2.2.2 Bethe-Bloch の式
相対論的量子論に従って Mott 散乱 (相対論的ラザフォート散乱。つまり、入射粒子に対して吸収体中の電
子が静止していることが仮定されている) を計算した結果に基づいて得られる阻止能の式*1 を、Bethe-Bloch
の式
−
}
dE
Z z 2 { ( 2me γ 2 v 2 Wmax )
2
= 2πNa re2 me c2 ρ · · 2 log
−
2β
[MeV/cm]
dx
A β
I2
}
Z z 2 { ( 2me γ 2 c2 β 2 Wmax )
2
= 0.1535 · ρ · 2 log
−
2β
[MeV/cm]
A β
I2
(2.26)
という。ここで、
me 電子質量
Z 吸収体の原子番号
A 吸収体の原子量
ρ 吸収体の密度 [g/ cm3 ]
z 入射粒子の素電荷比での電荷
β, γ 入射粒子の相対論における β, γ
Wmax 入射粒子が電子に正面衝突したときに電子が得るエネルギー
入射粒子の質量を M として、
Wmax =
me ≪ M のときは、
2me c2 β 2 γ 2
√
e
e 2
1+2· m
1 + β2γ2 + ( m
M
M )
(2.28)
Wmax ∼ 2me c2 β 2 γ 2
で近似される。
I 平均励起ポテンシャル
吸収体の原子が励起される平均的なエネルギーを表す量である。理論的にこれを計算するのは難しいの
で、逆に阻止能の測定から逆算した以下の関係式を用いることが多い。
I
=
Z
{
12 + Z7 [eV]
9.76 + 58.8Z −1.19 [eV]
(Z < 13)
(Z ≥ 13)
(2.29)
また、入射粒子が経路上の吸収体を分極させることにより、遠くにある電子の寄与によるエネルギー損失が
小さくなる。この補正を密度補正といい、δ を用いて表す。入射粒子のエネルギーが大きくなるほど、より遠
くの電子もエネルギー損失に寄与することになるため、密度補正の効果はより大きくなる。δ の値は、吸収体
に依存する量 X0 , X1 , C0 , a, m を用いて、以下のように表される。
0
δ = 4.6052X + C0 + a(X1 − X)m
4.6052X + C0
*1
(log10 (βγ) < X0 )
(X0 < log10 (βγ) < X1 )
(X1 < log10 (βγ)
(2.30)
詳しい証明を理解してくる余裕はなかったので証明はできません。参考文献として、
鈴木 昭宏 (国立天文台)『素粒子物理学概論 1 レポート 1』http://www.cfca.nao.ac.jp/∼asuzuki/pdf/particle1.pdf
および先輩方の『平成 24 年度 物理科学課題演習 A5 (後) レポート 同種粒子散乱による炭素原子核スピンの同定』http:
//homepage3.nifty.com/suganuma-kyoto/hideo/index.files/sub.files/A5-2012-2nd.pdf を挙げておきます。
1
入射粒子のエネルギーが小さく、入射粒子の速度が原子に束縛された電子程度の速度である場合、電子が入
射粒子に対して静止しているとして導いた Bethe-Bloch の式は正しくなくなるため、補正が必要となる。こ
の補性を殻補正といい、C を使って表す。
C の値として、βγ ≥ 0.1 ⇒ (β ≥ 0.1) の場合に成り立つ式として、
C =(0.422377β −2 γ −2 + 0.0304043β −4 γ −4 − 0.00038106β −6 γ −6 ) × 10−6 I 2
+ (3.850190β −2 γ −2 − 0.1667989β −4 γ −4 + 0.00157955β −6 γ −6 ) × 10−9 I 3
(2.33)
がある。
この他にも高次の量子電磁力学過程や、速度が遅くなってきた入射粒子が電子を捕獲して電気的に中性な原
子になろうとすることなど考慮できる補正はあるが、重イオンが電子を捕獲する効果を除いては、1 ％程度し
