中間試験問題及び解答

材料力学 I 中間試験
2014.12.1 実施
〔１〕下の図に示すような集中荷重 P を受ける支間長 l の単純はりについて以下の問いに答えよ．
ただし，曲げ剛性 EI は一定とする．
（１）区間 0 ! x ! l / 2 に対するたわみ曲線とたわみ角曲線を x の関数として求めよ．[5 2=10 点]
（２）中央点 C のたわみを求めよ．[10 点]
l
l /2
P
B
A
x
C
y
〔２〕下の図に示す線形の分布荷重を受ける片持ちはりについて以下の問いに答えよ．ただし，曲
げ剛性 EI は一定とする．
（１）せん断力と曲げモーメントを x の関数として求めよ．[5 2=10 点]
（２）せん断力図（SFD）と曲げモーメント図(BMD)を描け．[5 2=10 点]
（３）先端 B のたわみとたわみ角を求めよ．[5 2=10 点]
l
w0
x
B
A
y
〔３〕下の図に示すような線形の分布荷重を受ける支間長 l の両端固定不静定はりについて以下の
問いに答えよ．ただし，曲げ剛性 EI は一定とする．
（１）せん断力と曲げモーメントを x の関数として求めよ．[5 2=10 点]
（２）せん断力図（SFD）と曲げモーメント図(BMD)を描け．[10 2=20 点]
l
w0
A
x
B
y
〔４〕下図に示すばね支持（ばね定数 k ）を有する片持ちはりについて以下の問いに答えよ．た
だし，曲げ剛性 EI は一定とする．
（１）点 B におけるたわみを求めよ． [10 点]
（２） k ! " としたときの支点 B の反力はいくらになるか．[10 点]
A
l
P
EI = const.
B
k
H２６材料力学 I 中間試験
２０１４．１２．１
解答例
〔１〕
曲げモーメントは， M = 12 Px ( 0 ! x ! l / 2 )．
d2 y
1
EI 2 = !M = ! Px ,
dx
2
EI
dy
1
= ! Px 2 + C1 ,
dx
4
EIy = !
1
Px 3 + C1 x + C2 .
12
境界条件
(I) x = 0 において y = 0 ，
(II) x = l / 2 において dy / d x = 0
これらより， C2 = 0,
C1 =
dy 1 # P 2 Pl 2 &
!=
=
" x +
,
dx EI %$ 4
16 ('
1
16
（対称条件）．
Pl 2 .
1 # P 3 Pl 2
y=
" x +
EI %$ 12
16
&
x( .
'
y( 2l ) =
Pl 3
.
48 EI
〔２〕
RA = w0l / 2 （上向き）， M A = w0l 2 / 6 （反時計回り）．
支点 A の反力
w0 x 3 w0 x 2 w0lx w0l 2
!
+
!
,
（１） M (x) =
6l
2
2
6
（２）
l
w0l / 2
F
0
0
M
(+)
x
x
(!)
!w0l 2 / 6
w0l 4
,
（３） yB =
30EI
w0l 3
yB! =
.
24EI
w0 x 2
wl
F(x) =
! w0 x + 0 .
2l
2
〔３〕釣り合いの式とたわみの式及び境界条件より，支点反力が次のように求まる．
3w0l
7w0l
w0l 2
w0l 2
RA =
(upwards), RB =
(upwards), M A =
(counterclockwise), M B =
(clockwise).
20
20
30
20
w0 x 3 3w0lx w0l 2
+
!
,
（１） M (x) = !
6l
20
30
w0 x 2 3w0l
F(x) = !
+
.
2l
20
（２）
l
3 / 10l
3w0 l
20
F 0
30
( 100
!
1
30
!
(!)
!
)w0l 2
0
M
x
(+)
(+)
x
(!)
(!)
w0 l 2
30
7w0 l
20
!
w0 l 2
20
〔４〕
（１）はり AB は荷重 P に加えてばねから集中荷重 ! X1 を端部 B に受ける．これらの結果， ! B(beam)
だけたわんだとすれば，重ね合わせの原理より，
! B(beam)
Pl 3 X1l 3
=
"
.
3EI 3EI
ばねの縮み量 ! B(spring) とはり AC のたわみ ! B(beam) は等しくなければならないので，
X1 Pl 3 X1l 3
=
!
．
k
3EI 3EI
Pl 3 k
これを解いて， X1 =
.したがって，点 B のたわみは， ! B = X1 / k より，
3EI + l 3 k
! B (= ! B(spring)
Pl 3
= ! B(beam) ) =
.
3EI + l 3 k
（２） k ! " の場合，
(!)
1
X
Pl 3 k
Pl 3
= lim
= lim
= P.
k"! 3EI + l 3 k
k"! 3EI
+ l3
k

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