5-2 折れ曲がった片持ち梁ホームページから図5.2.1のような折れ曲がった片持ち梁を選択し，鉛直荷重 Py を変化させて，変形の様子を調べてみよう。鉛直変位 uy が生じるのは当然だが，同時に水平変位ux も生じることに注目されたい。この理由について考えてみる。まず，図 5.2.2(a)のように，梁を立ち上がり部分で切断すると，断面には軸力 N = Py が生じることがわかる。次に，図5.2.2(b)のように水平部分で切断すると，断面にはせん断力 Q = −Py と曲げモーメント M = −Py(l−x) が生じることがわかる。その結果，N, Q, M 図は図 5.2.3 のようになる。 ux Py Py uy ux uy l l l l (a) Py > 0 の場合 (b) Py < 0 の場合図 5.2.1 折れ曲がった片持ち梁 Py Py x (l − x) M = −Py.(l − x) N = Py Q = −Py (a) 立ち上がり部分で切断 (b) 水平部分で切断図 5.2.2 折れ曲がった梁の切断 204 N = Py M = −Py.(l − x) Q = −Py (a) N 図 (b) Q 図図 5.2.3 N, (c) M 図 Q, M図図 5.2.3(c)より，梁の水平部分は，先端に荷重 Py を受ける片持ち梁つまり図 5.2.4(a)と同じ変形をすることがわかる。すなわち，梁先端でのたわみは， Py l 3 v= 3EI （上向きの変位を正とした） (2.5.16 改）となる。傾きは，式(2.5.14）に x = l を代入して Py l 2 θ= 2 EI (5.2.1）となる。立ち上がり部分は，引張軸力 N = Py によって伸び変形が生じる。ただし，5-1 節の例題で確認したように，その大きさは曲げ変形よりずっと小さいのでここでは無視することにする。一方，立ち上がり部分の曲げモーメントはゼロであるから，曲げ変形は生じない。ただし，梁の水平部分と直角に接続されているため，立ち上がり部分も上方に v だけ移動するとともにθの傾きが生じる。よって， Py l 3 ux = −θ × l = − 2 EI (5.2.2） ux uy θ= Py v= Pyl 2 2EI l 直線 θ Py l 3 θ 3EI l v= (a) 水平部分 (b) 全体図 5.2.4 変形状態 205 Py l 3 3EI Py l 3 uy = v = 3EI (5.2.3）となる。次に，図 5.2.5 のように水平荷重 Px を変化させて，変形の様子を調べてみよう。この場合も水平変位 ux と鉛直変位 uy が同時に生じる。ただしその大きさは鉛直荷重の時に比べてずっと大きい。まず，図 5.2.6(a)のように，梁を立ち上がり部分で切断すると，断面にはせん断力 Q = Px と曲げモーメント M = Px(l−y) が生じることがわかる。次に，図 5.2.6 (b)のように水平部分で切断すると，断面には軸力 N = Px と曲げモーメント M = Px.l が生じることがわかる。その結果，N, Q, M 図は図 5.2.7 のようになる。折 ux ux Px uy uy Px l l l l (a) Px > 0 の場合 (b) Px < 0 の場合図 5.2.5 水平荷重を受けた場合 Px Px (l − y) l Q = Px M = Px.(l − y) y N = Px M = Px.l (a) 立ち上がり部分で切断 (b) 水平部分で切断図 5.2.6 切断 206 れ曲がり部分で曲げモーメント M = Px.l が連続することに注意されたい。図 5.2.7(c)より，梁の水平部分は，先端に曲げモーメント M = Px.l を受ける片持ち梁とつまり図5.2.8(a)と同じ変形をすることがわかる。したがって，梁先端での傾きは，式(2.5.12）に x = l を代入して Px l 2 θ= EI (2.5.12 改）となる。たわみは，式(2.5.13）より Px l 3 v=− 2 EI （上向きの変位を正とした） (2.5.13 改）となる。立ち上がり部分だけの曲げ変形は，図5.2.8(b)のようになるが，さらに水平部分による変形が加わるため，図 5.2.8(c)のように Px l 3 4 Px l 3 ux = θ ⋅ l + = 3EI 3EI (5.2.4） Q = Px M = Px.l N = Px (a) N 図 (b) Q 図 (c) M 図図 5.2.7 N, Px M = Px.l l (a) 水平部分 v =− θ= Q, M図 ux θl Px l3 3EI Px l 3 2EI uy Px l3 3EI l Px l 2 EI v =− (b) 立ち上がり部分図 5.2.8 変形状態 207 (c) 全体 Px l 3 2EI θ= Px l 2 EI Px l 3 uy = v = − 2 EI (5.2.5）となる。