か影響しないため無視できる。以上の補正も加えた Bethe-Bloch の式は、
−
dE
Z z 2 { ( 2me γ 2 c2 β 2 Wmax )
C}
2
= 0.1535 · ρ · 2 log
−
2β
−
δ
−
2
[MeV/cm]
dx
A β
I2
Z
(2.27)
また、T を入射粒子の運動エネルギーとして、
β2 =
E 2 − M 2 c4
1
=1− (
)2
E2
T +1
2
Mc
のように書ける。これを用いて阻止能を入射粒子の運動エネルギーの関数として取り扱うことも多い。
2.2.3 エネルギー依存性
図 2.4 は入射粒子の運動エネルギー [MeV] と阻止能の大きさをプロットしたもの。この特徴として、
(i) β ≤ 0.96 程度までは、Bethe-Bloch の式の β −2 の部分が支配的。
(ii) 阻止能が最小値をとるときの値は、同じ電荷をもつ粒子ではほとんど同じ。またこの時の粒子は「最少
電離」として知られている。
(iii) β ≥ 0.96 からは、阻止能の大きさはほとんど一定。これは、(2.27) 式の log 部分が支配的になるため
阻止能が大きくなる効果と、密度補正の効果により阻止能が小さくなる効果が相殺した結果起こって
いる。
(iv) 阻止能が最小値をとるとき以下のエネルギーでは、ほとんどの場合粒子ごとに曲線は固有。よって入射
粒子のエネルギーがある程度小さいとき、入射粒子のエネルギーと阻止能の測定結果をプロットすれ
ば、粒子の種類を特定するのに使える。
といったことがある。
入射粒子の速度が小さい領域においては、Bethe-Bloch の式が成り立たないためプロットはされていない
が、最大値に達したのち急激に減少するようなグラフになる。
また、物体の侵入長に対する阻止能の変化をプロットしたブラッグ曲線といわれるグラフが図 2.5 である。
これから、多くのエネルギーは止まる直前に失われていることがわかる。これにより、重粒子線を用いたガン
の治療などにおいて、患部以外の組織に対しての粒子線の影響は患部に対するそれよりも小さくできることが
わかる。
2
2.2.4
dE に対するスケール則
dx
同じ吸収体を通過する粒子に対しては、Bethe-Bloch の式の吸収体に関する値は定数とできるので、
−
と書くことができる。また、
β2 =
dE
= z 2 f (β)
dx
(2.34)
1
E 2 − M 2 c4
=1− (
)2
E2
T +1
2
Mc
から、
β = β(T, M )
と書くことができる。これより、
−
dE
= z 2 f ′ (T, M )
dx
(2.35′ )
これから、質量 M1 , 電荷 z1 の入射粒子と質量 M2 , 電荷 z2 の入射粒子の阻止能について、以下のスケール則
を得ることができる。
−
ここで、
(M
)
dE2
z 2 dE1 ( M1 )
1
(T ) = z22 f ′ (T, M2 ) = z22 f ′
T, M1 = − 22
T
dx
M2
z1 dx M2
(2.36)
(M
)
1
1
1
β(T, M2 ) = 1 − (
=1− (
=β
T, M1
)
)
2
2
T
M1 T
M2
+1
+1
M2 c2
M2 M1 c2
と式変形している。
この式からも、2.2.3 のエネルギー依存性の (ii) であげた、電荷が同じ粒子の間では阻止能の最小値の値が
ほとんど同じであるということがわかる。
2.2.5 質量阻止能 (Mass Stopping Power)
阻止能を吸収体の密度で割った量を考えると、
−
1 dE
Z
= z 2 f (β, I, δ, C) [MeV · cm2 /g]
ρ dx
A
(2.37′ )
大きく Z が違うわけでもない場合、別の吸収体を考えても Z の変化は小さい。I の違いは Bethe-Bloch の式
A
中において寄与の小さな log 中にしか出てこないため無視でき、密度補正 δ 、殻補正 C も無視することにすれ
