科目名微分積分学 II 出題者名佐藤弘康 ଐஜ߻ಅٻܖ 1 次の不定積分

科目名
1
微分積分学 II
出題者名
次の不定積分を求めなさい．
!
(1)
(x2 − 6x + 5) dx
=
(2)
!
2
x3
− 3x2 + 5x + C
3
【1 点】
1
dx
x2
=
!
x−2 dx
1
x−2+1 + C
−2 + 1
1
=− +C
【1 点】
x
=
(3)
!
佐藤弘康
置換積分を用いて，
!
x
"
x2 − 2 dx を求めよ．
x2 − 2 = t とおくと，2x dx = dt であるから
! "
!
1 √
x x2 − 2 dx =
t dt
2
1
1
1
= × 1
t 2 +1 + C
2
2 +1
1 3
= t2 + C
3
3
1
= (x2 − 2) 2 + C
【1 点】
3
√
（別解） x2 − 2 = t，つまり，x2 − 2 = t2 とおくと，x dx =
t dt．したがって，
! "
!
2
x x − 2 dx = t × t dt
!
= t2 dt
1 2+1
t
+C
2+1
#
$3
1 " 2
=
x −2 +C
3
=
(3x − 2)4 dx
1
1
(3x − 2)4+1 × + C
4+1
3
1
= (3x − 2)5 + C
【1 点】
15
=
3
(4)
!
1
dx
x−3
= log |x − 3| + C
(5)
!
(6)
!
=
【1 点】
e3x dx
=
1 3x
e +C
3
【1 点】
sin 2x dx
=−
ଐஜ߻ಅ‫ܖٻ‬
1
cos 2x + C
2
部分積分を用いて，
【1 点】
!
x
%
!
1 2x
e
2
x e2x dx を求めよ．
&′
dx
%
&
!
1
1 2x
=x × e2x − (x)′ ×
e
dx
2
2
!
1
1
= xe2x −
e2x dx
2
2
1
1 1
= xe2x − × e2x + C
2
2 2
1 2x 1 2x
= xe − e + C
【1 点】
2
4
ଐஜ߻ಅ‫ܖٻ‬
4
次の不定積分を求めなさい．
!
x−4
(1)
dx
x2 − 2x − 3
&
5
1
1
1
=
×
− ×
dx
4 x+1 4 x−3
5
1
= log |x + 1| − log |x − 3| + C
4
'
'4
' (x + 1)5 '
1
'+C
= log ''
【1 点】
4
x−3 '
sec x
の原始関数が
2 sin x − 3 cos x
√
log 2 tan x − 3
5
であることを示しなさい．
! %
(2)
!
( √
)′
log 2 tan x − 3 =
を示せばよい．
sec x
2 sin x − 3 cos x
&′
1
log(2 tan x − 3)
2
1
1
= ×
× (2 tan x − 3)′
2 2 tan x − 3
1
1
2
= ×
×
2 2 tan x − 3 cos2 x
1
1
=
×
2 tan x − 3 cos2 x
1
1
=
×
(2 tan x − 3) cos x cos x
1
=
× sec x
【2 点】
2 sin x − 3 cos x
( √
)′
log 2 tan x − 3 =
%
x2 + 3x + 1
dx
(x + 1)(x − 1)2
&
! %
1
1
5
1
5
1
− ×
+ ×
+ ×
dx
4 x + 1 4 x − 1 2 (x − 1)2
1
5
5
1
= − log |x + 1| + log |x − 1| − ×
+C
4
4
2 x−1
'
'
' (x − 1)5 '
1
5
'−
= log ''
+C
【1 点】
4
x + 1 ' 2(x − 1)
=
!
6
!
ex sin x cos x dx を求めなさい．
!
1
ex sin x cos x dx =
ex sin 2x dx である．そこで，
2
!
I = ex sin 2x dx とおくと，
!
(ex )′ sin 2x dx
!
=ex sin 2x − ex (sin 2x)′ dx
!
x
=e sin 2x − 2 ex cos 2x dx
!
=ex sin 2x − 2 (ex )′ cos 2x dx
*
+
!
x
x
x
′
=e sin 2x − 2 e cos 2x − e (cos 2x) dx
*
+
!
x
x
x
=e sin 2x − 2 e cos 2x + 2 e sin 2x dx
I=
=ex sin 2x − 2ex cos 2x − 4I.
よって，I =
!
ex
(sin 2x − 2 cos 2x)．以上のことから，
5
ex sin x cos x dx =
ex
(sin 2x − 2 cos 2x).
10
【2 点】

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