鉛直荷重の時に比べて ux は約 2.7 倍，uy は 1.5 倍になった。水平荷重 Px と鉛直荷重 Py が同時に加わるときの変位は，式(5.2.2)∼(5.2.5)を加えることで得られる。すなわち， 3 4 Px l 3 Py l l3 8 Px − 3Py ux = − = 3EI 2 EI 6 EI ( ) 3 Px l 3 Py l l3 uy = − + = −3Px + 2 Py 2 EI 3EI 6 EI ( (5.2.6） ) (5.2.7）となる。上の式から，Px と Py の比を 3:8 にすると水平変位 ux が 0 になること，Px と Py の比を -2:3 にすると鉛直変位 uy が 0 になることがわかる。これを画面上で確かめてみよう。 2P P l 例題5.2.1 図5.2.9に示す片持ち梁の N, Q, M 図を描きなさい。また，概略の変形状態を描きなさい。 l 図 5.2.9 2 つの荷重を受ける片持ち梁解答：水平荷重 P と鉛直荷重 2P による N, Q, M を加えれば，図 5.2.10(a)-(c)のような解を得る。水平部分の中央で曲げモーメントがゼロになることに注目されたい。これは，図 5.2.10(d)のように梁を切断して考えれば理解できよう。すなわち，外力の延長線上に切断点があるため，作用距離がゼロになり，モーメントがゼロになるのである。切断点での反力は，外力と反対向きで同じ大きさであ 208 2P P + 2Pl = −Pl −P −2P P Pl 2P −P 2P −Pl (a) N 図 (b) Q 図 (c) M 図図 5.2.10 N, Q, M図る。加力点の変位に関しては，式(5.2.6） (5.2.7） uy = − に Px = -P, Py = -2P を代入して， Pl 3 ux = − 3EI (d) 中央で切断 ux = − Pl3 6EI Pl3 3EI (5.2.8) 回転角ゼロ 3 Pl uy = − 6 EI v =− (5.2.9) を得る。右下角の回転角はゼロになる。これは， Pl 3 6EI 図 5.2.11 変形状態水平部分の M 図を EI で割って積分すればわかるはずである。なお，この例題では式(5.2.6） (5.2.7）を利用したが，この式を暗記する必要は全くない。この式を使わないで，概略の変形状態をイメージできることの方が重要である。 2P 例題 5.2.2 図 5.2.12 に示す片持ち梁の N, Q, l/2 M図を描きなさい。また， 2P 概略の変形状態を描きなさい。 l/2 l 図 5.2.12 荷重状態 209 解答：図 5.2.13 のように，立ち上がり部分や水平部分で切断して，図 5.2.14(a)(c)のような解を得る。今回も，図 5.2.14(d)のように水平荷重と鉛直荷重の合力の延長線上では曲げモーメントがゼロになる。鉛直荷重による N, 荷重による N, Q, Q, M と水平 M を足し合わせて考えてもよい。水平部分の M 図は前の例題と同じであるから，曲げ変形も水平部分では同じになる（図 5.2.15(a)参照）。立 2P 2P 2P 2P 2P Q N M M N N (a) 立ち上がり上部で切断 Q (b) 立ち上がり下部で切断 (c) 水平部分で切断図 5.2.13 切断 2P −2P −2P Pl 2P 2P −2P −Pl (a) N 図 (b) Q 図 (c) M 図図 5.2.14 N, ux = − uy = − Pl3 6EI Q, (d) 中央で切断 M図 5Pl 3 24EI ux = − 5Pl 3 24EI l/2 3 Pl 2 θ =− 4EI 回転角ゼロ v =− v =− Pl 12EI Pl 3 6EI (a) 全体の変形 (b) 立ち上がり部分図 5.2.15 変形状態 210 l/2 ち上がり部分については，最下部で傾きがゼロであることから，図 5.2.15(b)のような片持ち梁に置き換えて考えてもよい。曲率φ =-M/EI を積分すると，中央での回転角とたわみは， Pl 2 θ=− 4 EI Pl 3 v=− 12 EI (5.2.10) となることがわかる。さらに，上半分では曲げ変形がゼロであるから，頂部の x 方向変位は， l 5 Pl 3 ux = θ ⋅ + v = − 2 24 EI (5.2.11) となる。ところで，立ち上がり部分のたわみを計算する際，長さ l の片持ち梁へ置換したこと曲げ変形しない剛域に違和感を感じた人は立派である。図5.2.16(a)に示すように，水平部分と交差する部分 (a) 実際の姿 (b) 計算モデル図 5.2.16 より厳密なモデル（接合部と呼ぶ）には曲げ変形が生じないからである。これを表現するため，実際の設計では，図5.2.16 ごういき (b)に示すように，「剛域」すなわち曲げ変形の生じない領域を考えて計算をすることが多い。その結果，変位は図 5.2.15(a)よりやや小さな値となる。