ば、この量は入射粒子の電荷と β に主に依存する量となり、吸収体の種類を問わずに使える量となる。
2.2.6 化合物や混合物に対する dE
dx
これまでの Bethe-Bloch の式は純粋な物質に対して適用されるものだったが、実験など実用上ではもちろ
ん化合物、混合物に対する阻止能を計算することも必要になってくる。
分子式 (組成式) Xa11 · · · Xann (X i は元素記号で、これで表される元素の原子量は Ai , 原子番号 Zi ) で表さ
れる化合物について考えよう。Xi の原子からなる純粋な物質を考えると、Bethe-Bloch の式が使えて、
( dE )
Zi (
Ci )
= z 2 ρi f β, Ii , δi ,
−
dx i
Ai
Zi
3
密度 ρ, 分子量 Am =
n
∑
ai Ai の化合物について、化学結合によって各原子の電子軌道が変わらない、すなわ
i=1
ち、
「ただそれを構成する原子が並んでいるだけ」という近似的な仮定をすると、この化合物の阻止能は、
∑
dE
ai Zi (
Ci )
z2ρ
=
f β, Ii , δi ,
dx
Am
Zi
i=1
n
−
=ρ·
n
(∑
= −ρ ·
z2
i=1
n
(∑
i=1
と計算される。これを整理して、
Ci ))
ai Ai ρi Zi (
f β, Ii , δi ,
Am ρi Ai
Zi
wi ( dE ) )
ρi dx i
∑ wi ( dE )
1 dE
=
ρ dx
ρ dx i
i=1 i
n
(2.38)
というような質量阻止能の式を得る。これは、化合物中の元素 Xi の質量阻止能に化合物中で占める質量比
wi =
ai Ai
Am
(2.39)
をかけて足しあげたものに他ならない。このような取扱いができるため、質量阻止能は便利である。
他にも、以下のようにして分子に対して Bethe-Bloch の式のパラメータを定めてやり、(2.27) 式をそのま
ま適用するという方法もある。
Zeff =
n
∑
ai Zi
(2.40)
ai Ai
(2.41)
i=1
Aeff =
n
∑
i=1
log Ieff =
n
∑
ai Zi log Ii
i=1
δeff =
Zeff
n
∑
ai Zi δi
i=1
Ceff =
n
∑
Zeff
ai Ci
(2.42)
(2.43)
(2.44)
i=1
混合物に対する取扱いも同様に考えればよい。
2.2.7 Bethe-Bloch の式の限界と他の効果
(2.27) 式までの補正を加えた Bete-Bloch の式は、多くの場合の阻止能計算に使われる式である。入射粒子
の質量が比較的軽い（図 2.4 を見るに 100 [MeV] 程度) 素粒子から α 粒子 (4[GeV] 程度) くらいまでであれ
ば、吸収体の原子番号が 26 くらいになるまではさらに補正を加えることで β ≥ 0.1 くらいまでの領域におい
てはかなり正確な結果を計算できる。
β ≤ 0.05 では、入射粒子に対して吸収体の電子が静止しているといった Bethe-Bloch の式を導くうえでの
仮定が成り立たないために、補正を入れた程度では正確な結果を計算できない。
4
0.01 < β ≤ 0.05 では、陽子に対してすら、(この本が出た時点で) 満足な理論はなく、より重い原子核につ
いては、電子を捕獲する効果も発生するためにさらに複雑であり、理論はなく、実験から導かれた式があるの
みである。
β < 0.01 であれば、Lindhard の理論によりエネルギー損失はうまく説明されている。
2.2.8 チャネリング
結晶のように空間的に対称な原子構造を持つ物質において、結晶の対称軸に対してある一定以下の角度で粒
子が入射したとき、入射粒子は小さな散乱角での散乱を繰り返し、結晶面内に閉じ込められながら進む。
この効果により、結晶性を考慮していない Bethe-Bloch の式の仮定に比べて、入射粒子が電子の影響を受
けることは少なくなり、阻止能は大きく小さくなる。
