偶関数・奇関数の定積分 >

2010 年度「数学 2」
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定義： f (−x) = f (x) (y 軸対称) である関数 f (x) を偶関数という。
例1
f (x) = x2n (n は整数 )，f (x) = cos x，f (x) = sin2 x などは偶関数
である。
f (x) が偶関数であれば
(証明)
Z
a
f (x)dx = 2
−a
f (−x) = f (x) であるから
Z
Z
a
f (x)dx
0
Z
0
f (x)dx =
−a
a
f (x)dx よりわかる。
0
定義： f (−x) = −f (x) (原点対称) である関数 f (x) を奇関数という。
例2
f (x) = x2n−1 (n は整数)，f (x) = sin x，f (x) = tan x などは
奇関数である。
f (x) が奇関数であれば
(証明)
例3
Z
a
f (x)dx = 0
−a
f (−x) = −f (x) であるから
1
(x3 + x4 )dx =
−1
Z
Z
1
−1
x3 dx +
Z
Z
0
−a
f (x)dx = −
1
−1
x4 dx = 0 + 2
Z
Z
a
f (x)dx よりわかる。
0
1
2
5
x4 dx =
0
問
次の定積分を求めよ。
Z 2
(1)
(x3 + x4 + x5 )dx
(2)
−2
(3)
Z
(sin x + cos x)dx
1
(x + x3 + x6 )dx
−1
π
2
−π
2
Z
(4)
Z
π
4
−π
4
µ
¶
1
+ tan x dx
cos2 x

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