なお，力の釣合いは影響されないので，N, Q, P 2l M 図は変わらない。 l 例題 5.2.3 図 5.2.17に示す片持ち梁の N, Q, M 図を描きなさい。また，概略の変形状態を描きなさい。 l 図 5.2.17 片持ち梁 211 解答：問題図をよく見ると，ここまでの例題で扱ってきた片持ち梁の左側にもう一本の部材が加わっただけであることがわかる。これまでと同様，図 5.2.18(a) (c)のような切断する。図 5.2.18(c)のせん断力は反時計回りであり，負の符号となることに注意されたい。その結果，図 5.2.18(d)-(f)のような N, Q, M 図が得られる。 P P P Q = −P Q=P N=P (a) (b) (c) M = P.l (d) N 図図 5.2.18 N, Q, (e) Q 図 (f) M 図 M 変形については，これまでと同様，左上の固定端を基準に考える。左側の垂れ下がり部分は，長さlの片持ち梁2本分の変形になるので， v= 2 Pl 3 3EI (5.2.12) ux である（図5.2.19の左下隅参照）。また，左 uy 下の回転角がゼロになるから，ここから右側の変形は図5.2.8 と同じである。そこで，式(5.2.4)(5.2.12)を足し合わせて， 3 ux = 3 4 Pl 2 Pl 2 Pl + = 3EI 3EI EI 回転角ゼロ Pl 3 v= 2EI 3 2Pl 3 v= 3 EI を得る。また，式(5.2.5)より図 5.2.19 変形状態 Pl 3 uy = − 2 EI を得る。 212 例題5.2.4 図5.2.20(a)に示す構造物の変形として最も正解に近いものを(b)-(d) の中から選びなさい（梁 AB の変形に注意すること）。 P P A B a b A B c (b) 変形 l (a) 荷重条件 P A P B A B (c) 変形 (d) 変形図 5.2.20 構造物 P 解答：まず，図5.2.21(a)を参考に，支 A 点反力を求める。B点まわりのモーメントの釣合いから， B C RA a b c RB l c RA = P l (a) 反力 A 点まわりのモーメントの釣合いか P ら， RA RB = RB a+b P l (b) せん断力を得る。したがって，せん断力は図 P.b RA.a 5.2.21(b)のようになる。また，曲げ RB.(b+c) (d) 釣合いモーメントは図 5.2.20(c)のようにな RA.a る。さて，節点Cにおける曲げモーメントの釣合いを拡大して図5.2.20(d) P.b RB.(b+c) (c) 曲げモーメント図 5.2.20 せん断力と曲げモーメント 213 に示す。時計回りを正とすると， P ⋅ b + RA ⋅ a − RB ⋅ (b + c ) = 0 が成り立つはずである。上で求めた反力を代入すると， P⋅b+ P a+ b  c  P ⋅a− P (b + c ) = [ lb + ca − ( a + b)(b + c )] = 0  l  l  l となり，つじつまが合っている。少々脱線したが，梁 AB の曲げモーメントはすべて下側が引張である。図 5.2.19(c)(d)は梁の左側が上側引張になっており，曲げモーメント図と整合しない。正しいのは図5.2.20(b)である。2章からずっと述べてきたように，曲げモーメント図を見て，構造物の変形がイメージできるよう，鍛錬してほしい。ソフトで演習：あなたの学籍番号下1桁をijとする。下図の構造物で生じるN, Q, M を計算しなさい。また，ソフトを使って，構造物の変形状態をスケッチしなさい。（なぜそのような変形になるのか，曲げモーメント図と比較しながらよく考えてスケッチすること） 50 50 N 50 N 50 50 N 100 50+ij 150−ij 200 50+ij 150−ij 200 214 50+ij 150−ij 200 自分の構造物を設計しよう：あなたの学籍番号下 1 桁を i とする。下図(a)のように，P = (10+i) × 5 N の荷重に耐えられる構造物を設計したい。材料の強度は 3 N/mm2，ヤング係数は E = 100 N/mm2 とし，部材は正方形断面とする。断面の必要寸法とたわみの大きさを計算しなさい。さらに，図(b)のように，横幅を (11+i) × 10 mm とする場合はどうか。ヒント：図(a)の水平反力 R は，式(5.2.6)で ux= 0 とおいて計算できる。反力が求まったら曲げモーメント図を描きなさい。そして，M < Z.σの条件から断面寸法を決定しなさい。図(b)については，式(5.2.6)(5.2.7)を参考に新たな式を導きなさい。計算値がでたら，M 図やたわみなどをソフトで確認しなさい。 P = (10+i) × 5 N P = (10+i) × 5 N R R たわみたわみ 100 100 (11+i) × 10 100 (a) 幅と高さが同じ場合 (b) 幅と高さが異なる場合 215