一般に、チャネリングを起こすための角度の範囲は小さく、エネルギーが大きくなるにつれ減少する。この
角度は以下のような式で概算される。
√
zZa0 Ad
ϕc =
√
1670β γ
(2.45)
チャネリングを起こす角度の範囲が小さいために、粒子ビームの向きをある程度そろえることができ、湾曲
した結晶を作った場合、チャネリングを起こすことで粒子ビームを曲げることができるので、(工業的な課題
がまだあるそうので実用化されるかはわからないが) 加速器などに応用されるかもしれない。*2
2.2.9 飛程 (Range)
あるエネルギーをもった入射粒子が、物質中でエネルギーを失うまでに通過する距離を飛程という。主な放
射線や粒子の検出器は、ビームが検出器中で失ったエネルギーを電気信号に変えるものであるから、検出器の
大きさは測定したい粒子の検出器中での飛程より大きい必要がある。よってこれを求めたり計算することは実
験を行う上でとても重要である。
飛程を実験的に求める方法として、入射粒子のエネルギーを一定に保ち、物質の厚さを変えていき、入射粒
子に対して通過した粒子の比を求め、グラフを書く。これが図 2.7 で、range number-distance curve と呼ば
れる。
この曲線の形は、ある一定の厚さに到達すると急速に 0 になるというものではない。このことから、エネル
ギー損失は厚さに対して連続的に起こるものではなく、統計的な性質をもった量であるといえる。(同じエネ
ルギーを持って入射してきた同種粒子がまったく同じところで同じ回数だけ散乱されるわけではないのは明ら
かだからこれは当然といえる)
1 次の近似をすると、飛程の分布は、入射粒子 : 透過粒子 = 2 : 1 となるところ (平均飛程という) を中心と
したガウス分布となる。しかし粒子の検出等に応用する上で求めたいのは、全ての粒子が吸収されるような吸
収体の厚さである。
このような場合には平均飛程のところで曲線の接線を引き、それが 0 になるような厚さを飛程とする。この
飛程を推定飛程とか、実用飛程という。
*2
広島大学高エネルギー物理学研究室『結晶によるビーム操作』(http://www.huhep.org/Home/kesshou-niyoru-bimu-sousa)
参照
5
入射時に運動エネルギー T0 を持っていた粒子の理論的な平均飛程は
∫
E0
S(T0 ) =
mc2
dx
dE =
dE
∫
T0 (
0
dE )−1
dT
dx
(2.46)
となる。これからだいたいの粒子の飛程を計算することができるが、この式で求めた距離は、「入射粒子が吸
収体中で移動した総距離」であるため、入射粒子が多重散乱によりジグザグの軌道を描くだろうことを考える
と、実際の飛程は少し短くなる。
入射粒子が重い場合は、この式はよい近似となる。ところが、2.2.7 で言われていたように、入射粒子の運
動エネルギーが小さい領域においては Bethe-Bloch の式が適用できない上、それに代わる理論的に導かれた
式もないような状態であるから、Bethe-Bloch の式が適用できる最小のエネルギーを Tmin として、
∫
T0
R(T0 ) = R0 (Tmin ) +
( dE )−1
Tmin
dx
dT
(2.47)
として飛程を求める。R(T0 ) は実験のデータから求めた低エネルギーでのエネルギー損失にかかわる定数で
ある。
このようにして計算した飛程をプロットした図 2.8 のグラフから R の T 依存性を求める。両対数グラフに
おいて直線であるということから、
log R = D + b log T
⇒
R ∝ Tb
(2.48)
フィッティングすると、b = 1.75 であるとわかる。この関係式は飛程を求める上で非常に有用である。
dE のスケール則を利用すれば、別種の粒子が同じ吸収体に吸収される際の飛程についてもスケール則を得
dx
ることができる。
∫
T2 (
)−1
dE2
(T2 )
dT2
dx
0
∫
