 16入 t.= 一 ! l … ，V!lニ1.. . 6 k r r i j s，Vg=5.2kmfs， 5 B2二 _ .( i i ) ，Vi=1.5kmfs o .9kmJs~ か ( P 1=ユドユ九 0 μ 2 . 5 ' ' ' ' 州 =1仰 2.5'~ 忠3 ニ 3.0km/s ' " J --r:~ 1 . 2句、ミ 1vて之￨王立 2 -0 ， . " . 1 1 . 0 J' -Z711 Vヨ / O f. v r~. V P h a .s eV . L . U -:G -r Ol . lpV "l .‘ T Tv ， =! . ，， " ， ~ v，= 1 . &，え=日 .= 3 . 0 ">~.2 ， ( ' ， 0 . 4 、 O 2 3 4 s V引 LOI~， 7 品尋.. V :P hQ5e V e l Fig.2 .pV e l U:G r ou γ 、 f ， 0 . 3 口 2 3 4 ¥五 7 8 q 10 ' 1 12 l J I 令 1 . 2 ' 1 下位しー /H Fig.3 i ) の場のご例について分散曲線を求めた。 ( 合は三十 2図に示す上うに水中音速で始まれ， 8 波長が居の厚さに:比して大となると下 j 蒼の l e i g hWaveの速度に近でド〈白'叉 ( i i )の R乱y 0 . 5 0 ・今場合はラチ 3図に示すよう/1:.;液居と中 1 0 日居と 6 マ 8~ Fig.4 の境界を伝揺する境界波の速度で始まれ下主的T l e i g hWaveの速度に近宇・<0 ::;たに比較のため Sezawaの表面波 ( 1 )( P 2=P 3， μ3=2μ2) ， . 居の I Airyphase わく (P2=2.5Pb 内 =10γ1)，今回の表面波くめぐP 2=P ! ' .3 P l=P 2， 8 入1=μ2 ，2 μ戸 μ3) の分散曲線をー絡にして芳 4図に示ず。とれら三本の分散曲線は居の厚さに比して波長が極く長くなると，下居。 Ray]eighWaveの速度に近宇くが，居の厚さに比して波長が極く短〈友ると， . Airyphase と今回の表面波は水中音速 - 82- 海洋底を伝揺する表面波について一一市川度で始まる o (今回の表面波は中間居の横波の速度が水中音速度より小で、ある.時は 3 前o neleyW 乱ve の速度(水中音速度より小さい〉ではじまる。)一方 Sezawa表面波は土居の Rayleigh Wave の， as e は，液居や中間居の影響を受けるため，速度で始まる o その途中では今回。表面波や Airyph Sezawa の表面波よりゐそく， Sezawa表面波，今回の表面波， Airyph ， as e の順である o 結論上に求めた特性方程式 (6) は三 j 音の場合の， R~yleigh Wave型の表面波の特性方程式の特別な場合のそれである o 当然のことではあるが，液居の厚さを零にすると，二居の場合の特性方程式~'C. 上の二つの居を無くすると，一般の Rayleigh'vVave の特性方程式に 3 中間居を無くすると Airy phase のそれになる。またとの表面波の速度が各居中の最もゐそい横波の速度よりゐそい時は特性方程式中の三角函数 c H →∞の時はこの特性方程式は液居と中間j菅の境界を伝婿ずるがすべて双曲線医数と友るため，l 境界波の特性方程式と，中間居と下居を伝揺する飢 oneleyWave の特性方程式との震となれ各居の速度分布;伏態いかんにより両者の中いす=れかが有効な特性方程式になる。また分散曲線上り分るように，波長がj 蒼の厚さに比して充分長い時は 3 ~夜厨や中間居の影響はノj 、であるが，波長が居の厚さの数倍以下の所では，液j 音や中間暦の存在の影響が出てき，特に波長が居の厚さに比して極く短い時は中間唐の影響が非常にきき，中間j 蒼の横波の速度が水波音速度より小の場合は SもoneleyvVave の速度で始まれ中間居の横波の速度が水波音速度より大である場合ノは水中音速度で始まる o 以上より海洋1 mを通過した RaylejghvVave の分散曲線の長波長の部分から，地殻下居部の j伏態は伺い矢口ることができるが3 その上の中間j 奇についてうんぬんするととは趨当では友いと思う o また大きな浅い地震の記象に現われるという T phase は中間j 蒼の横波の速度が水波菅波速度より小であるとき生十る StoneleyW ave のよう友ものではないだろうか。最後に種々御指導下された井上地震課長及び、酒井験震係長に深〈感謝-致します。参考文献， (1) T .J .l ' A. 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As t h e wave-length b e - ot h et h i c k n e s so ftwoupperl a y e r s， t b epbasev e l o c i 七y a p comesveryl o n gi n仙 ecomparisont p r o a c h e st ot h ev e l o c i t yo fRayleigbwavesi nt b el o w e rl a y e r . Butf o rt h es h o r twave~length ， i t ‘ approachest ot b ed i 宜e r e n 七v a l u e sa c c o r d i n gt o. 1 he. d i s ，もr i b u t i o no fv e l o c i もyi neach l a y e r . They も' Ji nt h ewa もe r，t h ev e l o c i t yofboundarywavebetween t h el i q u i dandi n a r etbesoundv e l o c i t e r m e d i a t el a y e randt h ev e l o c i t yo fboundarywavebe もw eenthei n t e r m e d i a t e and l o w e rl a y e r s くS t o n e l e ywave). . T h eaboveもwonumericalc a l c u l a t i o n sc o r r e s p o n dt ot h ef i r s ttwoc a s e s . ¥ - 8 4ー