z 2 T2 ( dE1 ( M1 ))−1
= 12
T2
dT2
z2 0
dx M2
∫ M1
z 2 M2 M2 T2 ( dE1 ′ )−1 ′
z 2 M2 ( M1 )
= 12
(T )
dT = 12
R1
T2
z2 M1 0
dx
z2 M1
M2
R2 (T2 ) =
(2.52)
同じ粒子が同じ運動エネルギーを持って、密度が ρi , 原子量が Ai となる 2 種類の原子に吸収されるときの
飛程は、粗い近似から
√
ρ2 A1
R1
√
=
R2
ρ1 A2
(2.53)
となる。(Bragg-Kleeman 則)
粒子が分子量 Acomp の化合物中を吸収されるときの飛程 Rcomp は、粗い近似から
Rcomp =
Acomp
n
∑
ai Ai
i=1
(2.54)
Ri
と、分子を構成する原子による阻止能 Ri を用いて書くことができる。
例 2.1 宇宙線中のミューオンを検出する実験において、2cm のプラスチックシンチレータを用いる。シンチ
レータが得る平均のエネルギーはどれくらいか？
6
宇宙線は一般に高エネルギーの粒子なので、最小電離状態であることを仮定する。2.2.3 で書いてあったよう
に、β = 0.96 とする。mµ c2 = 106[MeV] だから、この時の運動エネルギーを計算すると、
(
)
1
T = √
− 1 mµ c2 = 272 ; 300[MeV]
1 − (0.96)2
今考えているエネルギー領域において阻止能は一定として、質量阻止能は 1.9 [MeV · cm2 /g] で与えられて
いる。したがって、エネルギー損失すなわちシンチレータが得る平均のエネルギーは、
∫
x
∆E =
0
dE
dx = 1.9 × 1.03 × 2 = 3.9[MeV]
dx
と計算される。(プラスチックシンチレータの密度を 1.03 [g/ cm3 ] とした)
このことからわかることとして、このプラスチックレータに宇宙線が当たるようにしておくと、300 [MeV]
以上のエネルギーを持つミューオンはすべて 3.9[MeV] 付近のエネルギーをシンチレータに与えるから、
3.9[MeV] をピークとするエネルギースペクトルが観測できるはずである。これを利用してシンチレータの
キャリブレーションができる。
例 2.2 600[MeV] の陽子を銅を通過させることによって 400[MeV] まで減速する。このとき必要な銅の厚さ
はいくらか？
銅板の厚さを x とすると、
∫
600 (
x=
400
dE )−1
dT
dx
を計算すればよいが、実用上は積分区間を N 分割し、その範囲内で阻止能は不変として和に置き換える。す
なわち、
x=
N (
∑
dE
i=1
)−1 ∆T
(Ti )
dx
N
とすればよい。また、質量阻止能は物体の種類によらないことに注意すれば、
x=
N
)−1 ∆T )
1 (∑( 1 dE
·
(Ti )
ρ
ρ dx
N
i=1
を計算した方が便利な場合が多い。*3 教科書の表では N = 10 として計算している。また、Ti = 500, N = 1 と
して計算しても計算結果はほとんど変わらない。飛程の計算をするときには計算するエネルギー範囲で阻止能
が大きく変わるかどうかを見極めると面倒な計算をしなくて済む場合がある。
また、銅を通り抜けてきた陽子を 400 [MeV] 陽子ビームとして使用しようとする際は、銅を通り抜けてき
た陽子の運動エネルギーは 400[MeV] をピークとする分布をしているだけであることに注意する必要がある。
*3
NIST『Stopping-Power and Range Tables for Electrons, Protons, and Helium Ions』http://www.nist.gov/pml/data/
star/ のように、阻止能を計算してくれるありがたいサイトもある。
7
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